【瞄准高考】考前半月一天两突破冲刺精讲第2讲函数、图象及性质

1、第2讲函数、图象及性质 1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一2. 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列的综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数3. 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题1. 已知函数f(x)则f_答案：2解析：ftan1，ff(1)2.2. 函数f(x)的定义域为_答案：(，1)(1，0)解析：x0，x1.3. 已知实数m0，函数f(x)若f(2m)f(2m)，则实数m的值为_. 答案：

2、和8解析：当m>0时，由f(2m)f(2m)得m8；当m<0时，由f(2m)f(2m)得m.4. 设函数f(x)x22x，g(x)mx2，对x11，2，x01，2，使g(x1)f(x0)，则实数m的取值范围是_答案：解析：x1，2时，f(x)1，3m>0时，x1，2时，g(x)2m，22m；m0时，g(x)2，x01，2，f(x)1，3；m0，x1，2时，g(x)22m，2mm0时，2m，22m1，3；m0，22m，2m1，3，得0m或1m<0，故实数m的取值范围是.题型一 函数解析式及方程区间根问题例1 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5

3、) ，且f(x)在区间1，4上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解： (1) f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是(0，5), 可设f(x)ax(x5)(a0) f(x)在区间1，4上的最大值是f(1)6a.由已知得6a12, a2, f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2) 方程f(x)0等价于方程2x310x2370.设h(x)2x310x237，则h(x)6x220x2x(3x10)当x时，h(x)0，h(x)是减函数；当x时，h(x)0，h(x

4、)是增函数 h(3)10，h0，h(4)50， 方程h(x)0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0，3)，(4，)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m3，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不同的实数根已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)1，f(x)在(0，)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x的方程f(x)c0(cR)根的个数解：(1) 由题意，当x>0时，设f(x)a(x1)(x3)(a0)， f(2)1， a1， f(x)x24x3.当x<

5、;0时，x>0， f(x)为R上的奇函数， f(x)f(x)， f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，即x<0时，f(x)x24x3.当x0时，由f(x)f(x)得f(0)0， f(x)(2) 作出f(x)的图象(如图所示)，由f(x)c0得：cf(x)，在图中作yc，根据交点讨论方程的根：当c3或c3时，方程有1个根；当1<c<3或3<c<1时，方程有2个根；当c1或c1时，方程有3个根；当0<c<1或1<c<0时，方程有4个根；当c0时，方程有5个根. 题型二 函数性质及应用问题例2 已知函数f(x)x2(x0，常数aR)

6、(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围解： (1) 当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x), f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x±1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0， f(1)f(1)，f(1)f(1)， 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2) (解法1)设2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立 x1x20，x1x24，即ax1x2(x1x2)

7、恒成立，又x1x24, x1x2(x1x2)16. a的取值范围是(，16(解法2)当a0时，f(x)x2，显然在2，)上为增函数当a0时，反比例函数在2，)上为增函数， f(x)x2在2，)上为增函数当a0时，同解法1. (解法3)f(x)2x0对x2，)恒成立 a2x3而y2x3在2，)上单调递增，最小值为16， a16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题已知函数f(x)x|xa|(xR) (1) 判断f(x)的奇偶性，并证明； (2) 求实数a的取值范围，使函数g(x)f(x)2x1在R上恒为增函数解：(1) 当a0时，f(x)x|x|，定义域为R，又f(x)(

8、x)|x|x|x|f(x)， f(x)是奇函数. 当a0时，f(a)0，f(a)a|2a|， f(a)±f(a)， f(x)是非奇非偶函数 当a0时，f(x)为奇函数；当a0时，f(x)为非奇非偶函数(2) g(x)x|xa|2x1在R上恒为增函数， yx2(2a)x1在a，)上是增函数，且yx2(2a)x1在(，a上是增函数， 2a2.题型三 含字母的函数最值讨论问题例3 设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1) 讨论f(x)的奇偶性；(2) 求f(x)的最小值解：(1) 当a0时，函数f(x)(x)2|x|1f(x)，此时f(x)为偶函数当a0时，f(a)a21，f(

9、a)a22|a|1，f(a)f(a)，f(a)f(a)此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2) 当xa时，函数f(x)x2xa1a.若a，则函数f(x)在(，a)上单调递减，从而，函数f(x)在(，a)上的最小值为f(a)a21.若a，则函数f(x)在(，a上的最小值为fa，且ff(a) 当xa时，函数f(x)x2xa1a.若a，则函数f(x)在a，)上的最小值为fa，且ff(a)若a，则函数f(x)在a，)上单调递增，从而，函数f(x)在a，)上的最小值为f(a)a21.综上，当a时，函数f(x)的最小值是a；当a时，函数f(x)的最小值是a21；当a时，函数f(x)的最小值是a.点

10、评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助因为xR，f(0)|a|10，由此排除f(x)是奇函数的可能性运用偶函数的定义分析可知，当a0时，f(x)是偶函数，第(2)题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想 已知函数f(x)x|x2|.设a0，求f(x)在0，a上的最大值解： f(x)x|x2| f(x)的单调递增区间是(，1和2，); 单调递减区间是1，2 当0a1时，f(x)是0，a上的增函数，此时f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(2a)； 当1a2时，f(x)在0，1上是增函数，在1，a上是减函数，此时f(x)在0，a上的最大值是f(1

