2012届高考数学经典易错题会诊与试题预测(五)

1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(五)考点5 三角函数 经典易错题会诊 命题角度1 三角函数的图象和性质 命题角度2 三角函数的恒等变形 命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测 预测角度1 三角函数的图象和性质 预测角度2 运用三角恒等变形求值 预测角度3 向量与三角函数的综合命题角度1 三角函数的图象和性质1（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 . 考场错解 填0，3 f(x)= f(x)的值域为(0，3)，f(x)与y=k有交点， k0，3 专家把脉 上面解答求出k的范围只能保证y= f(x)

2、的图像与y=k有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解 对症下药 填(1，3)f(x) 作出其图像如图从图5-1中可看出：当1<k<3时，直线y=k与 yf(x)有两个交点 2(典型例题)要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D横

3、坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 考场错解 B或D将函数y=sin(2x+)的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得函数y=sin(x+)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=sin(x+)= cosx的图像故选B 将函数y=sin(2x+)变形为y=sin2(x+)若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=sin(x+)的图像再向右平行移动 个单位长度后得y=cosx的图像，选D 专家把脉 选B有两处错误，一是若将函数y f(x)=sin(2x+)横坐标缩短到原来的倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)= sin(4x+)，而不是f(x)=si

4、n(x+)，二是将函数y=f(x)=sin(x+)向右平行移动得函数y=f(x)=sinx的图像，而不是y= f(x)=cosx的图像因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是x变为x-选D同样是两处错误一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=sin(x+)而不是y=sin(x+)由y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度得了y=sinx的图像，而不是y=cosx的图像 对症下药 选C 将函数y=sin(2x+)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(x+)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=sin(x+)= cosx的图像故选C 3(典型例题)

5、设函数f(x)=sin(2x+)(-<<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求； (2)求函数y=f(x)的单调增区间； (3)画出函数y=f(x)在区间0，上的图像 考场错解 (1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2×+)=±1， + =k+k Z =k+ ，-<<0， =- (2)由(1)知 =，因此y=sin(2×-)最小正周期为T=.由题意得k-2x-k+，kZ 解得 k+xk+，kZ所以函数y=sin(2x-)的单调查递增区间为 专家把脉 以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令处，因若把看成一

6、个整体u，则y=sinu的周期为2。故应令，解得的x范围才是原函数的递增区间. 对症下药（1）解法1 是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2×+)=±1。解法2 x=是y=f(x)图象的对称轴，对任意的x有f(x)=f(-x).令x=0时，有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又(2)由（1）得,因此，由题意得（3）由知x0y-1010故函数y=f(x)在区间0,上图像是5.（典型例题）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.考场错解 当时，函数y有最小值-2. 当时，函数单调递增. 函数递增区间是. 专家把脉 上面

7、解答错在求函数的递增区间上，当x0，时，2x- (-,)函数不为单调函数应先求出函数y=2sin(2x-)在R上的单调递增区间，再求它与区间0，的交集 对症下药 函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是.当2x-=2k-时，即x=k-时，y有最小值2令2k-2x-2k+，kZ解得k-xk+，kZ令K=0时，-x又0x，0x， K=1时， x 又0x.x.函数y=2sin(2x-)的递增区间是0， ，专家会诊利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单

8、调性、最值)，应以基本的三角函数图像y= sinx，y=cosx，y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+)，y=sin(-2x)， y=log sin(2x+)的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+， -2x，2x+,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题y=Asin(x+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平专家会诊移要注意顺序不同，平移单位也不同 一般地，y=Asib(x+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin(x+a)+ 的图象，再把其上所有点的横坐标变为原来的，即得到y=Asinw1+a+的图像考场思

9、维训练 1 已知函数y=tan 在(-,)内是减函数，则 ( ) A0<1 B-1<0 C.1 D -1 答案：D解析函数y=tan x在（-）内是减函数，w<0，又函数y=tan(-wx)在（）上是增函数，有2 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为 ( ) A B. C D2 答案： C 解析：f(x)=|sin(x+)|y=sin(x+) 的最小正周期为2，f(x)=|sin(x+)|的最小正周期为.3 当0<x<时，函数f(x)=的最小值为 ( ) A.2 B2 C4 D. 4答案： C 解析：f(x)=cotx+4tanx0<x<

10、，tan x >0，cot x>0，f(x)4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+ 2(xR，kZ)求函数f(x)的值域和最小正周期答案：解析：f(x)=cos(2k+2x)+cos(2k-2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4sin(+ +2x)=4sin(+x)=4cos2x f(x)的值域为-4，4；最小正周期为T：=.命题角度2三角函数的恒等变形 1(典型例题)设为第四象限的角，若，则tan2= . 考场错解 填± 专家把脉 上面解答错在由cos2=得sin2=±时没有考虑角是第四象限角2是第三、四象限角s

