数学训练20150125-18题

1、数学训练20150125-17题一选择题（共5小题）1（5分）（2010海南）如图，a、b、c分别表示ABC的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是（）ABCD2（5分）（2007呼伦贝尔）如图，在RtAEB和RtAFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，E=F=90°，EAC=FAB，AE=AF给出下列结论：B=C；CD=DN；BE=CF；ACNABM其中正确的结论是（）ABCD3（5分）（2013贺州）如图，在ABC中，ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A4cmB6cmC8cmD9cm4（5分）（2014

2、台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则EBF的度数是（）A45°B50°C60°D不确定5（5分）（2014秋安陆市期中）方格纸中，每个小格顶点叫做格点以格点连线为边的三角形叫格点三角形如图在4×4的方格纸中，有两个格点三角形ABC、DEF下列说法中，成立的是（）ABCA=EDF BBCA=EFD CBAC=EFD D这两个三角形中没有相等的角二填空题（共5小题）6（2012阿坝州）如图，已知l1l2l3l4，相邻两条平行线间的距离都相等，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，A

3、B与l2交于点E，则AED与正方形ABCD的面积之比为7（2014长春）如图，在ABC中，C=90°，AB=10，AD是ABC的一条角平分线若CD=3，则ABD的面积为8（2015春万州区期末）如图，已知ABCADE，D是BAC的平分线上一点，且BAC=60°，则CAE=9（2015秋云梦县校级月考）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，AE是过A点的一条直线，CEAE于E，BDAE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=10（2014秋崇州市期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则1+2+3=°三解答题（共8小题）11（2015鞍山）如图

4、，ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC=2AB（1）求证：APGFEG；（2）求证：PEF为等腰三角形12如图，ADCAFB，DAB=20°，DABF，DC、BF交于E，FEC=110°（1）求FAC的度数；（2）AF平行于DC吗？说明理由；（3）求BAC的度数13如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC=6，D为BC中点，若E，F分别是AB，AC上的点，且AE=CF，求证：AEDCFD14如图所示，ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连接CF、E

5、F，过点F作直线FDCE于D，求证：FD为CFE的平分线15如图，ABC和ACF均为等边三角形，点D、E分别为AD，BE边上的点，且AD=BE，AE与CD交于G点，连接GF（1）求EGC的度数； （2）求证：AG+CG=GF16如图1，ABC和CDE为等边三角形（1）求证：BD=AE；（2）若等边CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：CFG为等边三角形；FGBC17如图所示，已知正方形OPNM正方形ABCD，AC与BD交于点O，正方形OPNM绕O点旋转，OM交AB于E，OP交BC于F

6、，如果正方形的边长为3，求四边形OEBF的面积数学训练20150125-17题参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（5分）（2010海南）如图，a、b、c分别表示ABC的三边长，则下面与ABC一定全等的三角形是（）ABCD【考点】全等三角形的判定菁优网版权所有【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等故选B【点评】本题重点

7、考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目2（5分）（2007呼伦贝尔）如图，在RtAEB和RtAFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，E=F=90°，EAC=FAB，AE=AF给出下列结论：B=C；CD=DN；BE=CF；ACNABM其中正确的结论是（）ABCD【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】根据题目中所给的大部分选项先判断该证明哪两个三角形全等，然后对各选项采取排除法得到正确选项【解答】解：EA

8、C=FABEAB=CAF又E=F=90°，AE=AFABEACFB=C，BE=CF由AEBAFC知：B=C，AC=AB；又CAB=BAC，ACNABM；（故正确）由于条件不足，无法证得CD=DN；故正确的结论有：；故选A【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件3（5分）（2013贺州）如图，在ABC中，ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A4cmB6cmC8cmD9cm【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】求

9、出FBD=CAD，AD=BD，证DBFDAC，推出BF=AC，代入求出即可【解答】解：F是高AD和BE的交点，ADC=ADB=AEF=90°，CAD+AFE=90°，DBF+BFD=90°，AFE=BFD，CAD=FBD，ADB=90°，ABC=45°，BAD=45°=ABD，AD=BD，在DBF和DAC中DBFDAC（ASA），BF=AC=8cm，故选C【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出DBFDAC4（5分）（2014台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，B

