量子点系统的热电效应 (1)

1、上海交通大学 硕士学位论文 量子点系统的热电效应 姓名:陈雪欧 申请学位级别:硕士 专业:理论物理 指导教师:雷啸霖;董兵 20080201量子点系统的热电效应摘 要使用非平衡格林函数方法和 Anderson 模型, 本文主要从理论上研 究了量子点系统的热电效应。 主要研究了两种系统, 一种是有机分子 制备的单量子点系统, 另一种是半导体制备的双能级量子点系统。 在 前一个系统中我们考虑了单一模式的电声子耦合, 而在第二个系统中 我们没有考虑电声子耦合, 但是考虑了库仑作用的影响。 论文目的在 于解释量子点系统的热电特性, 为设计和实现具有优良性能的量子器 件提供物理模型和理论依据。在本文第一

2、章中, 简单介绍了介观系统和量子点的一些基本知识, 并且回顾了近几年量子点方面的研究进展, 同时还对主要的理论工具 非平衡格林函数的工作原理进行了简单的介绍, 并且介绍了主要 的描述热电效应的物理量。在第二章中, 我们研究了双能级量子点系统的热电效应, 研究中 我们考虑了库仑作用的影响。 作为研究的重点, 我们探讨了不同情况 下系统的热流。 我们发现, 在某种情况下, 系统的热流会呈现出强烈的 非对称性, 显示出了一种热整流效应。 我们详细的分析了这种效应产 生的原因, 发现主要是由于左右电极与中间两个能级的耦合为非对称 所致。 只有在系统的上能级导通、 而下能级阻塞的情况下, 这种热整流 效

3、应才会出现。 同时, 库仑作用也对这种效应有很大影响, 至少在比较 大的库仑作用下, 系统才会有比较明显的热整流效应。在第三章中, 我们研究了单量子点系统在考虑电声子耦合情况时 候的热电效应。 我们研究了线性条件下系统的电导、 热电势和热导, 发 i 现电声子耦合对于上述诸物理量的总体行为趋势没有影响, 但是在强 耦合强度下, 电导和热导的峰值会显著下降。 我们还研究了非平衡条 件下系统的电流和微分电导。 在左右电极之间施加一个偏压时, 我们 发现, 系统的电流会呈现台阶状的增加, 导致微分电导呈现周期性的 峰值, 且峰值从中间向两边呈减小趋势。 但是在强电声子作用下, 电流 反而会被抑制,

4、电导的峰值从中间向两边呈增加趋势, 这些现象是由 于 Franck-Condon 阻塞引起的。第四章给出了本论文的结论。关键词:量子点, 热电效应, 热整流效应, 电声子作用 ii Thermoelectric Eect of Quantum Dot SystemABSTRACTIn this thesis, we carried out theoretical investigations on thermoelectric eect of an interacting quantum dot with tunnel-coupling to two electrodes by means o

5、f Keldyshs nonequilibrium Green function technique and the Anderson-type Hamil-tonian. Here our investigations focused on two kinds of systems. One is a single molecular quantum dot, and the other is a semiconductor two-level quantum dot system. In the rst system we considered the electron-phonon in

6、teraction (EPI between electrons and a single mode phonon. In the second system we considered the Coulomb interaction between electrons in the two energy levels. Our aim is to explore the thermoelectric eect of quantum dot system, and to obtain some valuable insights in designing new nanoscale quant

7、um thermoelectric devices with optimal properties.In chapter 1, we introduced some basic knowledge of mesoscopic system and re-viewed the recent development of research on quantum dot system. In this chapter, we also briey introduced the main theoretical method used in this thesis, nonequi-librium G

8、reen function technique, and the main physical quantities used to describe thermoelectric eect.In chapter 2, we investigated the nonlinear thermoelectric eect of a two-level quantum dot system with inter-level Coulomb interaction. We calculated the nonlin-ear heat current through the quantum dot whe

9、n a temperature dierence is applied between the two electrodes, and found that in some cases the heat current displays a strong asymmetrical behavior, which indicates a thermal rectication eect. We analyzed further this eect in detail, and ascribed it to the asymmetrical couplings between two electr

10、odes and two levels:only when the upper level is open for trans-port and meanwhile the lower level is blocked, the rectication eect may occur. iii Besides, our numerical calculations shown that the strong Coulomb interaction is necessary for the appearance of the rectication eect.In chapter 3, we in