11、in2只能取负值因而tan2也只能为负值 对症下药 填-=cos2+2cos2=2cos2+1=cos2=又为第四象限角，即2k+<< 2k+2，kZ，4k+3<2<4k+4，kZ 即2为第三、四象限角sin2=- 2(典型例题)已知-<x<0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值 考场错解 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-.(sinx- cosx)2=1-2sinx·cosx=. 又-<x<0，sinx<0，cos

12、x>0，sinx-cosx<0 sinx-cosx=-(2)=cosx·sinx(2+cosx-sinx)=专家把脉 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx，用错了公式，因为 2sin2 =1-cosx因此原式化简结果是错误的 对症下药 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- <x<0，sinx<0，cosx>0，sinx-

13、cosx<0sinx-cosx= (2)解法2 (1)联立方程由得slnx=-cosx，将其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)- <x<0，故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(典型例题)已知6sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 考场错解 由已知得(3sin+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2·sin =sincos+(cos2-sin2)=

14、将tan=-代入上式得sin(2+)=将tan=时代入上式得即专家把脉 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，(,)，tan<0，tan=应舍去，因此原题只有一解 对症下药 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知条件可知cos20，所以，即(，)于是tan<0，tan=sin(2+)=sin2cos+cos2·sin 将tan=-代入上式得sin(2+)= 解法2 由已知条件可知cos0，则a，所以原式可化为6tan2+tan-2=0 即(3tan+2)(2tan-1)=0又(,)tan&l

15、t;0tan=-，下同解法1 4(典型例题)若函数f(x)=cos(- )的最大值为2，试确定常数a的值 考场错解 f(x) =sinx的最大值为1，a=3专家把脉 上面解答在三角恒等变形中，用错了两个公式：1+cos2x2sin2x；sin(+x)sinx因为 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-11+cos2x=2cos2x由诱导公式“奇变偶不变”知sin(+x)=cosx 对症下药 f(x)=其中角满足由已知有=4，解之得，a=专家会诊由于三角函数式中包含着各种角，不同的三角函数的种类，以及不同的式了结构，所以三角函数配凑、降次与升幂、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察，

16、以便发现角、三角函数名称及式子结构差异，运用公式，找出差异的内在联系，选择适当的公式促使差异的转化.另外，由于公式记错而在考试中失分是很常风的，应该熟练掌握各种要求记的公式及其使用范围.考场思维训练 1 ( ) Atan Btan2c1 D答案： B 解析：原式=tan 2.2 若sin(-)=，则cos(+2)= ( ) A- B-C D 答案： A 解析：(-)+(+)=sin(-) =cos(+)=则cos(+2)=cos2(+)=2cos2(+)-1=2×()2-1=-3 已知、均为锐角，且cos(+)=sin(-)，则tan= . 答案：1 解析：cos(+)=sin(-)

17、cos cos-sin sin=sin cos-cos·sincos(cos+sin) =sin(sin+cos) (0，)，sin>0，cos>0，tan(=14 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值；答案：sin(2)设(0，),f()=，求sin的值 答案： 16sin2-4sin-11=0，解得sin=(0，)，sin>0，则sin=5 已知函数f(x)=2sin2x+sin2x，x(0，2)求使f(x)为正值的x的集合 答案：解：f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin(2x-)， f(x)>01+sin(

18、2x-)>0 sin(2x-)>-+2k<2x-<+2kk<x<+k，又x0，2，x(0，)(，)6 若函数f(x)+sinx+a2sin()的最大值为+3，试确定常数队a答案：解f(x)=+sinx+a2sin(x+) =cosx+sinx+a2sin(x+) =sin(x+ )+a2sin(x+) =(+a2)sin(x+) f(x)的最大值为+a2令+a2=+3 a=± 命题角度3 三角函数的综合应用 1(典型例题)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0 ()将十字形的面积表示为的函数；

19、()为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少? 考场错解 设S为十字形的面积，则S=2xy=2sin· cos=sin2(<) (2)当sin2=1即= 时，S最大，S的最大值为1 专家把脉 上面解答错在面积S的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积 对症下药 (1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sincos-cos2(<< ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1，即2-=时，S最大 当=时，S最大，S的最大值为 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2si

20、n2+2sin·cos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0， 可解得=arctan(-2)当=arctan(-2)时，S最大，S的最大值为 2(典型例题)若0<x<，则2x与3sinx的大小关系为 ( ) A2x>3sinx B2x<3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关考场错解 选A 设f(x)=2x-3sinx，f(x)= 2-3cosx，0<x<f(x)>0 f(x)在(0，)上是增函数 f(x)>f(0)=0即2x>3sinx，选A 专家把脉f(x)=3(-cosx)当0<x<时

