2018年江苏省高考数学试卷

1、第1页（共28页）2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题 卡相应位置上.1. （5.00 分）已知集合 A=0, 1, 2, 8 , B= - 1, 1, 6, 8，那么 AHB _ .2. （5.00 分）若复数 z 满足 i?z=1+2i,其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_ .3.（5.00 分）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 _.89990114. （5.00 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为_ .:LIiI;:s*-l;

2、；WhfltI6iIL 仇；:L2S|:End Vhil 亡I:Print S5. （5.00 分）函数 f （x） = | 工_的定义域为_6. （5.00 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为_.7TTT7. （5.00 分）已知函数 y=sin（2x+ （ 0, b 0)的）的图象关于直线第2页（共28页）9. (5.00 分)函数 f (x)满足 f (x+4) =f (x) (x R),且在区间(-2, 2 上,第3页（共28页）COLD2?0 応 2 ， 则 f (f (15)的值为 吩 h -2! 12an+

3、1成立的 n 的最小值为_.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14.00 分)在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，AA1=AB, AB1丄 B1C1.求证：(1) AB/ 平面 A1B1C;(2)平面 ABBA1丄平面 A1BC.f (X)体的体积为_第4页（共28页）16. (14.00 分)已知a,B为锐角，tana-=,COS(a+B)=_.35(1) 求 COS2a的值；(2) 求 tan (a-B)的值.17. （14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0 的一段圆

4、弧 Yl J（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成.已知圆 0 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为 矩形 ABCD大棚n内的地块形状 CDP 要求 A, B 均在线段 MN 上，C, D 均在圆弧上.设 0C 与MN 所成的角为9.（1） 用9分别表示矩形 ABCD 和厶 CDP 的面积，并确定 sin 啲取值范围；（2） 若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚n内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的 单位面积年产值之比为 4: 3.求当9为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产 值最大.18. （16.00 分） 如图， 在平

5、面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 过点 （闻， *） ， 焦点 F1（-UH,0），冋（體，0），圆 O 的直径为 F1F2.（1） 求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2） 设直线 I 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.第5页（共28页）若直线 I 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标;直线 I 与椭圆 C 交于 A，B 两点.若 OAB 的面积为19.(16.00 分)记 f(x), g(x)分别为函数 f (x), g (x)的导函数若存在 xo R,满足f (xo) =g (xo)且 f (xo) =g (xo),则称 xo为函数 f (x)与 g (x) 的一个“S点”

6、(1) 证明：函数 f (x) =x 与 g (x) =x2+2x- 2 不存在“点”(2) 若函数 f (x) =ax2- 1 与 g (x) =lnx 存在“点”求实数 a 的值；(3) 已知函数 f (x) =-x2+a, g (x)=.对任意 ao,判断是否存在 bo, 使函数 f (x)与 g (x)在区间(o, +x)内存在“S点”并说明理由.20.(16.oo 分)设an是首项为 a1,公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1,公 比为 q 的等比数列.(1)设 a1=o, b1=1, q=2,若|an-bn| 0, m N*, q ( 1 ,，证明：存在 d R,使得 | a

7、n- bn| it,则称(is, it)是排列 iii2n的一个逆序，排列 iii2hi的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对 1, 2, 3 的一个排列 231，只有两个逆序(2, 1)，( 3, 1), 则排列231 的逆序数为 2.记 fn(k)为 1 , 2,，n 的所有排列中逆序数为 k 的 全部排列的个数.(1)求 f3(2), f4(2)的值；(2)求 fn(2) (n 5)的表达式(用 n 表示).第8页(共28页)2018 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题 卡相应位置上.1.（5.00

8、 分）已知集合 A=0, 1, 2, 8 , B= - 1, 1, 6, 8，那么 AHB= 1,8L.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解：A=0, 1, 2, 8 , B= - 1, 1, 6, 8, AHB=0,1,2,8H-1,1,6,8=1,8,故答案为：1, 8.【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题.2.（5.00 分）若复数 z 满足 i?z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由 i?z=1+2i,得z得 z_ ：1-1 z 的实部为 2.故答案为：2.【点评】本题考查复数代