11、vestigated the thermoelectric eect of a single level quantum dot with EPI by examining conductance, thermopower and thermal conductance of the quantum dot in the linear regime. It is shown that the strong EPI obviously decreases the linear conductance and thermal conductance. We also calculated the

12、nonlinear current when a bias voltage is applied between two electrodes, and found that the tunneling current exhibits a stepwise behavior due to phonon-assisted tunneling. In the case of strong EPI, the current at weak bias-voltage range is signicantly suppressed owing to the Franck-Condon blockade

13、.KEY WORDS:Quantum dot, thermoelectric eect, heat rectication eect, electron-phonon interaction iv 上海交通大学学位论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的学位论文, 是本人在导师的指导下, 独立进行研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外, 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明 确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名:陈雪欧日期:2008年 2月 25日上海交通大学学位论文版权使用授

14、权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。保密 ,在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于不保密 。 (请在以上方框内打“ ” 学位论文作者签名:陈雪欧 指导教师签名:雷啸霖 日期:2008年 2月 25日 日期: 2008年 2月 25日第一章 绪论介观系统 (Mesoscopicsystem 一词第一次是由 van Kampen 在 1976年关于随机

15、 过程的文章中提到的 1。 从它的名称可以知道, 介观系统是介于微观和宏观之间 的系统, 其典型尺寸的量级为纳米, 因此介观系统的基础研究对于当前热门的纳 米科学发展有着极为重要的意义。 它和宏观系统以及微观系统既有区别又有相同 之处。 和宏观系统的相同之处在于, 它们都含有很多的分子和原子, 和微观系统的 相同之处则在于它们都需要用量子理论来加以描述和研究。 我们知道, 在量子力 学中, 人们用波函数来描述系统的状态, 而波函数包含了相位信息, 遵从波的叠加 原理, 因而有一系列与相位相联系的波动现象, 例如干涉、 衍射等等, 这是量子力 学与经典力学最根本的区别。 宏观系统由于空间尺度远大

16、于德布罗意波长, 因此 粒子的状态波函数缺乏足够的相位相关性, 或者说相位不相干, 因此物理量与相 位之间相联系的量子特性, 由于统计平均的结果而被掩盖, 可以用经典力学来描 述。 而介观系统虽然也含有大量粒子, 但是它的物理尺度小, 达到了纳米的量级, 小于体系的相位相干长度 L , 从而体系载流子波函数的相干性得以保持, 因此必 须用量子理论来描述。 相位相干长度 L , 是指粒子在完全失去相位相干性之前所 传播的平均距离, 反映了粒子保持相位相干性的最大范围, 通常用粒子的非弹性 散射平均自由程来定义。 实质上在文献上, 正是定义尺度相当于或者小于 L 的小 尺度体系称做介观系统 2。由

17、于介观系统的上述特点, 因此其物理性质有了很多新的特性, 例如传导电子 的量子干涉现象 3、 库仑阻塞 4、 AB(Aharonov-Bohm效应 5、 Kondo (近藤 效应 68等。 实际上, 由于介观系统的尺度已经小到失去了宏观系统通常具有的 自平均性, 即物理量相对涨落的大小不趋于零, 因此其物理量以具有某种普适性 的量子涨落为特征。 从实验角度来讲, 相位相干长度 L 随着温度的降低而升高 9, 对正常金属而言, 在低温下其量级可以达到微米量级。 介观系统的尺度可以达到 如此之大, 具有重要的意义。 一方面这个尺度如此之大, 几乎就是宏观尺度, 可以 很容易在实验室制作这样的样品;

18、 另一方面, 如前所述, 它又具有量子力学的特 征。 于是介观系统同时成为理论物理学家和实验物理学家共同关注的领域。 而更 1为重要的是, 当前微加工技术已经达到了纳米量级, 属于介观尺度, 以经典理论为 基础的传统的电子器件已经日益接近其工作原理的物理极限, 量子效应越来越多 的显示出其作用, 因此对于介观系统的研究, 自然而然成为了当前的一个热点。通常的介观结构有低维的量子井、 量子线、 零维的量子点 10和其它纳米结 构, 它们都是由人们在某个或者某几个方向上对电子的运动施加限制而制成的。 对于普通的电子, 在空间上有三个自由度。 如果在某个方向上对电子加以限制, 例 如只让电子在纳米量

