专题23：函数中一类求和问题的研究与拓展

1、 专题2.3：函数中一类求和问题的研究与拓展 【问题提出】 问题1：等差数列的前项和公式如何推导？问题2：为何会用倒序求和而不是奇偶分析？能否给出图形证明？问题3：若，则变式1：设，则= 变式2：（2003年上海春季高考题）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法可求得的值是 变式3：（2012年全国新课标文科高考题）设函数的最大值为M，最小值为m，则Mm_【探究拓展】探究1：求和：解：考虑到，将以上两式相加得：所以拓展1：（2013年南通高三数学二模23题）设b>0，函数，记（是函数的导函数），且当x = 1时，取得极小值2（1）求函数的单调增区间；（2）证明（有点像二项式系数和的形

2、式）【解】（1）由题于是，若，则，与有极小值矛盾，所以令，并考虑到，知仅当时，取得极小值所以解得故，由，得，所以的单调增区间为（2）因为，所以记因为， 所以，故拓展2：（2013年宿迁、徐州高三数学三模）已知函数,（1）当时，求函数的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列，使得对一切都成立？并说明理由 解：（1） =，=，令得，因为，所以当为偶数时的增减性如下表：无极值极大值极小值所以当时，；当时，当为奇数时的增减性如下表：极大值极小值无极值所以时，；当时，（2）假设存在等差数列使成立，由组合数的性质，把等式变为，两式相加，因为是等差数列，所以，故，所以 再分别令，得且，进一步可得满足题设的等

3、差数列的通项公式为 探究2：设函数，若成等差数列（公差不为零），则 变式1：已知函数，则 为了方便起见，记，由于，所以，故变式2：设,则的值为 ，故倒序相加得和为500变式3：已知函数，则_，故，令得：变式4：已知是上的奇函数，则数列的通项公式为_.拓展：将奇函数的图象关于原点对称这一性质进行拓广，有下面的结论： 函数满足的充要条件是的图像关于点成中心对称 函数满足为奇函数的充要条件是的图像关于点成中心对称（注：若不属于的定义域时，则不存在）利用上述结论完成下列各题：（1）写出函数的图像的对称中心的坐标，并加以证明（2）已知（）为实数，试问函数的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心

4、的坐标并说明理由；若不是，请说明理由（3）若函数的图像关于点成中心对称，求的值解：（1）函数的图像的对称中心的坐标为（） 当（）时，；当（）时，得证（2）由，得的图像的对称中心的坐标为，由结论得，对实数()，函数的图像关于点成中心对称（3）由结论 为奇函数，其中为奇函数，故为偶函数（证明略），于是，由可得，因此，解得为所求变式1：（2013年上海市春季高考数学试卷）已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.（1）将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;（2）求函数 图像对称中

5、心的坐标;（3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题，请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3) 此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数.

6、 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”. 变式2：已知函数，若对于满足Î(- a，4 - a)的一切x恒成立，则(a，b)为_分析：不难发现，这道题目改编于前文中的高考试题. 如果直接利用题中条件，得到. 化简得：，当时，上式左边与无关，则有，.上述解法虽可行，但是难以体现本质. 事实上，条件等价于函数的对称中心为. 因为：，其中. 从而本题就转化为求对称中心坐标，同上，此处不再赘述.变式3： 对于三次函数，定义是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”. 有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.

7、 根据这一发现，对于函数，则的值为_.分析：由题意知，；当时，则.因此有，那么；利用倒序相加法得到：，共有4025对，那么，则=4025. 上述解法中，在解方程时，本质上不止有一个根，因此该题的解法中略有不足. 故仍需要利用文首高考题中构造奇函数的方法才能完美地解决此题.另解：， 当时，则为奇函数，其图像关于原点对称，那么可知函数的对称中心为. 余下部分同上解法，此处略去.变式4：函数的所有零点之和为 分析：首先，有，画出图像，如果能观察到图像关于(1,0)中心对称，那么4个零点中分为两对且每对和为2，则其总和为4.然而，如果看不出来对称中心的话，能否换个角度审视问题，即如何用更一般地方法去分

8、析这一问题呢？事实上，研究一个函数，无非是从单调性、奇偶性、图像等几方面入手. 在奇函数的习题中，有零点之和的问题，主要是用到这个结论. 那么本题中，定义域不关于原点对称，怎么办？左移一个单位后变成，则令，有，得到. 等式两边的函数都是奇函数，且，因此这个方程的4个根之和为0，那么，即有.本解法中对函数定义域所做的一点调整，足以让问题简化，真可谓“退一步海阔天空”，这种处理方式同样适用于如下试题：变式5：方程在区间内所有根之和等于_ 变式6： 苏州市2013年6月高二数学期末统考试题13 已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，由此推测函数的图像的对称中心为

9、 分析：这题学生能做出来的不多，但“猜对”的不少！很多学生都是归纳猜想去做，讲不清楚个中缘由. 那么本题到底该怎么分析才能让学生理解其本质呢？首先，还是回到研究函数的几个性质上去，即定义域、单调性、奇偶性(1) 若函数，定义域为，值域为R，单调性为每个单调区间上的减函数，非奇非偶. 如果去作图，先要解出零点，然后再去观察，可行！但是，也不能永远都这样下去，后面如果项数多了就束手无策. 那么能尝试去考虑定义域关于原点对称的情形吗？容易得到图像右移个单位后变成函数：. 这样定义域关于原点对称，由表达式自然地想到了这个是奇函数，关于原点中心对称，故原函数中心为.(2) 函数，定义域为，值域为R，图像右移1个单位后，变成，也是奇函数，故原来的函数对称中心为.(3) 由此类推，图像右移个单位后，变为：，可利用 证明函数为奇函数，因此对称中心为.探究3：设函数，是公差不为0的等差数列，则_. 21 解析是公差不为0的等差数列，且点评本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要