9、数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.（5.00 分）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为90 .8999011【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这 5 位裁判打出的分数为 89、89、90、91、91,它们的平均数为丄X(89+89+90+91+91) =90.5第9页（共28页）故答案为：90.【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题.4.(5.00分)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为8 .IL1|:；:；:WhfltI2,第10页(

10、共28页)函数 f (x)的定义域是2, +x).第11页（共28页）故答案为：2,+x）.【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题.6. （5.00 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活 动，则恰好选中 2 名女生的概率为 0.3.【分析】（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务， 共有 C2=10 种，其中全是女生的有 Q2=3 种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C,则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC, bA, bB, Be

11、, AB, AC, BC 共 10 种，其中全是女生为 AB, AC,BC 共 3 种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服 务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 Q2=3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3,10（适合文科生），设 2 名男生为 a, b, 3 名女生为 A, B, C,则任选 2 人的种数为 ab, aA, aB, aC, bA, bB, Be, AB, AC, BC 共 10 种，其中全是女生为 AB, AC, BC 共 3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P 丁=0.3,故答案

12、为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题.7TTT7. (5.00 分)已知函数 y=sin(2x+ (0, b0)的右焦点 F(c, 0)到一条渐近线 yx 的距离为二 c,a2be I可得：一L=b-：,阿 2可得- -i =-，即 c=2a,所以双曲线的离心率为：e-.a故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.9.(5.00 分)函数 f (x)满足 f (x+4) =f (x) (x R),且在区间(-2, 2 上,【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可.【解答】解：由 f (x+4) =f (x)得函

13、数是周期为 4 的周期函数,故答案为:利用正弦函数的对称性建立方程J=1 (a 0, b 0)的f (x)则 f (f (15)的值为仝貝-3第13页（共28页）则 f (15) =f(16- 1) =f (-1) =| - 1| =-,f () =cos (即 f (f (15)2【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式 利用转化法是解决本题的关键.10.（5.00 分）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为.【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可.【解答】解：正方体的棱长为 2,中间四边形的边长为：?：，八

14、面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为 1,【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.11.（5.00 分）若函数 f （x） =2x3- ax2+1 （a尺在（0，+*）内有且只有一个 零兀1、-一）2故答案为:多面体的中心为顶点的多面体的体积为:药尹伍 X 近 X号.故答案为:第14页（共28页）点，则 f （x）在-1，1上的最大值与最小值的和为第15页（共28页）【分析】推导出 f(x) =2x(3x a), x(0, +),当 a 0, f (0) =1, f (乂)在(0, +x)上没有零点；当 a 0 时，f( x) =2xf (x)只有一个零点，解得 a=3,

15、从而 f (x) =2x3 3x2+1, f(x) =6x (x 1), x 1,1，利用导数性质能求出 f （x）在-1,1上的最大值与最小值的和.【解答】解：函数 f （x） =2x3 ax2+1 （a只）在（0, +x）内有且只有一个零占八、）f（x） =2x （3x a）, x（ 0, +）,当 a 0,函数 f （乂）在（0, +x）上单调递增，f （0） =1, f （乂）在（0, +x）上没有零点，舍去;当 a 0 时，f( x) =2x (3x a) 0 的解为 x吕,又 f (x)只有一个零点，3二 f (二)=-I +1=0，解得 a=3,327f (x) =2x3 3x2

16、+1, f(x) =6x (x 1), x 1, 1, f (x) 0 的解集为(-1, 0),f （x）在（-1, 0）上递增，在（0, 1） 上递减,f ( 1) = 4, f (0) =1, f (1) =0,f (x)min=f ( 1 ) = 4, f (x)max=f ( 0) =1, f （x）在-1, 1上的最大值与最小值的和为: f （ x）max+f （ x）min= 4+1 = 3 .【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思 维能力和综合应用能力，是中档题.12. （5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 I: y=2x 上在