19、级的范围内活动, 那么在这个方向上电子的运动就会呈现出 明显的量子特性, 成为二维的电子气。 如果在两个方向上都加以限制, 则成为一维 的量子线结构。 如果在三个方向上都加以限制, 则成为所谓的量子点结构。 在量子 点系统当中, 由于三个维度都受到限制, 能级呈现分裂的量子态, 量子点俘获和释 放的电荷量是以电子电荷整数倍的量子化方式, 并在输运过程中表现出许多新颖 的量子化输运。 例如对于一种尺度小于 100纳米的典型的半导体量子点, 由于维度 的限制, 量子点内会形成零维的离散能级, 有限个电子, 通常是零到几百个电子, 填充在这些能级上, 有点像原子的电子壳层结构, 因此量子点又被称为

20、“人造原 子” 11。 不过在这么小的尺度之内, 电子之间的库仑作用相当大, 只有提供一定 的充电能 (Charging energy e 2/2C , 其中 C 是量子点的等效电容, 才能够向量子 点内注入一个电子。 当环境的温度 k B T 小于充电能时, 电子不能由热运动提供的能 量进入量子点, 而只能通过人为手段提供能量注入电子, 于是此时量子点内部的 电子数目是固定的, 而且是人为可调的, 并且量子点外部形状可变, 自然成为将来 量子器件理想的可选对象。量子点系统具有很多新颖的特性, 例如上面提到的库仑阻塞现象。 当环境温 度的特征能量 k B T 高于充电能时, 热运动会造成量子点

21、内电子数量的涨落, 电子可 以连续的通过量子点, 从而形成连续的电流。 而当 k B T 小于充电能时, 这时候环境 的温度很低, 只有电极的费米面比量子点内的能级高出一个充电能时, 才可能有 电子进入量子点, 否则电子就不能进入量子点, 电流被阻断。 这种现象就被称为库 仑阻塞 4,12。 调节电极上的电压, 可以使得电子一个一个地通过量子点, 因此这 样的系统也被称为单电子晶体管 (SingleElectron Transistor 。从实验角度来说, 在上世纪九十年代以前, 由于实验技术的限制, 只能制作出 二维的电子气结构 2。 近十几年来, 由于技术的进步, 量子点已经可以制造, 并

22、且 2其制造水平提升迅速, 通常实验室里制造的量子点主要是半导体量子点和分子量 子点。 半导体量子点的一个制造方法是基于半导体异质结构 (heterostructure 界 面二维电子气点接触的工艺。 这种方法的好处在于容易控制量子点的形成, 容易 对某个量子点进行测量, 并且通过调节电极上的偏压, 可以很容易地调节量子点 的各种参数, 例如能级间距、 耦合强度、 库仑作用大小等等。 这种方法便于研究量 子点的各种性质, 还可以实现许多物理模型以及串并联 1317等不同结构的量子 点, 其工艺已经日渐成熟, 成为了半导体量子点的主流制造方法。 分子量子点则主 要是将单个或者少数几个分子与电极相

23、连所制成的电子输运器件。 这其中的分子 可以是足球烯 C 60这样的单分子, 也可以是碳纳米管这样的有机大分子。 与半导体 量子点相比, 分子量子点所具有的特点非常鲜明, 它的能级间距和充电能都很大, 而且各种相互作用非常强, 例如库仑相互作用和电声子相互作用等, 因此在这类 分子量子点的输运过程中往往可以观察到丰富的强关联现象和电声子耦合现象。 由于它的这种特性, 近几年来, 分子量子点也得到了深入的研究, 例如已经有人制 造出了 C 140这样的单分子 18。关于热电效应, 最为人们熟知的就是温差电现象 19:如果将一块与外界隔离 的金属两端施加一个温度差, 那么实验观测到, 在金属的两端

24、会有一个电压存在。 由于金属与外界处于绝缘状态, 不可能有电流从金属的一段流向另一端, 因此这 种现象是金属的一种内在的属性导致的。描述系统的热电效应, 最重要的是两个特征参数:热电势 S (Thermopower和 热 导 率 (ThermalConductance 。其 中 热 电 势 也 被 称 为 赛 贝 克 (Seebeckcoe-cient 系数。 它们的定义如下:S = V TJc =0 T 0 V 0= J h TJ c =0 T 0这里的 T, V 分别表示左右电极的温差和电压差。 热电势反映了系统在热信号的 微小变化之下所产生的电信号的大小, 而热导率则描述了系统热流对于左