21、，f(x)不一定恒大于0，只有当x(arccos)时 f(x)才大于0因而原函数f(x)在(0，)先减后增函数，因而2x与3sinx的大小不确定 对症下药 选D 设y=(x)=2x-3sinx， y=2-3cosx=3(-cosx)当cosx<即x(arccos)时，y>0当x(0，arcccos)时，y<0即当x(arccos，)时，f(x)>0口P2x>3sinx当x(0，arccoss)时，f(x)<0即2x<3sinx故选D 3(典型例题)设函数f(x)=xsinx(xR)(1)证明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ； (2)设x0是

22、f(x)的一个极值点证明f(x0)2=； (3)设f(x)在(0，+)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，an，证明：<an+1-an< 考场错解 (1)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k，有f(x+2k)-f(x)=(x+2k)·sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2karsinx(2)函数f(x)在定义域R上可得f(x)=sinx+ xcosx令f(x)=0，sinx+xcosx=0显然，对于满足上述方程的x有cosx0，上述方程化简为x=-tanx，此方程一定有解,f(x)的极值点x0一定满足tanx0=-x0·

23、(3)证明：设x0>0是f，(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+ k)即x0在第二或第四象限内 由题设条件，a1，a2，an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1<a2<a3，an，那么对于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n< an+1<+n，则<an+1-an< 由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an-1，-an

24、)< 0由此可知an+1-an必在第二象限 <an+1-an< 专家把脉 上面解答的错误出现在第三小题的证明，设x0是f(x0)的根，则认为x0是f(x)的一个极值点，没有判断f(x)在(+k，x0)和(x0+k)上的符号是否异号，这显然是错误的 对症下药 (1)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k，有f(x+2k)-(x)=(x+2k)sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx (2)证明：函数f(x)在定义域R上可导f(x)=sinx +xcosx， 令f(x)=0，得sinx+xcos=0显然，对于满足上述方程x有cosx0，上

25、述方程化简为x=-tanx如图所示，此方程一定有解f(x)的极值点x0一定满足tanx0=-x0·由sin2x=f(x0)2=(3)证明：设x0>0是f(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限内由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：X()f(x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点由题设条件，a1,a2，an为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1<a2<<an<那么对于n=1，2， an+1-a

26、n=-(tanan+1-tanan) =-(1+tanan+1·tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n<an+1<+n，则<an+1-an<,由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an+1-an)<0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an<.综上，<an+1-an<专家会诊处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解有些三角问

27、题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第2、3题 考场思维训练 1将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是 答案：解析：(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4，则x-y的最大值是 . 答案：2解析：设x：2cos，y=2sin，则x-y=2(sin-cos)=2sin(-) 当=2k+时,(x-y)max=23 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室如图所示， ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中C、M分别在AB和AD上，H在EF上，设矩形AGHM的面积为 S，HCF=，请将S表示为

28、的函数，并指出当点H在EF的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少? 答案：解：延长GH交CD于P GHAM，HPCD HCP=HCF=，CH=40， HP=CH·sin=40 sin CP=CH·cos=40 COS 于是HG=50-40sin，HM=50-40cos, 矩形AGHM的面积S=HGHM =(50-40sin)(50-40cos)(0)整理，得S=10025-20(sin+cos)+16sincos设sin+cos=t，则2sincos=t2-1 0，1t S=10025-20t+8(t2-1)=100(8t2-20t+17)=800(t-)2+450

29、当t=1时，S有最大值，且S最大值=500 此时，2sincos=0，即 sin 2=0 02,=0或， 当H在EF的端点E或F处时，健身室面积最大，最大面积为500平方米4 已知函数f(x)=sin(1)将f(x)写成Asin(x+)+k的形式并求其图像对称中心的横坐标；答案：解f(x)=sin(x+)+ ， 由sin(x+)=0，即x-=k(kZ) 得x=，kZ 即对称中心的横坐标为，kZ(2)如果ABC的三边。a，b,c成等比数列，且边 b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域答案：解析：(2)由已知b2=ac，cosx= 0<xsin<sin(x+)1 即f

30、(x)的值域为，1+探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质 1关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命题： 由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是的整数倍；若<x1,x2<，且2f(x1)=f(x1+x2+)，则x1<x2；函数y=f(x)的图像关于点(-，0)对称函数y=f(-x)的单凋递增区间可由不等式2k-2x+2k+(kZ)求得 其中正确命题的序号是 . 解题思路 利用函数y=Asin(x+)的图像和性质与数形结合的思想，去分析四个命题的真假 解答 函数f(x)=4sin(2x+)的周期为霄，而且由图像易知，其在任意一个长度为的区间内，至少有两