17、第一象限内的点，B （5, 0）,以 AB 为直径的圆 C 与直线 I 交于另一点 D.若忑=0,则点 A 的 横坐标为 3.(3x-a)0的解为x-,f (%)在(0,申上递减，在号+x）递增,-f (x)在(0,三）上递减，在（+x）递增,第16页（共28页）【分析】设 A （a, 2a）, a0,求出 C 的坐标，得到圆 C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得 D 的坐标，结合|i=0 求得 a 值得答案【解答】解：设 A （a，2a），a0, B (5，0)，二 C (普则圆 C 的方程为(x- 5) (x- a) +y (y- 2a) =0.-，解得 D(1,2).解得：a=3 或

18、 a= - 1.又 a0, a=3.即 A 的横坐标为 3.故答案为：3.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题.13. （5.00 分）在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,ZABC=120,/ ABC 的平分线交 AC 于点 D,且 BD=1,贝 U 4a+c 的最小值为 9 .【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式 1 的代换进行求解即可.即 ac=a+c,得丄+二=1,ac得 4a+c=（4a+c）当且仅当一一,a c故答案为：9.【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用 1 的代换结合基本不等式是解决 本题的关键

19、.， a） ，联立怔二(5-弘- 2a)=J-毙+2,_40.【解答】解: 由题意得-aCSin120亠asin60csin60即 c=2a 时，取等号,第17页（共28页）14. （5.00 分）已知集合 A=x|x=2n- 1, n N* , B=x| x=2n, n N*.将 AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 Sn为数列an的前 n 项和，则使得 Sn 12an+i成立的 n 的最小值为 27.【分析】采用列举法，验证 n=26, n=27 即可.【解答】解：利用列举法可得：当 n=26 时，AUB 中的所有元素从小到大依次排 列，构成一个数列an,所以数列an的前

20、26 项分别 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,21, 23.25,41 2,4, 8, 16, 32.S26= 丄一-1，a27=43, ? 12a27=516,不符合题意.L12当 n=27 时，AUB 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列 an,所以数列an的前 26 项分别 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,21, 23.25,41 43,2, 4, 8, 16, 32.S27=546, a28=45? 12a28=540,符合题意,21-2故答案为：27.【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题.二、解答

21、题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （14.00 分）在平行六面体 ABC A1B1C1D1中，AA1=AB, ABi 丄 B1C1.求证：（1） AB/平面 A1B1C;（2）平面 ABBA1丄平面 A1BC.【分析】(1)由朋不在平面止内？AB/平面 A1B1C;第18页(共28页)均平面j(2)可得四边形 ABB1A1是菱形，ABi 丄 A1B,由 ABi 丄 B1C1? ABi 丄 BC? ABi 丄面 A1BC, ?平面 ABBA1丄平面 A1BC.第i5页(共28页)【解答】证明：(1)平行六面体 A

22、BC AiBiGDi中，AB/ AiBi,AB/ AiBi, AB?平面 AiBiC, AiBi? /平面 AiBiC? AB/平面 AiBiC;(2)在平行六面体 ABCD- AiBiGDi中，AA=AB, ?四边形 ABBAi是菱形，丄 ABi_L AiB.在平行六面体 ABCD- AiBiCiDi中，AAi=AB, ABi 丄 BiCi? ABi 丄 BC.阿丄 A】瓦 ABJ1BCABU 面&EC, BCU 面 ABC? ABi 丄面 AiBC,且 ABi?平面 ABBAi?平面 ABBiAi丄平面 AiBC.【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，

23、属 于中档题.i6.(i4.00 分)已知a, B为锐角，tana=,cos (a+p)=-丄.35(1) 求 COS2a的值；(2) 求 tan (a- p)的值.【分析】(i)由已知结合平方关系求得 sinaCOSa的值，再由倍角公式得 COS2a的值；(2)由(i)求得 tan2a再由 cos (a+p)=-芈求得 tan (a+p),利用 tan (a-p=tan2a-( a+p)，展开两角差的正切求解.-COs2a=吕7Tp(0, ) , a+p(0, n),【解答】解：(i)由虽门口cos CL 3si Q +coQ=1日为锐角，解得-仃4sin Cl5“ 3COS a-r5(2)