25、右电极 之间温度差的反应程度, 意即两端的热能之差, 实验上即由温差来表示。 其中的条 件 J c =0表示系统始终处于电流为零的状态。 3对于量子点这种介观体系的热电效应研究, 以前主要集中在研究线性热电势 上面。 以往的研究表明 2022, 对于量子点系统, 其热电势随两边电极的变化会 呈现一种 “锯齿” 的振荡, 而且振荡的次数与量子点体系的能级数目相同。 不过对 于系统在非线性条件下的热流以及热导率, 则少见报道 23。 因此在本论文中我们 主要研究的就是介观量子点系统的热流及其热导率, 希望给将来制作性能优良的 量子器件提供理论基础。描述介观系统的输运性质,从方法上来讲,在近几年来主

26、要有率方程方 法 24,25、 重整化群方法 3,26、 散射矩阵方法以及非平衡格林函数方法 27。 其 中非平衡格林函数输运理论是在上世纪九十年代由 Meir 和 Wingreen 发展出来的, 这套理论现在应用得相当普遍, 成功地描述了无相互作用共振能级、 有电声子相 互作用以及存在电子间库仑相互作用等系统的输运问题。 本文的研究也以这套理 论为基础。 它的主要原理是从 Anderson 型 28的哈密顿量出发:这里 H c 描述左右两个电极, H cen 描述中间的量子点区域。 假设量子点中含有多个 无相互作用的能级, 它们的表达式分别写为:H c =k , L,R k c k ck H

27、 cen = n n c ncn这里 c k , c n 分别代表电极 和量子点 n 的湮灭算符, k , n 则代表电极和量子点内 的能级的能量大小。H T 代表左右电极与中间区域的相互作用, 这一项通常需要对应于具体考虑的 系统。 以通常的耦合相互作用为例, 表达式可以写为:H T = k L,R n V k ,nc k 于是通过这一系统从左边流向中间区域的电流表达式可以写为:J cL= e N L 4= ieH, N L = iek L,RnV k ,n c k cn+H . c .然后定义一组 lesser 格林函数:G < n, k (t t =i c k (t cnG <

28、; k ,n (t t =i c n(t ck 电流表达式可以写为:J c L =2eRek L,RnV k ,nG <n, k (t, t 接下来的问题就是求解上述 lesser 格林函数了。 写出上述时序格林函数所满足的运 动方程, 然后利用分析连续性 (Analytical Continuation 29, 可以得到它的表达 式 :G < m, k (t t =ndt 1V k ,nG rmn(t t 1 g <k (t 1 t +G <mn(t t 1 g ak (t 1 t 对上式作傅立叶变换, 可以得到频率空间的格林函数表达式:G < m, k ( =

29、nV k ,nG rmn( g <k ( +G <mn( g ak (代入到上式中, 可以得到电流的表达式为:J c L =ied2TrL (G <( +f L (G r ( G a (这里 f L ( 是定义在左电极上的费米分布函数, G r , G a , G <都是定义在中间介观区 域的格林函数。 L ( 是展宽矩阵, 其定义式为:L (k mn =2 L (k V ,n(k V ,m其中 (k 是左边电极的态密度。 5同样地,只要把上述表达式中的” L “全部换成” R “,就可以得到从右 边电极流向中间介观区域的电流。在稳态时,流经整个介观系统的电流应该为 J

30、 c =(J c L J cR/2, 容易得到其最终表达式为:J c = ie2d2TrL ( R ( G <(+f L (L ( f R (R ( G r ( G a (这样, 电流的最终表达式就可以表示为介观区域的格林函数和左右电极的性质, 而求解电流的重点则在于求解其中介观区域的推迟格林函数 G r ( 。同样地, 我们也可以求出系统热流的表达式, 其形式为:J h L =ied2( µL TrL (G <( +f L (G r ( G a (这里 J hL表示从左边电极流向中间介观区域的热流。 把上述表达式中的” L “全部换 成” R “, 就可以得到从右边电极

