2018~2019学年常州市高三上学期期末考试数学(20201126201450)

1、-WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -2019 届高三模拟考试试卷(八 )数学 (满分 160分，考试时间120 分钟 )2019.1一、 填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70分.1.已知集合 A 0 ， 1 ， B 1， 1 ，则 AB .2.已知复数 z 满足 z(1 i) 1 i(i 是虚数单位 )，则复数 z .3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为9.1 ， 9.3 ，x， 9.2 ， 9.4 ，且这5 个分数的平均数为9.3 ，则实数 x .4.一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出y 的值为1，则输入的实数x 的值为.Read xIf x 1 Th

2、en2y x 2x 2Elsey x 1x 1End IfPrint y(第 4题)5.函数 y1 ln x 的定义域为.6.某校开设5 门不同的选修课程，其中3 门理科类和2 门文科类，某同学从中选修2 门课程，则该同学恰好选中1 文 1 理的概率为 .x2y27.已知双曲线C：a2 b 2 1(a>0 ，b>0)的离心率为2，直线xy 2 0 经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为 .(第 8题)8. 已知圆锥 SO ，过 SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，(如圆柱的下底面落在圆锥的底面上图 )，则圆柱 PO 的体积与圆锥SO 的体积

3、的比值为 .y1x9.已知正数 x ， y 满足 x x 1，则 xx y 的最小值为 .k10.若直线 kx y k 0 与曲线 y e(e 是自然对数的底数) 相切，则实数 .-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -11.已知函数f(x) sin( x )( >0 ， R)是偶函数，点(1 ， 0) 是函数yf(x) 图象的对称中心，则 最小值为 .12. 已知平面内不共线的三点O，A， B，满足 |OA| 1， |OB| 2 ，点 C 为线段AB 的中点， AOB 的平分线交线段13. 过原点的直线以 AQ 为直径的圆与直线么直线 l 的方程为 .A

4、B 于点 D .若 |OC|3，则 |OD| 2 y2 12l 与圆 x交于 P， Q 两点，点 A 是该圆与 x 轴负半轴的交点，l 有异于 Q 的交点 N ，且直线 AN 与直线 AP 的斜率之积等于1 ，那 .n*2.已知14. 若数列 a n ， b n 满足 bn a n 1 ( 1)an (n N)，且数列 b n 的前 n 项和为 n数列 an n 的前 2 018 项和为 1，则数列 a n 的首项 a 1.-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5、.15. (本小题满分 14 分 )如图，在正三棱柱ABCA 1B1C1 中，点M ，N 分别是棱AB ， CC 1 的中点 .求证：(1) CM 平面 AB 1N；(2) 平面 A1BN平面 AA 1B1B.16. ( 本小题满分14 分 )在 ABC 中， a ， b ，c 分别为三个内角A， B， C 的对边，且22b3 bcsin Ac2 a2.3(1) 求角 A 的大小；(2) 若 tan Btan C 3，且 a 2，求 ABC 的周长 .-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -17. ( 本小题满分14 分)x2y2y2x2C ： 2C2： a2

6、b2 1 上，其中在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1a b2 1 的焦点在椭圆66a>b>0 ，且点 ( 3 ，3)是椭圆 C 1， C2位于第一象限的交点 .(1)求椭圆 C 1， C2 的标准方程；(2)过 y 轴上一点 P 的直线 l 与椭圆 C2 相切，与椭圆 3 C1 交于点 A， B，已知 PA PB ，求直线 l 的斜率 .5-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -18. (本小题满分 16 分 )某公园要设计如图所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图所示的多边形ABCDEFGH ) ，整体设计

7、方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF BE 1.6m，两根竖轴CH DG 1.2m，记景观窗格的外框( 图实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.2，且两根横轴之间的距0离.6m为，求景观窗格的外框总长度；(1)若 ABC 35 m ，当景观窗格的面积( 多边形(2)由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过ABCDEFGH 的面积 )最大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC 的大小与 BC 的长度 .-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -19. (本小题满分 16 分 )已知数列 a n 中， a 1 1，且 an1 3a n 40， n N*

8、 .(1) 求证： a n1 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；(2) 数列 a n 中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，请说明理由.-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -20. (本小题满分 16 分 )已知函数2m(x) x ，函数 n(x) aln x 1(a R ).(1) 若 a 2 ，求曲线 y n(x) 在点 (1 ，n(1) 处的切线方程；(2)若函数f( x) m(x) n(x) 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(3)若函数g(x) n(x) 1 exex 对 ，恒成立，求

9、实数a 的取值范围 .(e 是0x 1)自然对数的底数，e2.718 28 ?)-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -2019 届高三模拟考试试卷(八 )数学附加题 ( 满分 40 分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在 A ， B ， C 三小题中只能选做2 题，每小题10 分，共20 分 .若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. ( 选修 42 ：矩阵与变换 )1x已知点 (1， 2) 在矩阵A对应的变换作用下得到点(7， 6). 求：2y(1) 矩阵 A；(2) 矩阵 A 的特征值及对应的特征向量.B. (