24、由(n 得,sin2 丰24a,sin(a+ p)口且口 + $ )则 tan2a第20页(共28页)则喻(a+p:常二九第i5页(共28页)【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题.17. (14.00 分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为 矩形 ABCD大棚n内的地块形状 CDP 要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上.设 OC 与MN 所成的角为9.(1)

25、用9分别表示矩形 ABCD 和厶 CDP 的面积，并确定 sin 啲取值范围；(2)若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚n内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4: 3.求当9为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产【分析】(1)根据图形计算矩形 ABCD 和厶 CDP 的面积，求出 sin 的取值范围;(2)根据题意求出年总产值 y 的解析式，构造函数 f(9),利用导数求 f (9)的最大值，即可得出9为何值时年总产值最大.【解答】 解：(1) S矩形ABCD= (40sin +10) ?80cos9=800(4sin9cosc9s9,=1600(coscos9sir) ,9当

26、B、N 重合时，9最小，此时 sin4当 C、P 重合时，9最大，此时 sin9=1 sin 啲取值范围是，1); tan (a =tan2a O 的一段圆弧.I JS CD=?80cos9 ( 4040sin9值最大.第22页(共28页)(2)设年总产值为 y,甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产第23页（共28页）值为 3t,则 y=3200t(4sin0co+6os0+4800t(cos0-cos0sin)0=8000t(sin0co+ctos0,其中 sin设 f(0=sin0co+0os0则 f( 0)=coE0 sin20sin0=2sinF 0-sin +1；令 f

27、 ( 0)=0,解得 sin0丄，此时0 = ,cos0=;2 6 2当 sin 隹-，丄)时，f (0)0, f (0)单调递增;当 sin 隹-,1)时，f (0) v0, f (0)单调递减； 0=时，f (0)取得最大值，即总产值 y 最大.6答：(1) S矩形ABCD=800 (4sin0co+cos0，SCDP=1600(cos0-cos0sin) 00=时总产值 y 最大.【点评】本题考查了解三角形的应用问题， 也考查了构造函数以及利用导数求函 数的最值问题，是中档题.18.（16.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（伍寺），焦点 Fi（ -；，0），巨

28、（.；，0），圆 O 的直径为 F1F2.（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 I 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.1若直线 I 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；2直线 I 与椭圆 C 交于 A，B 两点.若 OAB 的面积为求直线|的方程.任寺，1）；sin第24页（共28页） _ ,又 a2- b2=c?=3，解得 a=2, b=1a24b22(2)可设直线 I 的方程为 y=kx+m,(kv0,m0)可得, : - k .1+k2(4m2 4) =0 , 解得 k=-近,m=3.即可设 A (xi, yi), B (x2, y2),联立直线与椭圆方程得(

29、4k2+1) x2+8kmx+4m2-4=0 ,O 到直线 I 的距离 d=川，|AB|= |Jx2-xi|解得 k=- !,（正值舍去），m=3l 二即可焦点 Fi（-换，0）, F2（血，0）, 二逅.弓十二 1，又 a2- b2=c?=3,解得 a=2, b=1.椭圆 C 的方程为：.，圆 O 的方程为：x2+y2=3.（2）可知直线 I 与圆 O 相切，也与椭圆 C,且切点在第一象限,产 kis+niF+4/二 4,可得(4k2+1) x2+8kmx+4m2- 4=0 , = (8km)2- 4 (4k2+1)OAB的面积HiVl+k2【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为即可.X(a