31、流向中间介观区域的热流。 需要注意的是, 这里 的项 µL 表示能量值从该电极的化学势开始计算。 这是因为我们假设左右电极 都是所谓的 “费米海” , 即包含无穷个电子, 多一个电子或者少一个电子对它的整 体性质没有影响, 于是在考虑它的能量增加的时候, 我们需要考虑它相对于平衡时候的增加值。 在稳态时, 流经整个介观系统的电流应该为 J h =(J h L J h R/2。有了电流、 热流的表达式, 我们就可以对系统的电输运、 热输运性质进行深入 的研究了。 不过事情并不像想象的那么简单, 因为推迟格林函数 G r ( 的求解往往 非常复杂, 需要对具体的系统进行具体的研究。 通常

32、对于简单系统, 格林函数还比 较好求, 对于稍微复杂一点的系统, 例如只有两个能级的量子点系统, 求解格林函 数的过程中往往需要求解一组自洽 (Self-Consistent的方程组, 这时候只能采取数 值计算的方法来得出结果, 我们的研究也正是基于此, 在后面的章节中我们还会 有更为详细的说明。本论文计划深入研究介观量子点系统的输运性质, 其主要研究重点将放在量 子点系统的热电效应上。 在第一章, 我们已经对研究对象介观系统和量子点进行 了简单介绍, 并且还介绍了我们进行研究的主要理论工具非平衡格林函数理 论。 在第二章, 我们将对双能级量子点体系的热电效应进行研究, 研究中我们将考 6虑库

33、仑相互作用的影响。 在第三章, 我们将对单量子点体系的热电效应进行研究, 其中我们将考虑电声子耦合作用的影响。 在最后一章, 我们对全文进行总结。 7第二章 双能级量子点系统的热电效应自从上个世纪六十年代半导体晶体管发明以来,一直到最近 Intel 公司制造 出 45纳米晶体管芯片, 传统的使用电子来进行逻辑操作的微处理器的器件集成度 一直按照 Moore 定律增加:芯片中所使用的晶体管数量每 18个月到两年就增加一 倍, 计算处理能力也随之提升一倍。 但随着器件尺寸的日渐缩小, 能量耗散成为 了 Moore 定律的最大障碍, 20%现代处理器芯片消耗的能量是被浪费掉的。 而且量 子效应开始变

34、得越来越重要, 量子效应的影响不能够被忽略。 因此现在人们普遍 认为以传统的电子学为基础的硅工业正渐渐的接近其物理极限。 众所周知, 当前 的半导体技术都是建立在宏观输运理论的基础上, 它是大量非相干载流子的统计 平均效应。 而器件的小型化要求使得其尺寸已逐步接近或进入介观领域, 这时需 要相应的介观输运理论作为基础, 这些正是我们当前研究的课题。我们知道, 传统的处理芯片功率上升的手段是降低芯片的操作电压, 但由于热 涨落效应, 这个电压已经接近它的极限了。 因此对于介观领域的热电效应研究, 尤 其对在一定的偏压下器件产生的电流及热流的研究, 就显得特别重要了。 我们如 果能够更加精细地控制

35、电流及热流的产生及传导, 那么就极有可能制造出更为精 细的器件, 从而提高计算机的处理能力。 实际上最近几年来, 国内外的很多学者对 于这种基于量子点的介观系统的理论研究已经进行得很多, 例如对介观系统的各 种效应, 譬如近藤效应 (Kondo eect 27,30、 AB(Aharonov-Bohm效应 5,31、 声子辅助遂穿电流 25,32、 整流效应 33,34等等。 不过这些研究往往更加注重输 运电流方面的性质, 对于热流方面的研究涉及得不多。 从研究的对象结构来看, 由 于单能级系统的性质比较简单, 往往不容易达到期望的效果, 众多的研究都把研 究重心放在更为复杂的双能级量子点系统

36、之上, 期望能够在复杂结构的基础上发 现若干新的性质, 本章所讨论的范围也局限于双能级量子点系统。从实验的角度来看, 近年来由于技术的快速发展, 人们已经可以在纳米的量 级制造出精密器件 (例如前述的 Intel45纳米级处理芯片 。 这些使得人工制作单分 子量子点、 并且控制其中电子数量及其行为成为可能, 而可控单分子量子点正是 将来纳米电子学可能有较大发展前景的候选之一。 实际上, 基于单分子的传感器 8第二章 双能级量子点系统的热电效应 图 2.1 双能级量子点系统的实验装置图。引用文献 35。 Fig 2.1 SEM image of the QD structure;enlarged

