乘法公式知识讲解

1、乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算 . 了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式： (a b)(a b) a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释： 在这里， a,b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式. 但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平

2、方. 常见的变式有以下类型：（ 1）位置变化：如 (a b)( b a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（ 2）系数变化：如 (3x 5 y)(3 x 5y)（ 3）指数变化：如 (m3 n2 )( m3 n2 )（ 4）符号变化：如 ( a b)(a b)（ 5）增项变化：如 (m np)( m np)（ 6）增因式变化：如( a b)(ab)( a2b2 )( a4b4 )要点二、完全平方公式a2a22abb2完全平方公式：b两数和 ( 差 ) 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释： 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和

3、加（或减）这两数之积的2 倍. 以下是常见的变形：a2b2a2a22abb2abba2ab2b4ab要点三、添括号法则添括号时， 如果括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 .要点诠释： 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确 .要点四、补充公式(xp)( xq)x2( p q)x pq ； ( ab)(a2 mabb2 )a3b3 ；(ab)3a33a2b3ab2b3 ； (a bc)2a2b2c22ab 2ac 2bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差

4、公式，哪些不能能用平方差公式计算的，写出计算结果(1)2a 3b3b2a；(2)2a3b2a3b；(3)2a3b2a3b；(4)2a3b2a3b；(5)2a3b2a3b；(6)2a3b2a3b【思路点拨】 两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解： (2)、(3)、 (4)、 (5)可以用平方差公式计算， (1)、(6)不能用平方差公式计算(2)2a3b2a3b3b2224a2 2a 9b(3)2a3b2a3b2a22 4a29b2 3b(4)2a3b2a 3b 2a22 4a29b2 3b(5)2a3b2a3b22a224a2 3b 9b【总结升华

5、】 利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）举一反三：【变式】计算： （ 1）x3 yx3 y；（2） (2x)( 2x) ；2222（ 3） ( 3x2y)(2 y3x) 【答案】22x29 y2 解：（ 1）原式x3 y2244（ 2）原式( 2)2x24x2 （ 3）原式(3x2 y)(2 y3x)(3x2 y)(3 x2y)9x24 y2 2、计算：(1)×； (2)102× 98【答案与解析】解： (1)× (60 × (60 6020.12 3600(2)102× 98 (100 2)(100

6、 2) 100222 10000 4 9996【总结升华】 用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数， 通过两式 ( 两数 ) 的平均值， 可以把原式写成两数和差之积的形式这样可顺利地利用平方差公式来计算举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899× 901 1；(2)99× 101× 10001；(3) 20052 2006× 2004；【答案】解： (1) 原式 (900 1)(900 1) 1 900 212 1 810000(2) 原式 (100 1)(100 1) × 10001 1002

7、 1 × 10001 (10000 1) × (10000 1) 0 1(3) 原式 20052 (2005 1)(2005 1) 20052 ( 20052 12 ) 1类型二、完全平方公式的应用3、计算：2222(1)3a b ； (2)3 2a ； (3)x 2 y ； (4)2x 3y 【思路点拨】 此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式 .【答案与解析】解： (1)3a23a223a bb29a26abb2 b(2)32a22a2222a3324a212a9 32a(3)2x22 x2y2x24xy4 y 2 x 2 y2 y(4

8、)2x3y22x22x222x 3 y3y212xy 9 y2 3 y4x2【总结升华】 (1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正， 乘积项的符号为负 (2) 注意 a2ab2b之间的转化4、计算： (1) 20022； (2)19992 (3)999.92【答案与解析】解： (1)200222000222200022220002 4000000 8000 4 4008004(2)199922000122200011220002 4000000 4000 1 3996001(3)999.9210000.12210000.10.1210002 1000000 200【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方5、已知 ab7 ， ab 12求下列各式的值：(1)a2abb2 ； (2)(ab) 2 【答案与解析】解： (1) a2abb2 a2b2 ab ab2ab 72 3× 12 13 3(2) a22ab 72 4×12 1.b a b 4 a2 a22b2 a2【总结升华】 由乘方公式常见的变形：bb 4 ab ； ab22 ab ab 2 ab 解答本题关键是不求出a, b的值，主要利用完全平方公式的