30、b0)第25页(共28页)可设直线 I 的方程为 y=kx+m , (kv0, m0).2由圆心(0, 0)到直线 I 的距离等于圆半径體，可得亠上 3,即 13+3 八lfk2由:产 k 討: ，可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2- 4=0,F+4H 4 = (8km)2- 4 (4k2+1) (4m2- 4) =0,可得 口2=4/+1,.3k2+3=4k2+1，结合 kv0, m0,解得 k=-典，m=3.F2 2_将 k=-近，m=3 代入(* +卩一 3 可得/-上近肢=0，尸kx+m解得 x=. ：, y=1，故点 P 的坐标为(零耳，-.设 A (xi, yi), B (x

31、2, y2),由 口红 3+3k2? kv-西.联立直线与椭圆方程得(4k2+1) x2+8kmx+4m2- 4=0,OAB19. (16.00 分)记 f(x), g(x)分别为函数 f (x), g (x)的导函数.若存在|x2-xi1(口 + 乜)9-=4k2+l-iD24尺1I AB 引 l+k|x2-xi| =4k2+lz x辿呼1-心応%ITI上卜 lr解得 k=-(正值舍去)，m=3：:. y=-街工+3/1 为所求.【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题.4k+lO 到直线 I 的距离第26页(共28页)x R,满足 f (X0)=g (X0)且 f

32、(X0)=g (X0)，则称 X0为函数 f (x)与 g (x)的一个“S点”(1) 证明：函数 f (x) =x 与 g (x) =X2+2x 2 不存在“点”(2) 若函数 f (x) =a*- 1 与 g (x) =lnx 存在“点”求实数 a 的值；(3)已知函数 f (x) = x2+a, g (x) = 对任意 a0,判断是否存在 b0,使函数 f (x)与 g (x)在区间(0, +x)内存在“S点”并说明理由.【分析】(1)根据“点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；(2)根据“S 点”的定义解两个方程即可；(3)分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判

33、断即可.【解答】解：(1)证明：f(x) =1, g (x) =2x+2,占”八、)r? 2_ 3 , o 2._令 h(x)=x2a= 1, (a0,Ovxv1),i-L1-x设 m(x)=x3+3x2+ax a, (a0,Ovxv1),则 m(0)=av0,m(1)=20,得 m(0)m(1) v0,又 m (x)的图象在(0, 1)上连续不断，则由定义得h 二x1-22得方程无解，则 f (x) =x 与 g (x) =W+2x-2 不存在“S(2) f (x) =2ax, g (x),x0,由 f (x) =g ( x)得二=2ax,得Ina2,得 a 亠;(3) f (x) = 2x

34、, g( (x)三由 f(X0)=g (X0),假设 b0,得 b Jo = -0,得 0vX00,使 f （x）与 g （x）在区间（0, +x）内存在“S”.【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否 有解是解决本题的关键.20. （16.00 分）设an是首项为 ai,公差为 d 的等差数列，bn是首项为 bi,公 比为 q 的等比数列.（1）设 ai=0, bi=1, q=2,若|an-bn| 0, m N*, q ( 1 ,，证明：存在 d R,使得 | an- bn| bi对 n=2, 3,，m+i 均成立，并求 d 的取值范围（用 bi, m, q 表

35、示）.【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，禾I用不等式的关系构造新数列和函数，判断数 列和函数的单调性和性质进行求解即可.【解答】解：（1）由题意可知|an-bn| 1 对任意 n=1, 2, 3, 4 均成立, ai=0, q=2,证明：(2)van=ai+ (n - 1) d, bn=bi?qn 1,若存在 d R,使得| an- bn| bi对 n=2, 3,，m+1 均成立,则 | bi+ (n - 1) d - bi?qn 1| bi, (n=2, 3,，m+1),即-bid1-, (n=2, 3,，m+1),n-1n-1-

36、q( 1 ,-，二则 ivqn-1 qm 2, ( n=2 , 3,，m+1),n-l因此取 d=0 时,|an-bn| bi对 n=2 , 3,，m+1 均成立,n-l：n-l|d-2 |K1|2d-4|l，L|3d-8|1bi 0 ,第29页（共28页）下面讨论数列 的最大值和数列-的最小值，第30页（共28页）n门n-1门n n n-1 ,o nILIn . 当 2nm 时 q 一 2 q二 n 艮：q nq 2=讥(4 一口)_Q +? n口 Tn(n-l)n(n-l)JJ当 1vqw?111时，有 qn0,ri-1 c因此当 2wnWm+1 时，数列 p单调递增,n-1rrl因此当