37、 QD region on the right. Schottky-gates are labeled T,R,L and P. From Ref. 35. 已经研制成功， 当然其性质还需要进一步研究。 这里我们先介绍一下Scheibner等人的一个量子点实验装置 35，如图2.1，这 是用扫描电子显微镜(SEM拍下的量子点照片。这个装置利用电子束将电子均匀 铺在GaAS/AlGaAs上，制成一个二维电子气异质结。通过调节门电压VP 可以控制 其中的电子数量，通过电流加热技术可以在两个电极之间产生适当的温度差，同 时利用外加磁场可以调节量子点和两个电极之间的耦合强度，并且利用低频锁定 技术可以

38、达到测量热电效应相关参数的目的。这套装置的好处在于调节各种实验 参数比较方便，可以比较容易地测量出各种情况下的输运性质。在他们的实验中， 他们发现在强磁场作用到二维电子气上时，可以观察到系统对热流的整流效应。 如图2.2所示，当调节门电压VP 时，发现在某个值附近，正反向热导率的差显示了 明显的不对称，在一个方向的热导率很大，而相反方向的很小，导致他们的差很 大（绝对值） 。而在VP 的其它值， 正反向的热导率差不多， 差值几乎为零。 实际上，Scheibner等人开始做这个实验的初衷并不在此，而是为了验证再早 些时候另外一个实验的关于热电压信号的结果，但是却意外发现了这一事实。不 过这一结果

39、提醒我们，在一定条件下，是可以达到控制系统中热流方向及其大小 的目的的。因此， 我们这里的研究目的就是想要弄清楚， 究竟什么因素主导了这种 热整流效应的产生， 以及在什么情况下该效应才能产生。如前所述， 本章我们主要 研究的是双能级量子点系统。 2.2 双能级量子点物理模型 如图2.3所示，我们考虑一个半导体量子点，其中包括了两个能级，这两个能 级分别与两边的电极耦合。这里我们不考虑自旋效应，意即每一个能级上最多只 能由一个电子所占据。由于这两个能级与左右两个电极之间的耦合效应，电子在 9 第二章 双能级量子点系统的热电效应 图 2.2 热整流效应的示意图，横坐标为门电压值，纵坐标表示在正反温

40、差两种情况下热导率的 差值。引用文献 35。 Fig 2.2 Demonstration of thermal rectication eect. x-axis is the gate voltage, and y-axis represents the dierence of the thermal conductance for a reversal of the temperature dierence. From Ref. 35. 量子点中的波函数将与两个电极的波函数发生交叠，从而导致量子遂穿效应，使 得电流可以从一个电极流到另一个电极。这个系统的哈密顿量可以由安德森模型 来描述： H

41、 = H L + HR + HD + HI , 这里H ( = L, R分别描述左右两个电极， 其表达式为： H = k (2.1 k c ck , k (2.2 这里ck 代表某个电极的湮灭算符， 它可以湮灭一个动量为k、 能量为k 的电子。 这 里能量k 都是从电极平衡时的费米能处开始计算的。左右两个电极的化学势分别 记为µL/R ，可以通过调节外部偏压来调节化学势，即V = µL µR 。在我们的研 究中， 都认为偏压是对称地加在两个电极上的， 意即µL = µR = eV /2。同样地， 当左右电极存在温度差时，我们也认为温差是对称的，

42、即TL = T + T /2, TR = T T /2， 这里T 是两个电极的初始温度。在整个讨论当中， 为了简化起见， 我们 令 = kB = e = 1。 HD 描写双能级量子点的哈密顿量， 表达式为： HD = j=1,2 j c c j + U c c 1 c c 2 1 2 j (2.3 10 第二章 双能级量子点系统的热电效应 图 2.3 双能级量子点系统的模型示意图。 Fig 2.3 Schematic diagram for a single semiconductor QD with two energy levels coupling to two electrodes.

43、这里cj 算府湮灭第j个能级上的一个电子(j = 1, 2，j 表示这个能级的能量值。如 前所述，这里不考虑电子的自旋效应。 = 2 1 是这两个能级之间的能量差。和 图2.3表示出来的一样， 我们总是认为能级1的能量要低于能级2。HD 里面的第二项 表示两个电子之间的库仑作用。 HI 代表量子点的两个能级与左右两个电极之间的耦合作用，描述了电子在量 子点电极之间的遂穿效应。它可以写为 HI = kj Vj c cj + H.c., k (2.4 Vj 表示电极与第j个能级之间的相互作用。为了简便，我们认为它是一个实数， 即Vj = Vj 。注意这里我们没有考虑电子在两个能级之间的跃迁， 换句

