二次函数知识点及典型例题

1、 让更多的孩子得到更好的教育 二次函数一、二次函数的几何变换函数y=ax2 +k函数y=x2函数y=ax2函数y=a(xh)2函数y=a(xh)2k函数y=ax2 +bx+c目标几何变换二、二次函数的图象和性质() y=a(x-h)2+k (a¹0)的图象和性质解析式y=ax2Y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k图象a>0a<0特点顶点在原点顶点在y轴上顶点在x轴上开口方向 a>0，开口向上；a<0，开口向下. 同前同前同前形状相同抛物线的形状大小相同.越大,开口越小;越小, 开口越大.同前同前同前.顶点坐标（0，0）（0，k）（h，0）（h

2、，k）对称轴y轴y轴直线x=h直线x=h函数最值若a>0，当x=0时，y有最小值是0.若a<0，当x=0时，y有最大值是0.若a>0，当x=0时，y有最小值是k.若a<0，当x=0时，y有最大值是k.若a>0，当x=h时，y有最小值是0.若a<0，当x=h时，y有最大值是0.若a>0，当x=h时，y有最小值是k.若a<0，当x=h时，y有最大值是k.增减性若a>0，当x0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.若a<0，当x0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.同前若a>0，当xh

3、时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大.若a<0，当xh时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小.同前平移y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象沿y轴向上或向下平移个单位得到的，k为正向上，k为负向下.y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位得到的，h为正向右，h为负向左.y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位，h为正向右，h为负向左；再沿直线x=h向上或向下平移个单位，k为正向上，k为负向下得到的.() y=ax2+bx+c (a¹0)的图象和性质图 象a>0a

4、<01.开口方向a>0，开口向上a<0，开口向下2.形状相同抛物线的形状大小相同. 越大, 开口越小; 越小, 开口越大.3.顶点坐标4.对称轴直线5.函数最值若a>0，当时，y有最小值是.若a<0，当时，y有最大值是.6.增减性若a>0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.若a<0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.7.与坐标轴的交点坐标与x轴交点坐标>0与x轴有两个公共点 (x1, 0)，(x2, 0)；=0与x轴有一个公共点 (, 0)；<0与x轴没有公共点.与y轴交点坐标(0，c)8.与x轴两交点A

5、,B间的距离9.五点法作图例、x011.523y-400.50-4() a、b、c的符号对抛物线形状位置的影响a确定开口方向和开口大小.a、b共同确定对称轴位置：a，b同号对称轴在y轴左侧；a，b异号对称轴在y轴右侧；b=0对称轴是y轴.c确定与y轴交点位置：c>0与y轴交点在y轴正半轴；c<0与y轴交点在y轴负半轴；c=0抛物线过原点.确定与x轴公共点个数：>0与x轴有两个公共点(x1, 0), (x2, 0)；=0与x轴有一个公共点(, 0)；<0与x轴没有公共点.特别地a+b+c=0图象过点（1，0）； a-b+c=0图象过点（-1，0）三、待定系数法求二次函数的

6、解析式1、一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。2、顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。3、交点式：已知图像与轴的交点横坐标、，通常选用交点式：。4、顶点在原点，可设解析式为y=ax2。5、对称轴是y轴（或者顶点在y轴上），可设解析式为y= ax2+c。6、顶点在x轴上，可设解析式为。7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx。四、抛物线的对称性1、抛物线与x轴有两个交点（x1,0）（x2,0），则对称轴为x=。2、抛物线上有不同的两个交点（m，a）（n,a），则对称轴为x=。3、抛物线（a0）与y轴交点关于对称轴的对称点为(, c)。五、二次函数与一元二次方

7、程的关系对于抛物线（a0），令y=0，即为一元二次方程，一元二次方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标。要分三种情况：1、 判别式=b2-4ac0抛物线与x轴有两个不同的交点（，0）（，0）。有韦达定理可知x1+x2= ，x1·x2=。2、 判别式=b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点（，0）。3、 判别式=b2-4ac=0抛物线与x轴无交点。六、二次函数与一元二次不等式的关系1、a0：（1）的解集为：xx1或xx2（x1x2）。 （2）的解集为：x1xx2（x1x2）。2、a0：（1）的解集为：x1xx2（x1x2）。 （2）的解集为：xx1或xx2（x1x2）。七、二次函数的应

