高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 5 参数讨论

1、§5参数讨论一、复习要点1本节的主要内容是与解析几何有关的参数讨论问题其中包括两个方面：由已知含参数的方程讨论方程所表示曲线的类型及几何性质；由曲线的几何性质确定曲线方程中参数的取值范围这两个方面的问题是本节的重点，其中参数讨论中分类标准的确定及求参数范围中构建参数所满足的不等式是难点2与解析几何有关的参数讨论问题，所涉及的知识范围广、变量多、综合性强，解答这类题对同学们的能力要求较高，故这类问题在高考试题中频繁出现，成为高考命题热点之一3在本节的复习中，应重点掌握解决以下两方面问题的方法和能力：（1）由给定含参数的方程讨论方程表示何种曲线，实质就是对参数进行分类讨论对某参数m进行分

2、类讨论，应注意按如下步骤进行：确定的全体集合P；根据题设条件及曲线的方程的特点确定分类的标准（即分界点）；把集合P按分类标准划分为若干个真子集P（1，2，n），且使其同时满足，（，1，）；按逐一讨论求解（2）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质（曲线的范围、对称性、位置关系等）构造参数满足的不等式，通过求解不等式（组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为求函数的值域求解二、例题讲解例1当变化时，讨论方程（2）1表示的曲线形状，并画出简图讲解：据题意，对全集R怎样分类，分类的标准是什么，必须从方程入手已知方程是不含xy项的二元二次方程，这样的二元二次

3、方程一般情况下表示的是圆锥曲线，又注意到方程中不含一次项、，故方程表示的曲线不会是抛物线先考虑特殊情况：若0或2时，方程表示两条直线；当1时，方程表示圆；当0且1，2时，、项系数可能同号，也可能异号，故又需按（2）0及（2）0分类，至此分类的标准已基本确定将各分界点标在数轴上，如图8-14，按从左到右依次讨论 图8-14（1）当0时，方程表示焦点在轴上的双曲线（1（2）（）1；（2）当0时，方程表示两条平行于x轴的直线?±（2）；（3）当01时，方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）（1（2）1；（4）当1时，方程表示圆1；（5）当12时，方程表示焦点在轴上的椭圆（1（2）（1）1；（6）

4、当2时，方程表示两条平行于轴的直线±（2）；（7）当2时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（1）（1（2）1其简图如图88-15例2已知椭圆C的方程为（4）（3）1，试确定的取值范围，使得对于直线4，椭圆C上有不同的两个点关于该直线对称讲解：思路1若设所求的取值范围是M，则由题意可知，等价于直线：（4），使得直线与椭圆C有两个不同的交点P、Q，且P、Q关于直线4对称故可先根据直线与椭圆C有两个不同的交点确定的范围，再根据P、Q关于直线4对称及P、Q在椭圆上的条件求得与的关系，（），进而由的范围确定的范围设P（，）、（，）是椭圆C上关于直线：4对称的两点，如图8-

5、16，则过P、Q的直线的方程为（14），将的方程代入C中，整理得图8-1613816480与C有两个交点，0由0，解得（2）（2）又的中点M在直线：4上及（813），（14）（）2（2413），从而有（12）（2413）4·（12）·（813）.解得（413），即（134），代入，解得（213）（213）思路3因椭圆C上存在不同的两点关于直线：4对称，则两对称点P、Q连线的斜率为（14），且中点在上，也必在椭圆C的斜率为（14）的平行弦的中点的轨迹曲线上，故问题可转化为求曲线C的斜率为（14）的平行弦中点的轨迹与直线的交点在椭圆C的内部时参数的取值范围，这可由点在椭圆内的条

6、件求之设M（，）是椭圆C的斜率为（14）的平行弦中点轨迹上任一点，（，）、（，）都在椭圆（4）（3）1上，即34123412，3412，得3（）（）4（）（）0，即（）（）（34）·（）（）又2，2，（）（）（14），（14）（34）·（），即30故椭圆的斜率为（14）的平行弦的中点的轨迹是直线30在椭圆C内的部分30，4，解得其交点坐标是（，3）交点（，3）在椭圆（4）（3）1内，（）4）（3）3）1解得（213）（213）思路3同思路2，可得PQ的中点M（，3），由此可得直线PQ的方程为3（14）（）与椭圆有两个不同的交点，故将PQ方程代入椭圆方程消去，得到关于x的一元