10、F的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则EBF的度数是（）A45°B50°C60°D不确定【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】过E作HIBC，分别交AB、CD于点H、I，证明RtBHERtEIF，可得IEF+HEB=90°，再根据BE=EF即可解题【解答】解：如图所示，过E作HIBC，分别交AB、CD于点H、I，则BHE=EIF=90°，E是BF的垂直平分线EM上的点，EF=EB，E是BCD角平分线上一点，E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，RtBHE和RtEIF中，RtBHER

11、tEIF（HL），HBE=IEF，HBE+HEB=90°，IEF+HEB=90°，BEF=90°，BE=EF，EBF=EFB=45°故选：A【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质5（5分）（2014秋安陆市期中）方格纸中，每个小格顶点叫做格点以格点连线为边的三角形叫格点三角形如图在4×4的方格纸中，有两个格点三角形ABC、DEF下列说法中，成立的是（）ABCA=EDFBBCA=EFDCBAC=EFDD这两个三角形中没有相等的角【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】

12、网格型【分析】在4×4的方格纸中，观察图形可知ABCDEF，根据全等三角形对应角相等作答【解答】解：观察图形可知ABCDEF，BCA=EFD，BAC=EDF故选B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；认真观察图形，在图形上找着有用的条件是一种很重要的能力，注意培养二填空题（共5小题）（主观题不能在线作答，请下载完成）6（2012阿坝州）如图，已知l1l2l3l4，相邻两条平行线间的距离都相等，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，AB与l2交于点E，则AED与正方形ABCD的面积之比为1：4【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；三角形中位线定理；正方

13、形的性质菁优网版权所有【分析】利用平行线分线段成比例定得出AE=BE，进而得出SAED=AE×AD，S正方形ABCD=AB×AD，求出比值即可【解答】解：l1l2l3l4，相邻两条平行线间的距离都相等，AE=BE=AB，SAED=AE×AD，S正方形ABCD=AB×AD，AED与正方形ABCD的面积之比为：AE×AD：AB×AD=1：4故答案为：1：4【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角形和正方形面积公式等知识，得出AE=BE是解题关键7（2014长春）如图，在ABC中，C=90°，AB=10，AD是ABC的

14、一条角平分线若CD=3，则ABD的面积为15【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】要求ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DEAB于E根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解【解答】解：作DEAB于EAD平分BAC，DEAB，DCAC，DE=CD=3ABD的面积为×3×10=15故答案是：15【点评】此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键8（2015春万州区期末）如图，已知ABCADE，D是BAC的平分线上一点，且BAC=60°

15、，则CAE=30°【考点】全等三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】由ABCADE可得BAC=DAE=60°，由D是BAC的平分线上一点可得BAD=DAC=BAC=30°，即可得CAE的度数【解答】解：ABCADE，BAC=DAE=60°，D是BAC的平分线上一点，BAD=DAC=BAC=30°，CAE=DAEDAC=60°30°=30°故答案填：30°【点评】本题考查了全等三角形的性质及角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键9（2015秋云梦县校级月考）如图，在ABC中，AB=A

16、C，BAC=90°，AE是过A点的一条直线，CEAE于E，BDAE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=6cm【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】利用同角的余角相等求出ABD=CAE，再利用“角角边”证明ABD和CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，AD=CE，然后计算即可得解【解答】解：BAC=90°，BAD+CAE=90°，BDAE，ABD+BAD=90°，ABD=CAE，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE=2+4=6cm，BD=6cm故答案为：6cm【点

17、评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等求出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点10（2014秋崇州市期末）如图为6个边长等的正方形的组合图形，则1+2+3=135°【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】观察图形可知1与3互余，2是直角的一半，利用这些关系可解此题【解答】解：观察图形可知：ABCBDE，1=DBE，又DBE+3=90°，1+3=90°2=45°，1+2+3=1+3+2=90°+45°=135°故填135【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意1与3互余，2是直角的一半，

