用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

1、分析：分别画函数y=lgx和y=3 - x的图象，在两个函点的横坐标就是方数图象的交点处，函数值相等因此，这个程lgx=3 - x的解.由函数y = lgx与2例 1 1 :利用计算器，求方程x - 2x -1 = 0的一个近似解(精确到 0.10.1 ).f (2.5) =0.250，所以2：x, :：: 2.5. .再取2与2.5的平均数2.25，因为f (2.25) - -0.4375：0， 所以2.25 :：: x :：: 2.5. .如此继续下去，得f(2)：0, f(3) 0二X,(2,3)f (2) : 0, f (2.5) 0= x,(2,2.5)f(2.25) 0, f(2.

2、5)0= x,(2.25, 2.5) f (2.375) =0, f (2.5)0= xr(2.375, 2.5)f (2.375) 012,2.5f (2.25) 00.52.25,2.5f (2.375) 00.252.375,2.5f (2.4375) 00.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步.例 2 2：利用计算器，求方程lg x =3 - x的近似解(精确到 0.10.1).x,. .取2与3的平均数2.5，因为【解】设f (x) =x2先画出函数图象的简图( (如右图所示) ) 因为f(2)仁0, f(3)所以在区间(2,3)内,解，记为y=

3、3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有惟一解，记为捲，并且这个解在区间(2,3)内. .【解】设f (x) =lg x x - 3，利用计算器计算得f (2) :：: 0, f (3) -0. Xi(2,3) f (2.5)：0, f (3) 0=(2.5,3)f(2.5) 0, f (2.75)0=(2.5,2.75) f (2.5) :：: 0, f (2.625) 0=论(2.5,2.625)f (2.5625)：0,f (2.625) 0= x (2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为x : 2.6. .思考：发现

4、计算的结果约稳定在2.58717. .这实际上是求方程近似解的另一种方法一一迭代法.除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等.与y =4-x的图象，由图象可以知道，方程2x，x=4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为x 1.4. .追踪训练一1.1. 设X。是方程In -x 4的解，贝U X。所在的区间为( B B )A A.(3,4)B B.(2,3)C C.(1,2)D D.(0,1)2.2. 估算方程5x2-7x-1 =0的正根所在的区间是(B B )A A.(0,1)B B.(1,2)D D .(3,4)25x -7x-

5、1=0的负根所在的区间是(B B. 一2,-1C C .25,-2D D ._3,_2.54.4.利用计算器，求下列方程的近似解( (精确到0.1) )(1)(1)lg2x1(2)(2)3x= x 4C C .(2,3)3 3 .计算器求得方程A A. ( 11, 0 0)例 3 3:利用计算器，求方程2x x =4的近似解(精确到 0.10.1).答案：(1)(1)0.8(2)(2)x1- -3.9, ,x21.6、含字母系数的二次函数问题例 4 4：二次函数f （x） = px2 qx r中实数p、q、r满足一-=0，其中m + 2 m + 1 mm . 0,求证：【解】（1 1）一m、/

6、 m、2/ m、npf（齐pp（齐）q（rni）r2p m2(m 1) (m 2)由于f (x)是二次函数，故p = 0，又m 0，所以，pf(二)：:0.m + 1由题意，得f (0) =r, ,f (1 p q r.当p 0时，由(1 1 )知f() 0m+1若r 0，则f(0)0，又f()：0,m E所以f (x)在(0, )内有解.m+1若r岂0，贝U f(1) = p qp (m 1)p rp rmm ,=()r0，又f ()：0，所以f (x) = 0在(，1)内m+2 m m+2 mm+1m + 1有解.当p 0时同理可证.点评：（1 1）题目点明是“二次函数”两个字去掉，所证结

7、论相应更改.(1)pf(）：（2）方程f（x）=O在（0,1）内恒有分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据:是区间（0,1）内的数，且pf m） 0， 这就启发我们把区间m 1（0,1）划分为（。,m）和（誥，1）来处理.二pmpm(m 1)2旦丄m 1 mpmpm(m 1)2”p2m2m(m 2) _(m 1)(m 1)2(m 2)，这就暗示着二次项系数p = 0若将题中的“二次”由函数的单调性，可知不存在自然数n，使f n p1000成立.(2 2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对 后对r分类显然是比较好.追踪训练二1 1 若方程2ax2-x-1 = 0在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是(B(B ) )B B.（1,：）1D D .一8）22.2.方程x -2x 2k -1 =0的两个根分别在区间1: k：1；23 3已知函数f (x) =2mx 4，在-2,1上存在X。，使f (x) =0，则实数m的取值范围是_ m王1或m兰-2_.4 4.已知函数f x = x3x试求函数y二f x的零点；是否存在自然数n