10、 选修 44 ：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线2x12 t，l 的参数方程为1(t为参数 )，曲线 C 的极坐标方程为 2 2sin( 4 )，求直线y 2tl 被曲线C 所截的弦长.C. ( 选修 45 ：不等式选讲)已知 a>0 ，b>0 ，求证： a b1ab ab.-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -【必做题】第 22 ，23 题，每小题10 分，共20 分 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，已知正四棱锥

11、PABCD的高OP 2 ，点B， D 和C，A 分别在x 轴和 y 轴上，且AB 2，点 M 是棱 PC 的中点 .(1) 求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值；(2) 求二面角 APBC 的余弦值 .23. 是否存在实数n（ n1）2a，b， c，使得等式 1·3·5 2·4·6? n(n 2)(n 4)(an4 bn c) 对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a， b，c 的值；若不存在，请说明理由.-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -2019 届高三模拟考试试卷(八)(常州 )数学参考答案及评分标准33

12、21. 1 2. i 3. 9.5 4. 3 5. (0 ， e6. 5 7. y ± 3x8. 89. 4 10. e11. 2212. 3313. y ± 3x 14.215. 证明： (1) 令 AB1 交 A1B 于点 O，连结 OM ， ON ，在正三棱柱 ABCA 1B1 C1 中， BB 1 CC1， BB 1 CC 1，且四边形 AA 1B1 B 是平行四边形，所以 O 为 AB 1 的中点 .1因为 M 为 AB 的中点，所以OM BB 1，且 OM 2BB1.因为 N 为 CC1 的中点， CN12CC 1，所以 OM CN ，且 OM CN ，所以四边

13、形CMON 是平行四边形，(5分)所以 CM ON.又 ON? 平面 AB 1N， CM ? 平面 AB1 N，所以 CM 平面 AB 1 N.(7 分 )(2) 在正三棱柱ABCA 1B1C1 中， BB 1平面 ABC ， CM ?平面 ABC ，所以 BB 1 CM .(9 分 )又 CA CB， M 为 AB 的中点，所以 CM AB.又由 (1)知 CM ON，所以 ON AB， ON BB 1.因为 AB BB1 B， AB， BB1? 平面 AA1B1B，所以 ON 平面 AA 1B1B.(12 分 )又 ON? 平面 A1BN ，所以平面A1BN 平面AA 1B1 B.(14

14、分 )2222232216. 解： (1)由余弦定理得a b 2bccos A c ，又 b3bcsin A c a，2222322 3所以 b 2bccos A c b 3bcsin A c ，即 2bccos A 3 bcsin A.(3 分 )22从而 sin A 3cos A ，若 cos A 0，则 sin A 0，与 sinA cos A 1矛盾，所以 cos A 0，所以 tan A 3.又 A (0， )，所以 A 3.(7分)tan B tan C2(2) tan(B C) tan( A) tan3.(9 分 )1 tan Btan C3又 tan Btan C 3，所以 t

15、an B tan C 3×(2) 23，解得 tan B tan C 3.(11 分 )又 B， C (0 ， )，所以 B C，所以 ABC 是正三角形 .由 a 2得 ABC 的周长为3.因为A36.(14 分)x2y2c217. 解： (1)22的方程得 b2 1，椭圆 C1： a b 1 的焦点坐标为( ±c， 0)，代入椭圆 C26622，点 ( 33 )的坐标代入椭圆C1， C2 的方程得 C1： 3a23b2 1，-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -2cb2 1，所以a2 b2 c2， 解得 a2 2， b2c21.(3分

16、)223a2 3b2 1，x22所以椭圆 C1， C2 x2 1.(5 分 )的标准方程分别为y21，y22(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设直线 l 的方程为y kx m ， A(x1 ，y1)， B(x 2，y2)，P(0 ，m) ，2y2（kx m）22k 22联立2 x 1，21，即 (1 kmx m 10，消去 y 得2 x)x2y kxm ，2k2m2 k2m)(2 2 m 2 0.(7 分 ) 2 22 4(1 1) 0，即 kx22 y 2 1 ，x2 (kx m) 21联立消去 y 得1，即 ( k2)x2 2kmx m2 1 0.y kxm ，22111222222因为

17、直线 l 与椭圆 C 1 相交，有 4km 4( k)(m1) 4(km) 0 (*)，1122222 2km± 4（ km ）x1，21222.(9分)） k2（ 233 因为 PA 5PA ，即 (x1， y1 m) 5(x 2， y2 m) ，有 5x 1 3x 2，所以 2km2121 2km 21214（ k m ）4（ km ）222251 k2） 31 k2）2（ 22（ 2 2km 2121 2km 21214（ k m ）4（ k m ）或 512 k 2）2（ 21化简得km 422k m 2因为 k2 2 m 2 0，解得2122 3k2），2（ 2121212

