2020年高考数学第52讲空间角及其计算

1、第 52 讲空间角及其计算丼辍1.在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，BCi与平面 BDD1B1所成的角为（A）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90133 取 BiDi的中点 E,连接 CiE, BE,因为 CiE 丄平面 BDDiBi,所以ZCiBE 即为所求角0.豎因为 sin0=纟=，所以0=30选 A.寸 222.正四棱锥的侧棱长为 2 . 3，侧棱与底面所成的角为60 ,则该棱锥的体积为（B）A . 3 B . 6C. 9 D. i8薛 3 棱锥的底面对角线长为2X2 3cos 60 =2 3,高为 2 , 3sin 60 =3,设底面边长为a,则,2a= 2 .3，所

2、以 a = . 6,2所以底面面积为 a = 6,1所以其体积 V= X6X3= 6,所以选 B.3.已知二面角a-l-3的大小为 60 m, n 为异面直线，且 m 丄a,n 丄3,贝 U m, n 所成 的角为（B）A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 4.如图，平面a丄平面分别作两平面交线的垂线，垂足为A. 4B . 6C. 8D. 9连接 AB ，设 AB = a,可得 AB 与平面a所成的角为/2 a.3,中，有 AB同理可得AB 与平面3所成的角为/ ABAAA = a.因此在 RtAA B中，A B=；子 a2器2=1因为 AB = 12,所以 A B = 6，故选

3、B.5.长为 2a 的线段 AB 在平面a内的射影线段 AiBi的长为a, 的角的大小为60 .a,则直线 AB 与平面a所成设直线 AB 与平面a所成的角为0,则 cos0=2a=1，贝y 0=60.CE9 如图，0 为底面正厶 ABC 的中心，贝 y OP 丄平面 ABC,/PCO 即为所求角,设 AB= 1,则 PC= 2, 0C = 33, 所以 cos ZPCO=0C = -7.PC 67. （2017 天津卷）如图，在四棱锥AD = 1 , BC= 3, CD = 4, PD = 2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；求证：PD 丄平面 PBC;(3)求直线 AB

4、与平面 PBC 所成角的正弦值.堪 3 (1)如图，由已知 AD /BC,故/DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角.因为 AD 丄平面 PDC，直线 PD?平面 PDC ,所以 AD JPD.在 RtDA 中，由已知，得 AP= AD2+ PD2=. 5, 故cos/DAp= AD =于所以异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为匚55(2) 证明：由(1)知 AD JPD.又因为 BC /AD，所以 PD JBC.又 PD JPB, PB A BC = B，所以 PD 丄平面 PBC.(3) 过点 D 作 DF AB， 交 BC 于点 F， 连接 PF， 则 DF 与平面

5、 PBC 所成的角等于 AB 与 平面 PBC所成的角.因为 PD 丄平面 PBC,所以 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以/DFP 为直线 DF 和平 面 PBC所成的角.由于 AD BC, DF /AB,故 BF = AD = 1.由已知，得 CF = BC BF = 2.又 AD JDC,所以 BC JDC.在 Rt DCF 中，可得 DF = CD2+ CF2= 2,5,PD x/5在 RtADPF 中，可得 sinzDFP = =：.DF 56.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于_36PDC，AD / BC, PD 丄 PB,所以直线

6、AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为3 取 BC 的中点 D，连接 MN , ND, AD ,i 由于 MN 綊BiCi綊 BD，因此 ND 綊 BM ,则 ND 与 NA 所成的角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角.设 BC= 2,贝UBM = ND= .6, AN= .5, AD = 5,2 2 2 _ND + NA - AD 后因此，cos/AND =接 AE.(1)因为 AO 丄平面 BCD，所以/ACO 就是 AC 与平面 BCD 所成的角. 因为 BCD 是正三角形，所以 O 是 ABCD 的中心.在 RtAOC 中，OC= 2x23aa, 所以 cos/ACO =爲二于.所

7、以 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为 可.因为四面体 A-BCD 为正四面体，所以 BCD 和ABD 都为正三角形，所以 OE JBD 且 AE1BD,所以/AEO 为二面角 A-BD-C 的平面角,&的中点,A.C.客级(2014新课程卷 n )直三棱柱ABC-AiBiCi中，/ BCA= 90M , N分别是AiBi,BC=CA=CCi， 贝U BM与 AN所成的角的余弦值为(C)B.2D. TAiCi2ND NA9.已知正四面体 A-BCD 的棱长为 a.(1)AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为二面角 A-BD-C 的平面角的余弦值为设 A 在底面 BCD 上的射影为 0,上；

8、3；13 .连接 0A,连接 0C 并延长与 BD 相交于E,连10 -所以 OE = 3多=乎，AEhfa,OE 1所以 cos/AEO =疋=3.1所以二面角 A-BD-C 的平面角的余弦值为-.10.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 a, / ABC = 60 PC 丄平面 ABCD，且 PC= a, E 为 PA的中点.求证：平面 BED 丄平面 ABCD ;求 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值；(3)求二面角 D-PA-B 的平面角的余弦值.(1)证明：设 AC 交 BD 于 O,连接 OE,因为 O 是 AC 的中点，E 是 FA 的中点,所以 OE FC,又 PC 丄平面

9、ABCD ,所以 OE 丄平面 ABCD ,因为 OE?平面 BED，所以平面 BED 丄平面 ABCD.连接 OP,因为 ABCD 是菱形，所以 BD 山 C,又 PC 丄平面 ABCD，所以 BD JPC,PCnAC = C,所以 BD 丄平面 PAC, 所以 OP 是 BP 在平面 PAC 上的射影,所以/BPO 即为所求角.在 Rt 少 PO 中，OB-a, PB = .2a, 所以 sin ZBPO = TB =乎.PB 4过 D 作 DF _LPA 于 F，连接 BF，由(2)知 BD _LPA,DFnBD = D，所以 PA 丄平面 BFD , BF?平面 BFD , 所以 PAJBF ,所以/DFB 即是所求二面角的平面角.在 ADFB 中，可考虑用余弦定理求/ DFB.因为 PD = PA= .2a,所以 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为64 .P取 AD 的中点 G,