高中数学奥赛教程集-函数通性训练题(ks5u高考资源网)

1、学科：奥数教学内容：函数通性训练题【能力训练】A级选择题1若a0，a1，F(x是一奇函数，则是 （ ）（A）奇函数（B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）奇偶性与a有关2设f(x是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x2，3 时，f(x=x，则当x-2，0时，f(x的解析式是（ ）（A）f(x=x+4(Bf(x=2-x（C）f(x=3-|x+1|(Df(x=2+|x+1|3设f(x，g(x是定义在（-，+）上的两个函数，对任意实数x，y满足f(xy+(xy=2f(xg(x,若f(0=0，但f(x不恒等于0，则（A）f(x，g(x都是奇函数（B）f(x，g(x都是偶函数（C）f

2、(x是偶函数，g(x是奇函数（D）f(x是奇函数，g(x是偶函数。4奇函数y=f(x有反函数，函数在0，+上是减函数，则上是 （ ）（A）是增函数（B）是减函数（C）有时是增函数，有时是减函数（D）有时是增函数，有时是减函数，有时是常数函数。5函数y=f(x-a与函数y=f(a-x的图象间的关系是 （ ）（A）关于y轴对称 （B）关于x轴对称 （C）关于直线x=2a对称（D）关于直线x=a对称填空题6函数f(x对一切实数x都满足，并且方程f(x=0有三个实根，这三个实根的和是_.7设奇函数y=f(x的定义域为R，f(1=2，且对任意，都有当x0时，f(x是增函数，则函数在这间-3，-2上的最大

3、值是_.8定义域是实数域的奇函数f(x，对任意实数x都有f(x=f(x+2则f(2+f(4+f(6+f(1992+f(1994=_。9设函数f(x的定义域为(0，+，且单调递增，满足f(2=1，f(xy=f(x+f(y（1）证明：f(1=0 f(1=0。（2）求f(4。（3）若f(x+f(x-32，求x的范围。（4）举出一个符合上述要求的函数f(x。B级10设函数f(x对任一实数x满足f(2-x=f(2+x，f(7-x=f(7+x，且f(0=0。求证：f(x在-30，30上至少有13个零点，且f(x是以10为周期的函数。11函数的最小正周期分别为2和2。证明f(x=sinx+sinx不是周期函

4、数。12证明：若函数y=f(x在R上的图解关于点和直线x=b(ba皆对称，则f(x为周期函数。13设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何xR均有|f(x|1，以及证明：f是周期函数，即存在一个非零实数C，使得对任何xR，成立f(x+C=f(x.参考答案【能力训练】A级1B。，故G(x是偶数。2C。当x2，1时，x+42，3.f(x=f(x+2·2=f(x+4；当x3，2时，由于f(x为偶函数f(x=x，当x1，0时，f(xf(x2= (x2= x23D。令x=0，f(y=f（y）；又将y代换成y，f(xy+f(x+y=2f(xg(y,g(y=g(y4A。如果一个函数存在反函

5、数，那么它们的单调状况相同。5D。设图 象上任意一点，则6y=f(x的图象关于对称，其中一根必是，另两根之和是。故所有实根之和是1.5。7令由f(x为奇函数，且在(0,+上为增函数，故在（，0）上也为增函数，且f(2=f(1+1=2f(1=4，用定义易知，上为增函数。故-3，-2上的最大值是8f(x为R上的奇函数，f(0=0,且f(0=f(2=f(4=f(1994=0，故原式为0。9（1）取x=1，y=2，得f(2=f(1·2=f(1+f(2.f(1=0（2）f(4=f(2+f(2=2.（3）f(x+f(x+3=fx(x-32=f(4，所以（4）可取.B级10f(x关于x=2和x=7对称。f(4f(2+2f(22f(00,f(10f(7+3f(73f(40，于是（0，10上至少有两个零点。f(x10f(73xf(73xf(4xf(22xf(22xf(x，f(x以10为周期。f(30=f(303×10=f(0=0综上，f(x在30，30上至少有13个零点。11反证，若周期为T，则sin（xT）sin(xT=sinxsinx存在使得将代入，于是对每个xR，由于，故，于是k=m，矛盾。12提示4（ba）是它的一个周期