数值分析知识点总结

1、知识点题目2.4.2利用矩阵三角分解法解方程组解：解 即得 解，即得解2.4.2用分解法求方程组的解解： 系数阵 所以求解 ，即得求解得2.4.2用分解法解方程组解：求的分解式求解 ，即得求解得2.4.2用分解法求方程组的解解： 系数阵 所以求解 ，即得求解得2.6.1用追赶法解三对角方程组。3.5.1求次数不高于3次的插值多项式p3(x)，满足下列插值条件：3.5.1 求次数不高于4次的插值多项式p4(x)，满足下列插值条件：解：先构造满足：的Hermite 插值多项式其中设由得，所以 令做辅助函数有六个零点，其中 是二重零点反复应用Roll定理可知 使 3.5.1求次数不高于4次的插值多项

2、式4(x)，满足下列插值条件：3.5.1求：满足下列数表的不超过三次的多项式解：设 所求多项式为,由插值条件有：； ；则满足过的不超过二次的插值多项式为令 =+ 由得=则 3.5.1已知函数的数据如下表012-1010求一个次数不超过三次的插值多项式 解：法一：令=由插值条件得：解此方程得故得法二：由题意是二重因式 故可得又由 知 解之得 故有 法三：利用数据 建立一个二次插值表则二次插值多项式为令 由得故3.5.1给定函数的数据表如下。01120构造二次插值多项式并证明误差估计式解：过（0，1）（1，2）两点的线性插值多项式 令 由 得 即 余项3.6.1已知插值条件为 X 0 1 2 3

3、， Y 0 3 4 6 求三次样条插值函数的分段表达式。（m0=m3=1）3.6.1已知插值条件为 X 0 1 2 3 ， 求三次样条插值函数的分段 Y 0 3 4 6 Y 0 0表达式。3.6.1已知插值条件为 1 2 3 求三次样条插值函数的分段表达式。 2 4 12 1 -13.5.1试用数据表建立不超过3次的插值多项式及其插值误差估计0 1 21 2 9 3满足二次Newton插值多项式构造差商表一阶差商二阶差商011212973设待求插值函数为令即求得进而有 3.5.1设函数在区间上具有四阶连续导数，求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并估计误差0120120113解：

4、满足的Newton插值多项式为而一阶差商二阶差商0 01 1 12 1 0 -1/2故令令代入为一重零点 为的二重零点设做辅助函数，则在上至少有5个零点0,1,2 (1为二重零点)反复应用Rolle 定理知，至少存在一点使 3.5.1设函数在区间上具有四阶连续导数，求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并估计误差0120120113满足的Newton插值多项式而一阶差商二阶差商0 01 1 12 1 0 -1/2令令代入为一重零点 为的二重零点估计误差：设做辅助函数则在上至少有5个零点0,1,2 (1为二重零点)反复应用Route 定理知，至少存在一点使3.1.3给定的函数表如下

5、144169225121315写出二次lagrange插值多项式，并计算的近似值并估计误差。解： 代入得于是。因为 ； 故 。3.1.3已知函数的函数表为0.320.340.360.3145670.3334870.352274试用二次lagrange插值求的近似值并估计误差。解：+将 ， 代入得。因为其中于是3.1.3 已知的值为，试以这三点构成的二次lagrange插值多项式 并求解：给出函数表100121144101112于是 因此=10.722755余项 又 故 。3.1.3当时，求的二次插值多项式。解：利用二次 lagrange插值多项式3.4.4已知 的数值表如下，分别用二次向前向后

6、Newton插值公式求 的近似值并估计误差。 0.4 0.5 0.6 0.7 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422解：作差分表 0.40.38942 0.5 0.479430.09001 0.60.564640.085210.00480 0.70.644220.079580.005630.00083 使用向前Newton插值公式。取, , 则于是 故误差 则若用向后Newton插值 取 故得误差 则6.2.1 对方程求其在0.5附近的根，取，要求<解：令， 故迭代收敛取6.2.1利用牛顿迭代法求的近似值解：设的正根就是，由故在（10，11）内方程有根，再由知，可

7、取用牛顿迭法得 可以看出 在小数点后六位数字相同，故取6.2.1写出求的牛顿迭代公式解： 牛顿迭代格式为取时，故取故 ， 单减，故 收敛6.3.1 用Newton迭代法，求 在附近的实根，要求满足精度解：取 含的区间由，则在上连续，且 又，因此在上单调递增，故在区间中存在唯一实根，又在上显然有不变号，若取，有故取时牛顿法序列必收敛于方程在上的唯一根 且迭代根式为 取初值则有 01231.0000.75040.73910.7391故6.3.1 应用 牛顿迭代法解方程,导致求立方根的近似值公式解:令,则的根就是,用Newton法求解迭代公式为 当时,故,由收敛定理只,对于任取满足条件 的初始近似值

8、,由上述可知序列必收敛于立方根 ,所以公式6.3.1 用Newton法求方程在附近的值。解：设：， 用Newton迭代法 取， 则， 所以6.3.1 用Newton法求解方程,要求解：在（1，2）内有一个根且 ， 故应取利用Newton迭代公式 0231.36886941911.641.36880810921.38338870451.369908108因故取 6.2.1设线性方程组的系数矩阵为A=试求Jacobi法的迭代矩阵，并求 使Jacobi方法收敛的a的范围解：时=由=+即+,亦即+解得：，=，=故 ， 由，得即时，Jacbi迭代收敛。6.2.1试问Tacobi迭代法解时，在什么范围内时

9、收敛，其中 ，解： 所以 所以 且若Tacobi收敛则，则有 所以 所以 所以当时，Tacobi迭代法收敛2.7.3求拟合下列数据的最小二乘解0.00.20.40.60.81.01.20.91.92.83.34.05.76.5解：根据散点的分布情况，选用线性函数作为拟合函数故解法方程=7法方程组为 解得：最小二乘拟合解为2.7.3已知数据如下24682112848试用最小二乘法求拟合这一组数据的一条曲线解：先标出上表格的点根据散点分布情况，选用线性函数作为拟合函数设其为：故法方程组为 解得 在某个低温过程中，函数依赖于Q的实验数据如下:Q12340.81.51.82.0且已知经验公式 ，试用最小而乘法求解：法方程组为 解得于是经验公式为 2.7.3已知数表-3-2-101231