陕西横山中学12-13高二上学期期末考试试题--数学

1、横山中学高二年级期末考试试题数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第卷一、选择题（本大

2、题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.），集合，则（ ）A.B.C.D.2.图1中的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )图1A.元 B.元 C.元 D.元3.（理）的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D.（文）函数的值域是（ ） A. B. C. D.4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）相关系数为 相关系数为相关系数为 相关系数为图2A.B.C.D.5.等差数列满足:,则=（ ）A. B.0 C.1 D.26.从某高中随

3、机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为（ ）A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg7.设xR，则“x”是“2x2x10”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.（理） 的展开式中的常数项为（ ）A.-60 B.-50 C（文）若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（ ）A. B. C. D.图象的一个对称轴方程是( )A. B. C. D. 10. 若满足约束条件则（ ）A.有最小值

4、-8，最大值最小值-4，最大值0C.有最小值-4，无最大值 D.有最大值-4，无最小值3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ）A. B. C. D. 为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13. 已知a =(2,3),b =(-1,5)，则a+3 b=_.3所示，则该几何体的表面积为_.图3的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为 .16.（

5、理）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3, 4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个.（文）在区间1，3上随机选取一个数 (e为自然对数的底数）的值介于e到e2之间的概率为_.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图4平面四边形ABCD中，AB=AD=，BC=CD=BD，设.（1）将四边形ABCD的面积S表示为的函数；（2）求四边形ABCD面积S的最大值及此时值.图418.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列.（1

6、）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和公式.19.（本小题满分12分）(理)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购

7、进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. (文) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的

8、概率，求当天的利润不少于75元的概率.20.（本小题满分12分）（理）如图5所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.（1）证明：BD平面PAC；（2）若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值.图5（文）如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.图521.（本小题满分12分）设定义在(0，)上的函数f(x)axb(a>0)

9、.（1）求f(x)的最小值；（2）若曲线yf(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为yx，求a，b的值.22.（本小题满分12分）（理）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率e，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.（文）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(a>b>0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1

10、上.（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程.答案1. B【解析】因为集合，又，所以.所以.2. C【解析】树干表示的是十位数字，故7表示为27.3.（理）D【解析】展开式中的通项为，令，得.所以展开式中的常数项为.（文）B【解析】因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递增减,且,所以函数在区间上的值域是.故选B.4.A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.5. B 【解析】因为，又由等差中项公式得，由得，所以.6. B【解析】，.因为回归直线过点，所以将点(170,69)代入回归直线方程，得，故回归方程为.代入cm，得其体重

11、为.7. A【解析】当x>时，2x2x1>0成立；但当2x2x1>0时，x>或x<1.所以“x>”是“2x2x1>0”的充分不必要条件8.（理）D【解析】展开式的通项为，令,解得.故常数项为.（文）B【解析】方程可化为，因其有两个不等实数根，所以，以为横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系如下图所示，区域即为阴影区域.故由几何概型得，所求事件的概率为.9. B【解析】因为，当时，取得最大值，故一个对称轴方程是.10.过点时，z有最小值-4；由图可知z没有最大值.11. B【解析】作出满足题意的区域如下图，则由几何概型得，所求概率为.12. A【解析】若以为圆

12、心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则.根据抛物线的定义知,点到准线的距离大于4，即，所以.13. 【解析】a+3b.14. 38【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为.15. 【解析】根据已知条件知，所以.16.（理）40【解析】六个数中任取3个数共有种情况，每一种情况下将最大的一个数放在中间，又可以组成两个不同的三位数，所以符合“伞数”的情况共有种.（文）【解析】数的可取值长度为，满足在e和之间的的取值长度为1，故所求事件的概率

13、为.17.解:（1） ABD中,由余弦定理，得.由已知可得BCD为正三角形，所以.又.故四边形ABCD面积.（2）当，即时，四边形ABCD的面积S取得最大值，且.18.解:（1）因为，所以. 3分因为成等比数列，所以. 5分由及，可得. 6分所以. 7分（2）由，可知.9分所以 ， 11分所以 ， 13分所以数列的前项和为. 19.解：（1）当日需求量n16时，利润y80；当日需求量n<16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN).（2）X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)，P(X70)，P(X80)0.7.X的分布列为X607080PX的数学期望为EX60

14、×70×80×76.X的方差为DX(6076)2×(7076)2×(8076)2×44.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585PY的数学期望为EY55×65×75×85×76.4.Y的方差为DY(5576.4)2×(6576.4)2×(7576.4)2×(8576.4)2×112.04.由以上的计算结果可以看出，DX<DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动

15、相对较小.另外，虽然EX<EY，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585PY的数学期望为EY55×65×75×85×76.4.由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.(文) 解：（1）当日需求量n17时，利润y85.当日需求量n<17时，利润y10n85.所以y关于n的函数解析式为y(nN).（2）这100天中

16、有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为(55×1065×2075×1685×54)76.4.利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为p0.7.20.解： （1） 证明：PCBD.PABD.因为PAPCP，PA平面PAC，PC平面PAC，所以BD平面PAC.（2）法一：如图所示，记BD与AC的交点为F，连接EF.由PC平面BDE，BE平面BDE，EF平面BDE，所以PCBE，PCEF.即BEF为二面角BPCA的平面角.由（1）可

17、得BDAC，所以矩形ABCD为正方形，ABAD2，ACBD2，FCBF.在RtPAC中，PA1，PC3，即二面角BPCA的正切值为3.法二：以A为原点，、的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.设ABb，则：A(0,0,0)，B(b,0,0)，C(b,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).于是(b,2，1)，(b，2,0).因为PCDB，所以·b240，从而b2.结合（1）可得(2，2,0)是平面APC的法向量.现设n(x，y，z)是平面BPC的法向量，则n，n，即n·0，n·0.因为 (0,2,0)，(2,2，1)，所以2y0,2

18、xz0.取x1，则z2，n(1,0,2).令n，则cos，sin，tan3.由图可得二面角BPCA的正切值为3.（文）解：（1）由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又因为PH为PAD中AD边上的高，故ADPH.因为ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.（2）由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH1，故E到平面ABCD的距离hPH.又因为ABCD，ABAD，所以ADCD.故SBCF·FC·AD×1×.因此VEBCFSBCF·h××.(3)证明：过E作EGAB交PA于G，连接DG.

19、由于E为PB的中点，所以G为PA的中点.因为DADP，故DPA为等腰三角形，所以DGPA.因为AB平面PAD，DG平面PAD，所以ABDG.又因为ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，所以DG平面PAB.又因为，所以.所以四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.于是EF平面PAB.21.解:（1）(方法一)由题设和均值不等式可知，f(x)axb2b.其中等号成立当且仅当ax1.即当x时，f(x)取最小值为2b.(方法二)f(x)的导数f(x)a.当x>时，f(x)>0，f(x)在上递增；当0<x<时，f(x)<0，f(x)在上递减.所以当x时，f(x)取最小值为2b.（2）f(x)a.由题设知，f（1）a，解得a2或a(不合题意，舍去).将a2代入f（1）ab，解得b1，所以a2，b1.22. （理）解:（1）因为e，所以a23b2，即椭圆C的方程可写为1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，|PQ|2x2(y2)22(y1)263b263b2，yb，b.由题设存在点P1满足|P1Q|3，则9|P1Q|263b2，所以b1.当b1时，由