高中数学知识要点之(16)双曲线及其性质

1、双曲线及其性质江苏 郑邦锁1方程表示双曲线<0， 双曲线的焦点位置取决于,的正负：若>0, <0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-,焦点在x轴上；若<0, >0，双曲线的标准方程是：，a2=,b2=-，焦点在y轴上。举例已知是常数，若双曲线的焦距与的取值无关，则的取值范围是： （ ）A-2<2 B>5 C-2<0 D0<2解析：方程表示双曲线(-5)(2-|)<0-2<0或0<<2或>5；当-2<0时，方程为：，a2=2+，b2=5-，则c2=7与无关；当0<<2时，方程为：， a2=2

2、-，b2=5-，则c2=7-2与有关；当>5时，方程为：，a2=-5，b2=-2，则c2=2-7，与有关；故选C。巩固1若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是 。巩固2双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A B C D2双曲线关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是双曲线上一点，则|x|a,yR，双曲线的焦准距为，双曲线的通经（过焦点且垂直于实轴的弦）长为2；过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为；反比例函数的图象是一个经过旋转的等轴双曲线，渐近线为两坐标轴，对称轴为直线。举例1 双曲线的中心、右焦点、右顶点、右准线

3、与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|AF|时，的最大值为 。解析：|HF|=，|AF|=c-a,(c-a)c2ae2=e-,记f(e)= e-,函数f(e)在（1，2上递增，f(e)f(2)= .举例2已知函数的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为 解析：双曲线的实轴所在的直线为y=x，实轴与双曲线的交点即顶点为A1（1，1）和A2（-1，-1），2a=|A1A2|=2,此即“定长”。注：我们可以再由等轴双曲线的性质得：c=2,进而得该双曲线的焦点坐标为（-，-），（，）。巩固1 双曲线的右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且=0，那么双曲线

4、的离心率为 （ ）A B C2 D巩固2 过双曲线2x2-y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有 条。迁移已知双曲线的实轴A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1 B1B2内的射影恰好是该双曲线左顶点A1，则直线B1F与平面A1 B1B2所成角的正切值为 。3.熟悉双曲线的渐近线的几何特征（无限接近双曲线但与双曲线不相交）和代数特征（渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”）；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切（体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程）。已知渐

5、近线方程为：，则双曲线方程为：，其中是待定的参数（渐近线不能唯一地确定双曲线）。双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b。举例1双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为： A B CD （ ）解析：双曲线的渐近线方程为：即y =±x，（0）=，双曲线方程为：，离心率为 ，选B。举例2已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析：根据双曲线的图形特点知，双曲线渐近线的倾角大于或等于600时，过焦点且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，于是有c2-a23a2,得e2。巩固1

6、与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：（ ） A BCD巩固2曲线C：x2-y2=1,(x0) 上一点P（a,b）到它的一条斜率为正的渐近线的距离为它的离心率，则a+b的值是 ；曲线C的左焦点为F，M（x,y）(y0) 是曲线C上的动点，则直线MF的倾角的范围是 . 迁移曲线C：与直线y=kx+1有两个不同的公共点，则k的取值范围是 。4研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。举例1已知向量=(,),=(,-)，双曲线·=1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中

7、点，O为坐标原点，则|ON|=A B C D或解析：双曲线方程为：，左支上的点到右焦点F(7,0)的距离的最小值为12，M是双曲线右支上的点，记左焦点为F/，则|MF/|-|MF|=2a，即|MF/|=21，在MFF/中，ON中位线，|ON|=，故选C。注：本题中，若将M到F(7,0)的距离换为13，将有两种情况（M可能在双曲线的右支上，也可能在左支上）。XYF1F2QMPO举例2 设双曲线（a，b0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（ ） A椭圆的一部分； B双曲线的一部分；C抛物线的一部分； D圆的一部分解析：

8、不妨设Q在双曲线的右支，延长F2M交QF1于P，在QF1F2中，QM既是角平分线又是高，故|QP|=|QF2|，又|QF1|-|QF2|=2a，|QF1|-|QP|=2a即|PF1|=2a，在PF1F2中，MO是中位线，|MO|=a,M点轨迹是圆的一部分，选D。巩固1已知点P在双曲线的左支上， 点M在其右准线上，F1是双曲线的左焦点，且满足：， =，则此双曲线的离心率为 。巩固2F1，F2分别为双曲线（>0,>0）左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若最小值为8，则双曲线的离心率e的取值范围是 。迁移P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2

9、=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为 （ ）A6 B7 C8 D95研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还经常用到正、余弦定理。举例1 双曲线的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则P F1F2的面积为 （ ） A B1 C2 D4 解析：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|=2 |PF1|+|PF2|=2 ，由解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4+4=|F1F2|2，PF1PF2，又由分别平方后作差得：|PF1|PF2|=2，选B。举例2等轴双

10、曲线x2-y2=a2,(a>0)上有一点P到中心的距离为3，那么点P到双曲线两个焦点的距离之积等于 。解析：由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”得：2（|PF1|2+|PF2|2）=36+4c2,又c2=2 a2，得|PF1|2+|PF2|2=18+4 a2 ，而|PF1|-|PF2|=2 a 由 -2得：|PF1|PF2|=9。巩固1 已知椭圆与双曲线（>0, >0）具有相同的焦点F1，F2，设两曲线的一个交点为Q，QF1F2=900，则双曲线的离心率为 。巩固2 双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为则PF1F2面积为：A16B32C32D42提高 设双曲线（a，b0）两焦点为F1、F2，点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，则PF1F2的内心的横坐标为 （ ）Aa Bc C D与P点的位置有关 答案1、巩固1（1，+），巩固2A；2、巩固1A，巩固2 3，迁移；3、巩固1 C，巩固2 -，（0，迁移 （-，-1）；4、巩固12，巩固2（1，3，迁移D；5、巩固1，巩固2 A，提高记PF1F2的内切圆圆心为C，边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D，易见