题双曲线及其标准方程(2)

1、【课 题】双曲线及其标准方程(2)【教学目标】1、进一步掌握双曲线的定义和标准方程的求法,特别要熟练掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.2、学会用双曲线的定义和标准方程的知识解决简单的实际问题.【教学重点】【教学难点】【教学过程】一、 复习引入名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时

2、： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以二、 例题讲解【例1】 （课本106页例3）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 ms，求曲线的方程解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上(2)如图，建立直角

3、坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合。设爆炸点P的坐标为，则|PA|PB|=340×2=680，即2680，340又|AB|=800， 2c=800，c=400，44400 |PA|PB|6800，0所求双曲线的方程为（0）说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样

4、的曲线上（爆炸点应在线段AB的中垂线上）心 【例2】 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过两个点和的双曲线的方程。解：设双曲线线方程为，因为点P，Q在双曲线上，所以，所以所求的双曲线方程为：【注】要注意此种设双曲方程的方法，这比分双曲的焦点在x轴上和y轴上两种情形要简便得多。【例3】 求与圆及都外切的动圆圆心M的轨迹方程.解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得，又因为，由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：【例4】 讨论有方程所表示的圆锥曲线,并证明方程有轨迹时,所以这些曲线具有共同的焦点.分析:当时,曲线表示椭圆,焦点为(),椭圆系.当

5、时曲线表示双曲线,焦点为(),双曲线系.当时,无解. 当时,轨迹不存在.【备用例题】【例5】 一动圆过定点,且与已知圆相切,求动圆圆心的轨迹方程.解：设动圆圆心,定圆圆心为,若动圆过,且与定圆外切时,有；若动圆过,且与定圆内切时,有,故点满足.又,点的轨迹为以、为焦点的双曲线,所求轨迹方程为指出:若题中动圆与定圆外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的左支；若动圆与定圆内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的右支.【例6】 已知圆与y轴的两个交点A、B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线两焦点间的线段三等分，求双曲线的标准方程。解：在中令得，所以；由得，又，所以，双曲线方程为【例7】 点P是双曲线-=1右

6、分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设PF1F2=，PF2F1=，求证：3tan=tan.解：在PF1F2中，利用正弦定理及分比定理得=，=，即2sin=sin,展开并简化，得3sincos=sincos，三、 课堂练习1、已知方程表示双曲线，求m的取值范围.解：据题意，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，得解之：m1.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m-2时，因此m的取值范围应是m-1或m-2.2、证明椭圆与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.证明：在椭圆中有c2=a2-b2c2=25-9=16椭圆的焦点坐标为F1（-4，0）、F2（4，0）在双曲线x2-15y2=15中有c2=

7、a2+b2c2=15+1=16双曲线的焦点坐标为F1（-4，0）、F2（4，0）故得证.3、方程表示双曲线吗？若是，其中心在哪里？焦点坐标是什么？若不是，说明理由.解：方程表示双曲线，这个方程可以看作是将双曲线按向量(1,-2)平移得到的曲线的方程，而平移是不改变曲线的形状和性质的，所以方程表示双曲线，其中心在（1，-2），焦点坐标是（-4，-2），（6，-2）.4、已知点A(3，0)，圆C：(x+3)2+y2=16，动圆P与圆C相外切并过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.解：设P(x,y),依题意有PC=PA+4，P点的轨迹是以C(3，0)，A(3，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为-=1(x2)四、 小结五、 课后练习1判断方程所表示的曲线。解：当时，即当时，是椭圆；当时，即当时，是双曲线；2求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。答案：；3求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程。答案：4椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ） A B C 5 D 9答案：B5已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为600，那么的值为（答案： 416）6设是