18、22121分 )或 km 4 k m ，即 km 16(km ).(1222222k2 2，k2 4，或符合 (*) 式，m2 4m2 6，所以直线l 的斜率为± 2 或 ±2.(14 分 )18. 解： (1) 记 CH 与 AF ， BE 的交点为 M， N，在 BCN 中，由 ABC 2，其中 CN HM 1可得 CBN (1.2 0.6) 0.3(m) ，362-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -3所以 BCCN0.3 (m) ， BN CN 0.333 (m).(2 分 )sin CBN5tan CBN10sin 63，则tan

19、 6所以 CD BE 2BN1.633 8355ABBCCDDEEFFGGHHA2AB2CD4BC1.2 166312346 3555(m).(5 分 )34 63答：景观窗格的外框总长度为5(m).(6分 )(2) AB BC CD DE EF FG GH HA 2AB 2CD 4BC 5，设 CBN ， (0，2 )， BC r ，则 CN r sin ， BN r cos ，所以 AB CH 2CN 1.2 2rsin ， CD BE 2BN 1.6 2rcos ，所以 2(1.2 2r sin ) 2(1.6 2r cos ) 4r 5，即 4r (sin cos 1)3.(8分 )5

20、48S 1.2 × 1.6 2r 2sin cos设景观窗格的面积为S ， 有 9sin cos 253200 （ sin cos 1）2 当且仅当4r (sin cos 1)5时取等号 .(9 分 )t2 1令 t sin cos (1，2 ，则 sincos 2.248t 14822所以 S)，其中 1922 9(1 12 (当且仅当 t2，25 200（ t 1）25400t 1t 12 1即 4 时取等号 ).(12分 )所以 S4894894897419 2(12)22)，(12 1 )25400(3 225 400t 125400400 200741923 cos 1)

21、5 且 即 S 400 当且仅当4r (sin4时，取等号 ，2003（2 1）分 )所以当且仅当r且 时， S 取到最大值 .(152043答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中ABC且 BC43（2 1）20m.(16分 )，n N * .(2 分 )19. (1) 证明： 由 a n 1 3a n 4 0 得 a n1 1 3(a n1)其中 a1 1 ，所以 a1 1 2 0，可得 a n 1 0，n N* .(4 分 )an1 1*所以an 1 3，n N，所以 an 1 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列.(6 分)所以 an 1 2( 3) n1，则数列 a n

22、的通项公式 an 2( 3) n1， n N * .(8 分 )(2) 解： 若数列 a n 中存在三项am ， an， ak(m n k) 符合题意，其中k n，k m ，n m-WORD格式 - 可编辑 -WORD格式 - 可编辑 - 专业资料 -都是正整数，(9 分)分以下三种情形： am 位于中间，则 2a m a n ak，即 22( 3) m 1 1 2( 3)n 1 1 2( 3) k1 1 ，所以2( 3) m ( 3)n ( 3) k，两边同时除以( 3) m，得 2 ( 3) n m ( 3) k m 是 3 的倍数，舍去； an 位于中间，则 2a n am ak，即 2

23、2( 3) n 1 1 2( 3) m 1 1 2( 3) k 1 1，所以 2( 3) n ( 3) m ( 3) k，两边同时除以 ( 3) m，得 2( 3) nm 1 ( 3) k m ，即 1 2( 3)n m ( 3) k m 是 3 的倍数，舍去； ak 位于中间，则 2a k a m an ，即 22( 3) k 1 1 2( 3) m 1 1 2( 3) n 1 1，所以 2( 3) k ( 3) m ( 3) n，两边同时除以(3) m ，得 2( 3) k m 1 ( 3) n m，即 1 2( 3)k m ( 3) n m 是 3 的倍数，舍去.(15 分 )综上可得，

24、数列 a n 中不存在三项满足题意.(16 分 )2， n (1) 2.20. 解： (1) 当 a 2时， n( x) 2ln x 1，n ( x) x又 n(1) 1，切线的方程为 y 1 2(x 1) ，即 y 2x 1.(3 分 )(2) f(x) x2 aln x 1 ，定义域为 (0 ， )，其图象是一条不间断的曲线.2 af (x) 2xa 2x，x x 若 a 0，则 f(x) 0 对 x (0 ， )恒成立， y f(x) 在 (0 ， )上单调递增 .又 f(1) 0， y f(x) 在(0 ， )上只有一个零点，符合题意.a 若 a 0，令 f(x) 0，得 x或 xa22(舍去 ).aaax)2， )f(x)(0，22(0a)f(x)a1，即 a2，此时 a 极小值 f(2a，则 f(af(1) ， 2 aln a 1.1° 若)0 f(a)a令 F22 aln a 1， a 2，则 F 221(a) a1 (a) 2a