7、二次方程，由0可解得（213）（213）（请同学们自己写出解题过程）思路1中，巧设中间参数，先确定出的范围，再求出与的关系进而确定的范围，由不等关系，到相等关系，再到不等关系，这种引参、消参、不等与相等关系的相互转化，是解答与解析几何有关的求参数取值范围的基本方法，同学们在解题后应很好的进行反思，从中体会这种思想方法思路2中，利用平行弦中点的轨迹与直线的交点在椭圆内的条件确定参数的范围，思路灵活，解法新颖，别具一格思路3利用直线PQ与椭圆有两个不同交点建立参数的不等式，直接求得了的取值范围例3已知双曲线的方程为（2）1.（1）过点A（0，1）作斜率为k（k0）的直线l交双曲线于点P、，使线段P

8、的中点在直线（12）上，求k的值；（2）若过点B（1，b）能作斜率为k（k0）的直线m，交双曲线于点Q、Q，使线段QQ的中点在直线x=（12）上，求b的取值范围讲解：（1）考虑由PP的中点在直线x=（12）上构造关于k的方程，并由l与双曲线相交于两点的条件确定k的值设l:y-1=kx,由y-1=kx，得（2）1，（2-k）x-2kx-3=0.据题意，有2-k0，解得=4k-4（2-k）（-3）0，-k，且k±PP的中点在x=（12）上，（x+x2）=（-kk-2）=（12）解得k=-1±，又-k，且k±，k=-1+（2）可先由直线m与双曲线交于两点的条件得关于k、

9、b的不等式，再由QQ的中点在直线x=（12）上，寻求k与b的关系，进而确定b的范围设直线m的方程为y-b=k（x-1）,代入x-（y2）=1中，得（2-k）x+2k（k-b）x+2bk-b-k-2=0.据题意2-k0，得0，b-2bk+20，且k±又QQ的中点在直线x=（12）上，（）（2）（12），即b=（k+2）2k.将代入，得3k4-4k-40,解得-k且k0.以下求b的范围，有两种方法：（i）可证函数b=f（k）=（k+22k）=（k2）+（1k）在（-，0）及（0，）单调递减（略），由此得b（，）（，）；（ii）当0k时，b=（k2）+（1k）,当且仅当（k2）=（1k）,

10、即k=时等号成立，但k,b（，）;当-0时，b=-（-k2）+（1-k），当且仅当k=-时等号成立，但k-，b（，）综上知b（，）（，）本题（2）的解中，先由直线与双曲线有两个交点的几何性质得到b、k的不等关系，再由QQ的中点在直线x=（12）的几何性质得函数关系式，将问题转化为求函数b=f（k）的值域（要特别注意定义域的确定）这里既蕴含着方程思想，又蕴含着函数思想三、专题训练1若方程（13）表示焦点在轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）0（13）（13）0（110）（110）（13）2如果直线l将曲线2-2x-8y=0分成长度相等的两段，且l不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（）0，（1

11、2）0，（12）0，10，23对于双曲线（16）（9）1与（16）（9）（0，且1），有下列结论：有相同的顶点；有相同的焦点；有相同的离心率；有相同的渐近线；有相同的准线其中正确的是（）4若曲线（25）（9）1与曲线（25）（9）1有相等的焦距，则的取值范围是（）25且992525255若方程（5）（2）（5）（2）表示双曲线，则实数的取值范围是_6若方程=k（x-2）+3有两个不同实数解，则实数k的取值范围是_（用区间表示）7已知抛物线2与以A（0，1）、B（2，3）为端点的线段（不包含端点）有两个不同的交点，则实数的取值范围是_8圆锥曲线的一个焦点是（0，2），相应的准线方程是（94），离心率满足条件：（23），（43）成等比数列问：是否存在一条直线，使与曲线相交于不同的点、，且线段恰好被直线（12）平分?若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，说明理由9如图