11、)1； 当a2时，令f(a)f(1)a(a2)1a22a10, 解得a1.若2a1，则f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(1)1；若a1，则f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(a2)综上，当0a1时，f(x)在0，a上的最大值是a(2a)；当1a1时，f(x)在0，a上的最大值是1；当a1时，f(x)在0，a上的最大值是a(a2)题型四 函数综合问题例4 定义函数(x)f(x)x22x(x2a)·(x2a)(1) 解关于a的不等式f(1)f(0)；(2) 已知函数f(x)在x0，1上的最小值为f(1)，求正实数a的取值范围解：(1) f(1)f(0

12、)即12(1a)·(1a)0.当a1时，(1a)1， 12(1a)0，a.当a1时，(1a)1， 12(1a)0，a.综上，a或a.(2) 当x1时，f(x)f(1)由题意，x0，1)，f(x)f(1)恒成立. a>1时，由f(x)f(1)，得x22x(x2a)32a，即2a(x1)2x3x23. x0，1)，式即2a，即2a2x23x3，上式对一切x0，1)恒成立， 2a233，即a4. 0a1时，由f(x)f(1)，得x22x(x2a)·(x2a)2a1.() 当x1时，x22x(x2a)2a1，即2a(x1)2x3x21. x0，1)，式即2a，即2a2x2x1

13、，上式对一切x0，1)恒成立， 2a2a1.此式恒成立() 当0x时，x22x(x2a)2a1，即2a(x1)2x3x21. x0，1)，式即2a，即2a2x2x1.当，即0a时，2a2()21， a1.结合条件得0a.当(0a1)，即a1时，2a1， a.结合条件得a.故0a.由、，得0a或a4.已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1，4，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2) 求函数M(x)的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1，4，不等式恒成立，求实数k的取值范围解：令tlog2x，(1) h(x)(42log2x)&#

14、183;log2x2(t1)22. x1，4， t0，2， h(x)的值域为0，2(2) f(x)g(x)3(1log2x)，当0x2时，f(x)g(x)；当x2时，f(x)g(x)， M(x)即M(x)当0x2时，M(x)最大值为1；当x2时，M(x)1.综上，当x2时，M(x)取到最大值为1.(3) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)k·log2x. x1，4， t0，2， (34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立 当t0时，kR； t(0，2时，k恒成立，即k4t15. 4t12，当且仅当4t，即t时取等号 4t15的最小值为3.综上，k3.1

15、. (2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_答案：解析：1x0时，0x11，f(x)f(x1).2. (2013·北京卷)函数f(x)的值域为_答案：(，2)解析：函数f(x)在(，1)上单调增，f(x)(0，2)；在1，)上单调减，f(x)(，0，故函数值域为(，2)3. (2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x>0时，f(x)x24x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_答案：(5，0)(5，)解析：x>0时，f(x)x24x，f(x)&g

16、t;x即为x25x>0，所以x>5；f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)x24x，f(x)>x即为x25x<0，5<x<0.综上，不等式的解集为(5，0)(5，)4. (2014·上海卷)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_答案：0，2解析：由于当x>0时，f(x)xa在x1时取得最小值2a，由题意当x0时，f(x)(xa)2应该是递减的，则a0，此时最小值为f(0)a2.因此a2a2，解得0a2.5. (2013·上海卷)已知真命题：“函数yf(x)的图象关于点P(a、 b)成中心对称图形”的

17、充要条件为“函数yf(xa)b 是奇函数”(1) 将函数g(x)x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标；(2) 求函数h(x)log2 图象对称中心的坐标；(3) 已知命题：“函数yf(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数yf(xa)b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明)解：(1) 平移后图象对应的函数解析式为y(x1)33(x1)22，整理得yx33x，由于函数

18、yx33x是奇函数，由题设真命题知，函数g(x)图象对称中心的坐标是(1，2)(2) 设h(x)log2的对称中心为P(a，b)，由题设知函数h(xa)b是奇函数设f(x)h(xa)b，则f(x)log2b，即f(x)log2b.由不等式>0的解集关于原点对称，得a2.此时f(x)log2b，x(2，2)任取x(2，2)，由f(x)f(x)0，得b1，所以函数h(x)log2图象对称中心的坐标是(2，1). (3) 此命题是假命题举反例说明：函数f(x)x的图象关于直线yx成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数yf(xa)b，即yxab总不是偶函数修改后的真命题：“函数yf(x)的图象

19、关于直线xa成轴对称图象”的充要条件是“函数yf(xa)是偶函数”. 6. (2013·安徽卷)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，区间Ix|f(x)>0(1) 求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2) 给定常数k(0，1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：(1) 令f(x)xa(1a2)x0，解得x10，x2， I， I的长度x2x1.(2) k(0，1)，则0<1ka1k<2，由(1)知I，I>0，则0<a<1，故I关于a在(1k，1)上单调递增，在(1，1k)上单调递减 I的最小值必定在a1k或a1k处取得I1，I

20、2，<1，Imin.(本题模拟高考评分标准，满分15分)(2013·扬州一模)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：m.(1) 求助跑道所在的抛物线方程；(2) 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动

21、员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)解：(1) 设助跑道所在的抛物线方程为f(x)a0x2b0xc0，依题意，(3分)解得a01，b04，c04， 助跑道所在的抛物线方程为f(x)x24x4.(7分)(2) 设飞行轨迹所在抛物线为g(x)ax2bxc(a0)，依题意得解得(9分) g(x)ax2(26a)x9a5a1.令g(x)1得， a0， xE3.(11分)当x时，g(x)有最大值为1，则运动员的飞行距离d33，(13分)飞行过程中距离平台最大高度h11，依