31、个不同的自变量的值，使函数值为零，故错令ai=2xi+(i=1，2)，于是有2sin1=sin(1+2)= sin1cos2+cos1sin2. sin1>sin1cos2,sin1<cos1sin2，即sin1<sin2. 又由1，2，均为锐角，故1<2. 即x1<x2，故对； 由函数y=f(x)的图像可知，所有满足使2x+= k(kZ)且y=0的点，均为函数y=f(x)图像的对称点，x=,4sin(2·()+)=0故对 由复合函数的知识可知，y=4sin(-2x+)的递增区间为满足不等式2k+-2x+2k+的 x的集合，故错 综合得只有正确故填 2函

32、数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当方程f(x)+a=0有解时，求a的取值范围； (3)当cos()=时，求f(x)的值 解题思路 (1)利用辅助角公式，化为一个角的三角函数形式后，用 可求得函数的最小正周期 (2)可转化为求函数的值域问题求解； (3)通过已知条件可求得sin2，cos2的值，再求 f()的值就不难了 解答 (1)f(x)=1+cos2+sin2x=2sin(2x+)+1最小正周期 (2)sin(2x+)=-，要使方程f(x)+a=0有解，则|-|1，得-3a1 (3)预测角度2 运用三角恒等变形求值 1若关于x的方程x2-4x·

33、Sin+·tan=0(<<有两个相同的实根 (1)求a的取值范围； (2)当a=时，求cos(+)的值 解题思路 (1)利有=0可得a表示为的函数，通过来值域即可得a的取值范围 (2)可先通过第(1)问结果求出sin2的值，再运用降幂公式可求得cos2(+)的值，再求cos(+)的值就容易了 解答 (1)=16sin2-4a·tan=0 <<，sin0 故4sin- ， a=4sincos=2sin2，<2<, ·0<sin20<1，0<a<2 (2)由=2sin2， sin2= cos()= 而2已知(

34、0，)，sin-cos=,求的值 解题思路 由已知可求得sin2及tan的值，因此只要把 化为sin-cos，sin2，及tan表示的式子，再代入计算即可 解答 解法1 把sin-cos两边平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0，)，()，求sin(+)的值 解题思路 注意已知角与未知角之间的联系，即+=+-(-)- 解答 由已知，()所以预测角度3 向量与三角函数的综合 1已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定义函数f(x)=a·b-1 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间

35、 解题思路 用向量的数量积的坐标运算求出y=f(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质求解 解答 (1)f(x)=a·b-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)(2)令函数f(x)的单调减区间为k+kZ. 2设a=(1+cos，sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)(0，)，(，2)，a与b的夹角为1，b与c的夹角为的值解题思路 通过向量的夹角公式找到1、2与、的关系，从而得1-2与-的关系，进而求得 sin的值 解答 根据题意，cos1=3已知a=(sino，cos)，b=(cos，sin)，b+c=(2cos， 0)，a

36、·b=,a·c=求cos2(+)+tan·cot的值 解题思路 由b+c的坐标求出c的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算公式转化为三角函数关系式，再借助三角函数的恒等变形可求出cos2(+)+tan· cot的值解答 设c=(x，y)，b+c=(2cos,0)x=cos,y=sin即c=(cos，-sin) 由a·b=，a·c=， sincos=cossin=，sin(+)= tan·cot=5，cos2(+)=1-2sin2(+)=原式=. 考点高分解题综合训练 1 已知x，cos2x=a，则sinx ( ) A B-C

37、D 答案：B 解析：由-<x<0知sinx<0，sin2x=.sinx=-2已知的值为 ( ) A. B. C. D.答案： A 解析：<<，sin(-)=，cos(-)=3 设，则有 ( ) AO>b>c BO<b<c CO<c<6 D6<c<O 答案： C 解析：由于a=sin 30°COS 6°-cos 30°sin 6°=sin 24°，b=sin 26°，c=sin 25°，a<c<b 4 函数y=4sin(wx+)w(wx-)(w>0)的图像与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，且|P3P5|=，则w等于( ) A4 B1 C2 D.答案： C 解析：y=4sin(wx+)cos(wx-) =4cos2(-wx)=2+2cos(-2cosx) =2+2sin2wx，y=3时，sin2wx=， |P3P5|=T=，w=25 已知f()=,则f()取得最大值时的值是 ( ) A BC D答案： B 解析：f(x)=当sin2a=1，即=时f(x)有最