华科线性代数复习重点

1、第一部分行列式重点：1. 排列的逆序数（P.5例4; P.26第2、4题）2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13； P.28第9题）3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用一一克莱姆法则 2、排列与逆序 3、方阵的行列式4、几个重要公式:At(2) A_ 1A ；(4) A*n ajAji ±An(5) AB(3) kA=knA 0A * B -0 B(6)；A，卫(8)（其中A, B为n阶方阵，k为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形;（2 ）利用行列式的展开定理降阶；（3）根

2、据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、 能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的n阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则 第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3. 伴随阵的性质（P.41例9； P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P.100例13、14、15）【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵

3、的行列式3、 可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、n阶矩阵A可逆二|A=0= A为非奇异（非退化）的矩阵。二 R（A） = n二 A为满秩矩阵。:二 AX =0只有零解：二 AX =b有唯一解= A的行（列）向量组线性无关：二 A的特征值全不为 零。：二 A可以经过初等变换化为单位矩阵。：二 A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩

4、阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分线性方程组1. 线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组 A :、s,、£

5、2,，用n，向量组B :（1 ）向量b可被向量组A线性表示：=RC話斗2 ,，爲n ） = R（二T，二2 ,，爲n ,b）（2）向量组B可被向量组 A线性表示=R（1 ,2,n） = RC 1,2,n , ： 1, ： 2 ,：m）（3）向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：RC 1, ： 2 , ： n） = R（ ：1, ： 2厂，：m） = RC 1, ： 2, n, ： 1, ：2, ： m）（4） 基本题型：判断向量b或向量组B是否可由向量组 A线性表示？如果能，写出表达式。解法：以向量组 A :、5,、£2 ,，'n以及向量b或向量组B ： X,2 ,，F&q

6、uot;m为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组：j ,2 ,，s的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程kk2-：2亠，亠ks-：s =°只有零解=向量组一:歼，J2,，-4 线性无关； 向量方程kv： k2二2亠，亠ks-：s =°有非零解=向量组：“,，：/线性相关。方法二：求向量组的秩 RG2r / s）（1）秩RC, >2,，s）小于个数S=向量组：、，,，线性相关（2 ）秩R（：, >2,，S）等于个数S = 向量组2,，s线性无关。（3）特别 的，如果向 量组的向量 个数与

7、 向量的维数 相同，则 向量组 线性 无关= 以向量组- s为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关=以向量组 2,，s为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念(与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系)及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空

8、间及其基和维数的概念第四部分向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)1 .向量组的线性表示2向量组的线性相关性3.向量组的秩【主要内容】1、齐次线性方程组 Ax =0只有零解：二 系数矩阵A的秩二未知量个数n;2、齐次线性方程组 Ax =0有非零解：二 系数矩阵A的秩：:未知量个数n.3、非齐次线性方程组 Ax =b无解:二 增广矩阵B=(A,b)秩=系数矩阵A的秩；4、 非齐次线性方程组 Ax =b有解:二 增广矩阵B = (A,b)秩二系数矩阵A的秩特别地，1 )增广矩阵B = (A, b)的秩=系数矩阵A的秩=未知量个数n：二非齐次线性方程组 Ax=b有唯一解；2)增广矩阵B

9、=(A,b)的秩二系数矩阵A的秩：:：未知量个数n：= 非齐次线性方程组Ax =b有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2特征值、特征向量的性质及计算(P.120例8、9、10; P.135第7至13题)3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化(P.135第15、16、19、23题)【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向

10、量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。(1) 特征值求法：解特征方程| A 人曰=0 ;(2) 特征向量的求法：求方程组A -，E X =0的基础解系。5、 相似矩阵的定义(P，AP=B )、性质(代B相似t R(A) = R(B)、制=怛|、代B有相同的特征值)。6、 判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵。7、 用正交变换法化二次型为标准形的步骤：(将实对称矩阵对角化)(1、写岀二次型的矩阵 A.(2、求出A的所有特征值 人，入2,，打(3、解方程组( jE - A)X =0 ( i = 1,2/ , n、求对应

11、于特征值'1, 12 - / n的特征向量（4）若特征向量组 2,；不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组1,2,，n，记P=（2,，n），对二次型做正交变换 X = Py ,即得二次型的标准2 2 2形 f 二'lYl'2Y2 - 'nYn8正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正 交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩

12、阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数要注意的知识点行列式1.2.3.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式; 代数余子式的性质： 、Aij和aij的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为代数余子式和余子式的关系：Mij =（-1）jAj行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式：副对角元素的乘积n (n-1)(-1)2、上、下三角行列式（、| |i ）:主对角元素的乘积;、匚和丄：副对角元素的乘积n (

13、n X)(-1) 2=(-1严 A B 、拉普拉斯展开式：A °C B 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值5. 证明A = 0的方法： 、A =_A ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax二0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A） n ； 、证明0是其特征值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵:= A -0 （是非奇异矩阵）；：二r（A） = n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；：二 齐次方程组 Ax二0有非零解；Rn，Ax =b总有唯一解；：二A与E等价；：二 A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0； = AtA是正定矩阵；：= A的行（列）向量组是