18、特别是观察图形的能力三解答题（共8小题）（主观题不能在线作答，请下载完成）11（2015鞍山）如图，ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC=2AB（1）求证：APGFEG；（2）求证：PEF为等腰三角形【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）利用三角形的中位线求得EFBC，EF=BC，中点得出AP=AD，结合平行四边形的性质得出AP=EF，APEF，求得APG=GEF，PAG=GFE，证得结论；（2）连接AE，求出AB

19、=AO，得出AEBD，求出EP=AD，求出EF=BC，根据AD=BC求出即可【解答】证明：（1）E，F分别是OB，OC的中点，EFBC，EF=BC，P是AD的中点，AP=AD，在平行四边形ABCD中，AD=BC，ADBC，AP=EF，APEF，APG=GEF，PAG=GFE，在APG和FEG中，：APGFEG（2）连接AE，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，AC=2OA=2OC，AC=2AB，OA=AB，E为OB中点，AEBD（三线合一定理），AED=90°，P为AD中点，AD=2EP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），BC=AD，BC=2EP，E、F分别是OB、OC中点

20、，BC=2EF，EP=EF【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行四边形性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形的中位线性质的应用，题目综合性比较强12如图，ADCAFB，DAB=20°，DABF，DC、BF交于E，FEC=110°（1）求FAC的度数；（2）AF平行于DC吗？说明理由；（3）求BAC的度数【考点】全等三角形的性质菁优网版权所有【分析】（1）由全等三角形的性质可知DAC=FAB，然后证明DAB=FAC即可；（2）由DABF可知DAF+F=180°，由全等三角形的性质可知：D=F，从而可得到DAF+D=180°；（3）由

21、AFDC，可知F=FEC=110°，然后由DABF可求得DAF=70°，从而可求得BAC的度数【解答】解：（1）ADCAFB，DAC=FABDACBAC=FABBACFAC=DAB=20°；（2）DABF，DAF+F=180°ADCAFB，D=FDAF+D=180°AFDC（3）AFDC，F=FEC=110°ADBF，DAF+F=180°DAF=180°110°=70°BAC=BAFFAC=70°20°=50°【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和

22、判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键13如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC=6，D为BC中点，若E，F分别是AB，AC上的点，且AE=CF，求证：AEDCFD【考点】全等三角形的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】由等腰直角三角形的性质得出B=C=45°，AD=BC=CD，由SAS证明AEDCFD即可【解答】证明：BAC=90°，AB=AC=6，D为BC中点，EAD=BAC=45°，B=C=45°，AD=BC=CD，EAD=C，在AED和CFD中，AEDCFD（SAS）【点评】本题考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质；熟

23、练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键14如图所示，ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连接CF、EF，过点F作直线FDCE于D，求证：FD为CFE的平分线【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】延长BE到G，使EG=BC，连接FG，证明BCFGEF，得出CF=FE，利用等腰三角形的性质可得出结论【解答】证明：延长BE到G，使EG=BC，连接FG，AF=BE，ABC为等边三角形，BF=BG，ABC=60°，GBF也是等边三角形在BCF和GEF中，BCFGEF（SAS），

24、FC=EF，FDCE，FD为CFE的平分线【点评】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质及全等三角形的判定，构造三角形证明全等是解题的关键15如图，点C为线段AB上一点，ACM、BCN是两个等边三角形，连接AN交CM于D，连接BM交CN于E，求证：CD=CE【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到CANMCB，于是CMB=CAN，再根据ASA可得ACDMCE，结论得证【解答】解：ACM，CBN是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=60°，NCB=60&

25、#176;，ACM+MCN=NCB+MCN，即：ACN=MCB，在CAN和MCB中，CANMCB（SAS），CMB=CAN又ACM=MCN=60°，AC=MC在ACD和MCE中，ACDMCE（ASA），CD=CF【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用16如图，ABC和ACF均为等边三角形，点D、E分别为AD，BE边上的点，且AD=BE，AE与CD交于G点，连接GF（1）求EGC的度数； （2）求证：AG+CG=GF【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有【分析】（1）由条件证明ABECAD可得到BAE=ACD，再利