44、话说， 我们 没有考虑量子点内部两个能级之间的相互作用。因为这里我们假设两个能级相距 较远， 相互作用比较弱， 可以忽略不计。关于这一点， 我们在后面还会加以说明。 2.3 自洽方程的导出 我们知道， 对于这样的双能级系统， 当左右两个电极处于平衡状态时， 是不会 有宏观输运电流和热流的，此时TL = TR ，µL = µR 。如果我们在两个电极之间施 加一定的温度差T ,系统平衡将被破坏，从而产生宏观的电流和热流，从一个电 极流向另一个电极。为了保持电平衡，使得电流保持为零，我们需要在两个电极 11 第二章 双能级量子点系统的热电效应 之间施加一个偏压，用以调节电极的化学

45、势。因此决定偏压大小的条件为电流为 c c 零JL = 0。这里JL 代表系统中由左边流向右边的电子流。运用非平衡格林函数方 法， 电流的表达式为 29： c JL = NL c cLk , H Lk kj = i NL , H = i = kj 1 2 d VLj (G< ( G< (, j,Lk Lk,j (2.5 这里G< (, G< (是一种混合的lesser格林函数，因为它同时涉及到了量子点 j,Lk Lk,j 能级和左右电极。这两个格林函数是定义在能量空间上的，他们分别是时间空间 格林函数G< (t, t = i c (t cLk (t , G<

46、 (t, t = i c (t cj (t 的傅立叶变换。为 j Lk,j Lk j,Lk 了 能 够 计 算 这 两 个 函 数，我 们 需 要 定 义 几 个 推 迟 格 林 函 数Gr , Gr 和Gr 。 j,Lk Lk,j j,j 这 里Gr ( = j,j c Lk 式： r r Gr ( = Gr VL1 gLk + Gr VL2 gLk Lk,j 1j 2j r r Gr ( = Gr VL1 gLk + Gr VL2 gLk j,Lk j1 j2 cj | c j cLk | c j 是 格 林 函 数Gr (t, t = i cj (tc (t = i(t j,j j cj

47、 | 是定义在能量空间的lesser格林函数。求解上述推 t cj , c 的傅立叶变换，G< (是相应的lesser格林函数。Gr ( = j,Lk j j,j , Gr ( = Lk,j 迟格林函数的运动方程，并且应用Hartree-Fock平均场近似，我们不难得到下列公 (2.6 (2.7 然后利用连续性分析规则（Analytic Continuation Rules） 29， 我们不难得到相应 的lesser格林函数的表达式： < a G< ( = Gr VL1 gLk + G< VL1 gLk j1 j1 j,Lk a < +Gr VL2 gLk + G

48、< VL2 gLk j2 j2 r r G< ( = G< VL1 gLk + G< VL2 gLk 1j 2j Lk,j < < +Ga VL1 gLk + Ga VL2 gLk 1j 2j (2.8 (2.9 < > r 这里gLk ( = ( Lk 1 代表无相互作用时左右电极的推迟格林函数，gLk , gLk 则 是对应的lesser和greater格林函数。同样地，对推迟格林函数G< (作类似处理， jj 可以得到lesser格林函数的表达式， 我们可以把它写成矩阵形式： G < = G r < G a (2.10 1

49、2 第二章 双能级量子点系统的热电效应 这里矩阵G< , Gr , < , Ga 分别定义为 G < = G< G< 11 12 G< G< 21 22 < < 11 12 < < 21 22 , G r/a = G11 G21 r/a r/a G12 G22 r/a r/a , < = = i L1 fL + R1 fR L12 fL + R12 fR L12 fL + R12 fR L2 fL + R2 fR . (2.11 2 这里j = 2 Vj 代表第j(j = 1, 2 个能级由于和电极( = L, R之间的耦

50、 合而产生的能级展宽，其中 表示电极上的能级密度，我们假设它是一个与 能级无关的常数。12 = 1 2 则是非对角元项，描述了两个能级之间的干 涉。f ( = (e(µ /T + 11 则是电极的费米分布，其中µ ，T 分别表示电极的 化学势和温度。将方程(2.8,(2.9代入到方程(2.5中， 最终 并且注意到Ga = (Gr ， 电流的表达式可以写为： c JL = 1 2 d T ( fL ( fR (. (2.12 这里T (是传输系数， 其表达式为： T ( = (L1 R1 |Gr (|2 + L2 R2 |Gr (|2 . 11 22 (2.13 c 将此式中