14、 Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；6.对于n阶矩阵A :AA* =A* A二A E无条件恒成立;7.(A 丄)*=(A*)丄(A 丄)T =(At 厂(A*)T =( At )8.9.(AB )T =BtAt(AB) =B A(AB)° = B 丄 A 丄矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：u、AsA =A|A2As ；_L，则:A丿C = AB O。丫AoB丿(-B丄CA丄B I,3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mxn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =Er

15、76;1°°加迹等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A、B，若r (A) = r (B= A _ B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r 、若(A, E)(E , X)，则 A 可逆，且 X =A-；c 、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成AB，即：(A, B)-(E, AB)；r 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

16、=b，如果(A, b)_-(E, x),则A可逆，且x=Ab ；4.初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;，左乘矩阵A，打乘A的各行元素；右乘,i乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号E(i, j)，且 E (i, j)亠二 E (i, j)，例如:f 1、f 1 11< 1丿<1丿、倍乘某行或某列，符号，例如：11E (i (k)，且 E (k)E()-k、倍加某行或k1-k、1=11丿11(k 式 0)；某列，符号 E (ij(k),且 E (ij (k)宀 E (ij (-k)5.矩阵秩的基本性质:、0 二

17、r (Am n)三min( m, n)； r(At )二 r(A)；若 A 二 B，则 r(A) =r(B)；若 P、Q 可逆，则 r (A) =r( PA) = r (AQ) = r (PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max( r (A), r (B) - r (A, B) _r (A) r (B) ; E)、r(A - B) _r(A) - r(B);(探)、r(AB) _min(r(A),r(B);(探)如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB = 0，U：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组 AX =0解(转置运算后的结论)；U、r(A) -r(B) <n、若A、B均为n

18、阶方阵，则r(AB) _r(A) - r(B) _n ；6. 三种特殊矩阵的方幂:、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;、型如叼a c I01 b的矩阵：利用二项展开式芒° b 、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：nr (A) = n 、伴随矩阵的秩：r(A*) = 1r(A) = n -1 ；0r (A) < n _1 、伴随矩阵的特征值：A( AXX , A* = A A A X = AX)； 、A = A A丄、A = An-8. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A) =n，A中有n阶子式不为°， n 1阶子式全部为&

19、#176;；(两句话) 、r(A) : n，A中有n阶子式全部为°； 、r(A) _ n，A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组： Ax =b，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组 Ax = b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程;10. 线性方程组 Ax =b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程:、a11 X1 玄2 xa 1nXn =b.a21 X1 ' a22 X2a2nX

20、n =b2am1 X1am 2 X2 亠'亠 anmXn = bn、a11a 21ram1a12a 229am2(向量方程,A为m n矩阵，m个方程,n个未知数)'；1 "an )x 2=0 (全部按列分块，其中 0 = bE丿S丿、ax a2X2亠亠a.Xn二：(线性表出)、有解的充要条件：r(A)二r(A，乞n( n为未知数的个数或维数)4、1.2.3.4.5.6.7.8.9.向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A: 、，2,，：m构成n m矩阵A二（冷，：2,m）；m个n维行向量所组成的向量组B : J-：m构成m n矩阵B =m含有有限个向量的有序向

21、量组与矩阵一一对应; 、向量组的线性相关、无关 、向量的线性表岀 、向量组的相互线性表示=Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组）二Ax =b是否有解；（线性方程组）=AX =B是否有解；（矩阵方程）矩阵Am沁与B述行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax = 0和Bx= 0同解；（R01例14）r（ATA） =r（A） ； （ P101 例 15）n维向量线性相关的几何意义： 、线性相关=:=0 ； 、：-3：,线性相关： ：，卜坐标成比例或共线（平行）； 、:,-,线性相关：二:-J',共面；线性相关与无关的两套定理：若：'1, ,:-s线性相关，则：-1,2,，

22、： s, S 1必线性相关；若訂，2，-'S线性无关，则 冷，2,，-'S丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组 A的每个向量上添上 n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，则rs；向量组 A能由向量组 B线性表示，则r（A） r（B）；向量组A能由向量组B线性表示=AX =B有解；=r （A）工 r （A, B）向量组A能由向量组B等价二r （A）

23、= r（B） = r（A, B）方阵A可逆:二存在有限个初等矩阵 P1, P2,R，使AP2 P ；、矩阵行等价:rA B= PA = B（左乘，P可逆）：二Ax = 0与Bx = 0同解、矩阵列等价:cA B = AQ =B（右乘,Q可逆）；、矩阵等价：A B = PAQ =B(P、Q可逆）；对于矩阵Am n与Bl n : 、若A与B行等价，则 A与B的行秩相等；相关性；、 、若A与B行等价，则Ax =0与Bx二0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 矩阵A的行秩等于列秩；10.若 Am sBs n 二Cm n ,则: 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；(转置)11. 齐次方程组Bx= 0的解一定是 ABx= 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx =0只有零解=.Bx = 0只有零解； 、Bx二0有非零解二.ABx =0 定存在非零解；12. 设向量组Bn r : b，p,，br可由向量组 A, s:a1,a2,as线性表示为：(b，P，br) =(a“ a2,，a