37、2WnWm+1 时，数列 p单调递递减,n-l【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用， 考查学生的 运算能力，综合性较强，难度较大.数学U（附加题）【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题， 并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1:几何证明选讲（本小题满分 10 分）21. （10.00 分）如图，圆 O 的半径为 2, AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一 点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C.若 PC=2；，求 BC 的长.设 f (x) =2x(1 x),当

38、 x 0 时，f( x) = (I n2 1 xln2) 2xv0, f（x）单调递减，从而f(x)vf(0)=1,当 2wnwm 时,n.q门11-1qn-l.血-L)n(1丄)=f (丄)V 1,故数列的最大值为m第31页（共28页）【解答】解：连接 OC, 因为 PC 为切线且切点为 C, 所以 OC 丄 CP.因为圆 O 的半径为 2,二-所以 BO=OC=2 pQ=寸严 +Cp 二 4，所以-心.二二，所以/ COP=60，所以 COB 为等边三角形，所以 BC=BO=2【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系， 切线的应用，考查发现问题解决问 题的能力.B.选修 4-2:矩阵与变换（

39、本小题满分 10 分）22.（10.00 分）已知矩阵 A= .1 2（1）求 A 的逆矩阵 A1;（2） 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P （3，1 ），求点 P 的坐标.【分析】（1）矩阵 A=：；求出 det （A） =1工 0，A 可逆，然后求解 A 的逆矩 阵 A1.j，求出打=，即可得到点 P 的坐标.，det （A） =2X2 - 1X3=1 工 0,所以 A 可逆，（2）设 P（x，y），通过:彳？ I解答】解:（矩阵A=1:股定理，可以得到 PO 的长，即可判断 COB 是等边三角形，BC 的长.第32页(共28页)从而：A 的逆矩阵；.(2)设 P(x, y

40、),则初; =；，所以加罟心，因此点 P 的坐标为(3,- 1).【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基 本知识的考查.C选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 0 分)23. 在极坐标系中，直线 I 的方程为psiK -9)=2,曲线 C 的方程为p=4cos,6求直线 I 被曲线 C 截得的弦长.【分析】将直线 I、曲线 C 的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解.【解答】解：曲线 C 的方程为p=4cos,9二p2=4pcos,9? x2+y2=4x，曲线 C 是圆心为 C (2，0)，半径为 r=2 得圆.直线

41、I 的方程为psin()-9)=2，.口 89 -孕心生山 0 =2,o22二直线 I 的普通方程为：X-岛 y=4.圆心 C 到直线 I 的距离为 d=直线 I 被曲线 C 截得的弦长为 2；-:.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、 点到直线的距离公式，属于中档题.D.选修 4-5 :不等式选讲(本小题满分 0 分)24. 若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6,求 x2+y2+z2的最小值.【分析】根据柯西不等式进行证明即可.【解答】解：由柯西不等式得(+y2+z2) (12+22+22)( x+2y+2z)2,/ x+2y+2z=6,. x2+

42、y2+z24x2+y2+z2的最小值为 4时，不等式取等号，此时z 刍,第33页(共28页)【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键.【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 25. 如图，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=AA=2，点 P, Q 分别为 A1B1，BC 的 中占I 八、(1)求异面直线 BP 与 AG 所成角的余弦值；(2)求直线 CC 与平面 AQC 所成角的正弦值.【分析】设 AC, A1C1的中点分别为 0, 01，以I,为基底，建立空间直角坐标系 0 - xyz,一 _.|BP-AC I(1) 由|co$2),AC二(0, 29 2)-|co齐兀AC|1 BP PC | =1-1+4=VIo冻X2勺20异面直线 BP 与 AG 所成