51、的”L“全部换为”R“就得到了系统中从右往左的电流JR 。很容易验 c c c c c 证JR = JL ， 而系统的总电流J c = (JL JR /2, 所以以后将以JL 来代替J c 。 注意这里我们认为量子点内的两个能级相距比较远， 即 = 2 1 比较大， 导 致干涉效应很弱。这样我们在电流的表达式中只保留了对角元素，而忽略了非对 角元L12 , R12 , Gr ( 和Gr (的贡献。从方程(2.12可以看到，电流此时只决定 12 21 于Gr (, Gr (，因此我们需要想办法对他们加以计算。为此我们对它们应用运 11 22 动方程， 可以得到（以Gr (为例） ： 11 Gr

52、= 1 + 1 Gr + U F r + 11 11 k V1 Gr , k,1 (2.14 这里F r ( = c1 c c2 | c 2 1 Fr = 涉及到了四个粒子算符，描述的是系统中的多体效 n2 (1 + 1 U 应。为了得到它的表达式， 我们再次运用运动方程， 可以得到： V1 Gr , k,1 k (2.15 13 将方程 (2.15代入到方程 (2.14, 并且注意到方程 (2.6中 G r k , 1 与 G r11的关系, 我们不难得到下述 G r 11 (, G r22( 的表达式:G r 11 ( = 1 U (1 n 2( 1( 1 U 11 1 U (1 n 2G

53、 r 22 ( = 2 U (1 n 1( 2( 2 U 22 2 U (1 n 1其中 r 11 = i/2(L 1+R 1 , r22= i/2(L 2+R 2 代表系统的自能。 和上面一样,这里我们忽略了非对角元素的贡献。 n 1= c 1 c 1, n 2= c2c 2分别是量子点两个能级上占据的电子数。 根据文献 36, 他们与 lesser 格林函数 G < 11 , G <22有如下关联:n 1= i2dG<11n 2= i2dG<22根据方程 (2.10, G < 11 ( , G <22( 可以用推迟格林函数 G r11, G r22表示为

54、:G < 11 ( =i |G r11G < 22 ( =i |G r22这样, 方程 (2.12、 (2.16 (2.21组成了一组自洽方程组。对这个方程组求 解, 就可以求得所需的偏压 V 。上面我们导出了自洽方程, 通过求解自洽解, 可以得出系统达到稳态时候的 状态, 不过我们并没有涉及到系统热流方面的性质。 在一定的偏压和温差下, 根据 定义, 系统中产生的热流以及两个重要的热电效应参数热电势 S 和热导率 可以写 为:J hL= L= i L , H = i k j (L k µL c L kcL k, H 14=12S = V TJ c =0 T 0= J h

55、 TJ c =0 T 0这里的 J hL表示从左边流向右边的热流。 把公式中所有的 “ L ” 换成 “ R ” , 就得到了反向的热流。 系统中总的热流为 J h =(J h L J hR/2。 公式中的 T ( 就是前面电流表达式 (2.12中提到的传输系数。 在线性情况下, 即对处于初始平衡状态下的系统施 加一个无限小的偏压 V 和温差 T , 电流及热流都展开到它们一阶项。 经过计算, 这时候的热电势 S 和热导率 可以写为:S =K 1K 0T= K 2TK 21K 0TK n =12d( µL n T (f这样, 在线性条件下, 电流和热流与偏压 V 、 温差 T 可以通

56、过一个热电系数矩阵 联系起来:J c J h=L 11L 12L 21L 22 V T/T=K 0K 1K 1K 2 V T/T由此我们看到, 因为 L 12=L 21=K 1, 昂萨格关系 36(Onsager Relation 仍然满 足。根据上一节推导的公式,我们可以计算各种非平衡情况下的热电参数。如 图 2.5所示, 我们画出了三种不同耦合情况下热流 J h 与温差 T 之间的关系曲线。 对 于其中的非对称耦合情况 R 1=0, 意即量子点两个能级中较低的能级阻塞, 而 只有高能级能够导通, 如图 2.4(b所示。由这个图中我们可以看到, 对于对称系 15 图 2.4对称耦合系统 (a和非对称耦合 (b系统示意图。Fig 2.4(aSymmetrical coupling case and (basymmetrical