8、用 1、面积最值问题。2、长度、高度最值问题。3、利润最大化问题。4、利用二次函数求近似解。例1、抛物线与直线在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）例2、已知二次函数y=-x2+bx-8的最大值为8,则b的值为 （ ）A、 8 B、 -8 C、 16 D、 8或-8例3、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2,0）B（1,0）且经过点C（2,8）（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标例4、已知二次函数y=3（x1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 。例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2

9、个单位，所得的图象解析式是y= x2-3x+5,则a+b+c= 。例6、一次函数Y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于A（-8,0）和点B（0,4），线段AB垂直平分线CD交x轴与点C交于AB于点D，求： 1、确定直线AB的解析式2、求过A、B、C三点的抛物线解析式3、抛物线对应的二次函数有最大值还是最小值？当X等于几时，相应的最大值或最小值是多少？例7、已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）抛物线顶点为D，直线CD交x轴于点E，过点B做x轴的垂线交直线CD于点F。（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）求直线CD的解析式（3）在线段BF上是否存在点

10、P，使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离。如果存在，求出点P坐标。例8（2013永州）如图，已知二次函数y=（xm）24m2（m0）的图象与x轴交于A、B两点。（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的M与y轴交于C、D两点，求CD的长例9、（2010 常德）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EFAC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标；（3）

11、若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标例10、（1）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0其中，正确的结论是 。 图（1） 图（2）图（3）（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；ba+c；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b），（m1的实数）其中正确的结论有_（填序号）（3）（2013浙江义乌）如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，顶点坐标为(1，

12、n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），则下列结论：当x3时，y0；3ab0；1a；3n4中，正确的是（ ）A BCD例11、（2005绵阳）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m求灯与点B的距离例12、（2012嘉兴）某汽车租赁公司拥有20辆汽车据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元设公司每日租出x辆车时，日收益为y元

13、（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？例13、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m（1）求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高为4.2 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明例14、在坡面为OA的斜坡上，有两根

14、电线杆OC，AD，如图，以地平面为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=41米，AB=9米，OC=AD=10米，坡面中点F处与电线的距离EF=7.5米（1）求电线所在的抛物线解析式；（2）若平行于y轴的任意直线x=k交抛物线于点M，交坡面OA于点N，求MN的最小值 练习1、（2013·嘉兴）一次函数y=ax+b(a不等于0)的图像与x轴的交点坐标是(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ） A.直线x=1 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=-42、二次函数y=-2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=-2x2的图象（）A.向左移动1个单位，

15、向上移动3个单位B.向右移动1个单位，向上移动3个单位C.向左移动1个单位，向下移动3个单位D.向右移动1个单位，向下移动3个单位3、把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位,再向下平移1个单位后,恰好与抛物线y=2x2+x+1重合，求出a，b，c的值，并画出函数的示意图。4、已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ). A、4+m B、m C、2m-8 D、8-2m5、当时，函数的最大值为 。6、如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距

16、离为9m，AB=36m，D，E为拱桥底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_m 7、若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n）.B（m+6，n），则n= 。 8、已知函数)，若使yk成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）A0 B1 C2 D39、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为

17、自变量的一次函数（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？10、（1）（2012衡阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法：a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时，y0其中正确的个数为（）A、1 B、2 C、3 D、411Oxy图（2）图（3）xyOx1x2图（4）图（1）（2）（黄石市）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD（3）（南充）如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为x1给出

18、四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（）A、 B、 C、 D、（4）（江苏省镇江市）函数（为常数）的图象如图，如果时，；那么时，函数值（ ）A B C D（5）（山东省滨州市）若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A、y1y2y3 B、y2y1y3 C、y3y1y2 D、y1y3y211、（2011贵阳）如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值； （2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0）使SABD=SABC，求点D的坐标 12、如图，已知抛物线与直线交于点O（0，0），A（，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作轴、轴的平行线与直线OA交于点C，E。科#（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（，），求出，之间的关系式。13、（2013内江）已知二次函数y=ax2+bx+