26、用角的和差可求得EGC的度数；（2）延长CD到H，使HG=AG，连接AH，证明HACGAF即可【解答】（1）解：ABC为等边三角形，AB=AC，ABE=CAD=60°，又AD=BE，在ABE和CAD中，ABECAD（SAS），BAE=ACD，则EGC=GAC+ACD=GAC+BAE=BAC=60°；（2）证明：延长CD到H，使HG=AG，连接AH，AGH=EGC=60°，AGH是等边三角形，AG=AH，HAG=60°，ACF是等边三角形，AC=AF，CAF=60°，HAC=FAG+GAC=60°+GACGAF=CAF+GAC=60&#

27、176;+GACHAC=GAF，在HAC和GAF中，HACGAF（SAS），HC=GF，HC=HG+GC=AG+GC，AG+GC=GF【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件找到可以证明全等的三角形是解题的关键，如果找不到也可以构造17如图1，ABC和CDE为等边三角形（1）求证：BD=AE；（2）若等边CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：CFG为等边三角形；FGBC【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）利用等边三角形的性质证明

28、ACEBCD即可；（2）结论仍然成立，同（1）的方法证明；（3）由ACEBCD可证得ACNBCM，得出CM=CN；BCM=ACN，进一步得出=60°，可证得结论；由ACEBCD可证得DCFECG，得CF=CG，可进一步得出CGF=CFG=DCE，结论得证【解答】（1）证明：等边三角形ABC和等边三角形CDE，AC=BC；CD=CE，ACE=DCEACD=60°ACD=ACBACD=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD，BD=AE，（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：BC=AC；CD=CE，ACE=ACD+DCE=ACD+60°=ACD+ACB=BCD，在A

29、CE和BCD中，ACEBCD，BD=AE，（3）ACEBCD，CBM=CAN；AE=BD，M是BD中点，N是AE中点，BM=AN，又BC=AC，ACNBCM，CM=CN；BCM=ACN，MCN=ACM+ACN=ACM+BCM=ACB=60°，=60°，CMN是等边三角形，ACEBCD，CDF=CEG，ACB=DCE=60°，DCF=60°=ECG，又CD=CE，DCFECG，CF=CG，CGF=CFG=60°=DCE，FGBC【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用，解题的关键是能利用等边三角形的性质得到相等的线段和相

30、等的角，从而证得三角形全等，进一步证得结论18如图所示，已知正方形OPNM正方形ABCD，AC与BD交于点O，正方形OPNM绕O点旋转，OM交AB于E，OP交BC于F，如果正方形的边长为3，求四边形OEBF的面积【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据正方形的性质，易证得AOEBOF，从而可知S四边形OEBF=SAOB= S正方形ABCD【解答】解：AOE+BOE=90°，MOP=90°，BOF=AOE，在OAE和OBF中，AOEBOF，SAOE=SBOFSAOE+SOBE=SBOF+SOBE，即SAOB=S四边形OEBF，=，【

31、点评】求解时需抓住正方形的特征，找出AOE与BOF在旋转过程中的对称性，获得四边形OEBF的面积与正方形面积的关系，关键是将四边形OEBF的面积转化为OAB的面积考点卡片1平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离（2）平行线间的距离处处相等2全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等说明：全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 全等三角形的周长相等，面积相等 平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据

32、，应用时要会找对应角和对应边要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角3全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS三条边分别对应相等的两个三角形全等（2）判定定理2：SAS两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（3）判定定理3：ASA两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（4）判定定理4：AAS两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（5）判定定理5：HL斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知

33、条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边4全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形5角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图

34、中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，C在AOB的平分线上，CDOA，CEOBCD=CE6等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等【简称：等边对等角】说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法等腰三角形的判定和性质互逆；在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；判定定理在同一个三角形中才能适用7等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决8等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的（2