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文档简介
1、2017年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷(理科) 2017.1一、 选择题:本大题共12小题,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合,则( )AB CD2设为虚数单位,复数,则的共轭复数在复平面中对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3如图,函数)的图象过点,则的图象的一个对称中心是()A B C D4设命题若定义域为的函数不是偶函数,则,. 命题在上是减函数,在上是增函数.则下列判断错误的是( )A为假 B为真 C为真 D为假 5我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各
2、重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,在首端截下尺,重斤;在末端截下尺,重斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细的重量是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )A斤 B 斤 C斤 D 斤6. 已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为( )A B C D7. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则输入的为()A B C D8. 一个几何体的三视图如图所示,其表面积为,则该几何体的体积为()A B C D 9学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安
3、排方法共有()A种 B种 C种 D种10过球表面上一点引三条长度相等的弦、,且两两夹角都为,若球半径为,则弦的长度为( )A B C D11过双曲线的右焦点作圆的切线,切点为,延长交抛物线于点,其中为坐标原点,若,则双曲线的离心率为( )ABCD12已知,又,若满足的有四个,则的取值范围是( )AB C D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图, 则估计此工厂工人生产能力的平均值为 14已知,则二项式展开式中的常数项是 15若圆关于直线对称,动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动,则的取值范围是 16已知数列是各项均不为零的等差数列,为其
4、前项和,且()若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 三、解答题:本大题共70分,解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知函数()求函数的最小正周期、最大值及取得最大值时的集合;()设内角的对边分别为,若,且,求角和角 18(本小题满分12分)调查表明:甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为,并对它们进行量化:表示不合格,表示临界合格,表示合格,再用综合指标的值评定这种农作物的长势等级,若,则长势为一级;若,则长势为二级;若,则长势为三级,为了了解目前这种农作物长势情况,研究人员随机抽取块种植地,得到如下表
5、中结果:种植地编号A1A2A3A4A5(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,0,1)(1,2,1)种植地编号A6A7A8A9A10(1,1,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,2,1)(1,1,1)()在这块该农作物的种植地中任取两块地,求这两块地的空气湿度的指标相同的概率;()从长势等级是一级的种植地中任取一块地,其综合指标为,从长势等级不是一级的种植地中任取一块地,其综合指标为,记随机变量,求的分布列及其数学期望 19(本小题满分12分)如图,在边长为的正方形中, 分别为的中点,沿将矩形折起使得,如图所示,点在上,分别为中点()求证:平面;()求二面角 的余
6、弦值 20(本小题满分12分)设,向量分别为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,且()求点的轨迹的方程;()设椭圆,为曲线上一点,过点作曲线的切线交椭圆于、两点,试证:的面积为定值21(本小题满分12分)已知函数 ()求函数在点处的切线方程;()令,若函数在内有极值,求实数的取值范围;()在()的条件下,对任意,求证: 请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线()写出曲线、的普通方程;()过曲线的左焦点且倾斜角
7、为的直线l交曲线于两点,求23(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数,()若,解不等式;()若对任意,都有,使得成立,求实数的取值范围绝密启用前 试卷类型:A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(理科)参考答案及评分标准一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案A DBCABCDCADB提示:1A 解:依题意得,2D 解:,共轭复数为,对应点为,在第四象限故选D 3B 解:由函数图象可知:A = 2,由于图象过点(0,),可得: ,即,由于|,解得:=,即有:f(x)=2sin(2x+ )由2 x + =k,kZ可解得:x
8、=,kZ,故f(x)的图象的对称中心是:(,0),kZ,当k=0时,f(x)的图象的对称中心是:(,0)4. C 解:函数不是偶函数, 仍然可, p为假; 在上都是增函数, q为假; 以 pq为假,选C 5. A 解:每段重量构成等差数列,6. B 解:是的偶函数,在上是减函数,所以在上是增函数,所以或或. 答案B. 7. C 解:执行程序框图,第1次运算有n=1,S= ; 第2次运算有n=2,S= , 第5次运算有n=5,S= , 故输入的a为5 8D 解:该几何体是一个圆锥、一个圆柱、一个半球的组合体,其表面积为:, 该几何体的体积为 9. C 解:由于每科一节课,每节至少有一科
9、,必有两科在同一节,先从4科中任选2科看作一个整体,然后做3个元素的全排列,共种方法,再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共种方法,故总的方法种数为-=36-6=30 10. A 解:由条件可知A-BCD是正四面体,法1:如图7:A、B、C、D为球上四点,则球心O在正四面体中心,设AB=a,则过点B、C、D的截面圆半径,正四面体A-BCD的高,则截面与球心的距离,所以,解得 法2:如图8:把正四面体A-BCD放置于正方体 中,则正方体边长x与正四面体棱长满足,又正方体外接球半径R满足: ,可解得:11. D 解:如图9,M是的中点.设抛物线的焦点为F1,则F1为(- c,0),也是双曲线的
10、焦点.连接PF1,OM.O、M分别是和的中点,OM为PF2F1的中位线.OM=a,|PF1|=2 a.OM,PF1,于是可得|=,设P(x,y),则 c -x =2a,于是有x=c-2a, y2=4c(c 2 a),过点作x轴的垂线,点P到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y2+4a2=4b2, 即4c(c-2a)+4 a 2=4(c2- a 2),变形可得c2-a2=ac,两边同除以a2 有 , 所以 ,负值已经舍去. 故选D .12B 解:令,则,由,得,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增. 作出图象,利用图象变换得图象(如图10),令,则关于方程两根分别在时(如图11),满足的有4
11、个,由解得 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 13133.8 14. 240 15. 16. 提示:13. 解:由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)´10=1,解得x =0.024.估计工人生产能力的平均数为: 115´0.008´10+125´0.020´10+135´0.048´10+145´0.024´10=133.8 . 14解:=, 则二项式展开式的通项公式为,令,求得,所以二项式展开式中的常数项是×24=24015圆关于直线对称,所以圆心
12、在直在线上, 表示的平面区域如图表示区域OAB内点P与点Q(1,2)连线的斜率. 所以答案: 16. 解:, ,()当n为奇数时, 是关于n()的增函数.所以n=1时最小值为,这时 ()当n为偶数时, 恒成立,n为偶数时,是增函数,当n=2时,最小值为,这时 综上()、 ()实数的取值范围是. 三、解答题(本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 解:() 1分 2分函数f(x)的最小正周期为 3分当,即时,f(x)取最大值为, 4分这时x的集合为 5分() 6分 7分 8分 9分 10分 11分 12分【点
13、评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦定理,正弦函数的单调性,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键18. 解:()由表可知:空气湿度指标为1的有A2, A4,A5,A7, A9,A10 1分空气湿度指标为2的有A1,A3,A6,A8, 2分在这10块种植地中任取两块地,基本事件总数n= 3分这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数 5分这两地的空气温度的指标z相同的概率 6分()由题意得10块种植地的综合指标如下表:编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标4461443543其中长势等级是一级(4)有A1 , A2,A3,A5, A6,A8
14、, A9,共7个,长势等级不是一级(4)的有A4, A7, A10,共3个, 7分随机变量X=A-B的所有可能取值为1, 2,3,4, 5, 8分w=4的有A1 , A2,A5, A6,A9共5块地,w=3的有A7, A10共2块地,这时有X=43=1 所以, 9分同理 , , 10分X的分布列为:X12345P 11分 12分19()证明:法一如图13取OG中点F,连结BF、FN,则中位线FNOE且FNOE,又BMOE且BMOE 1分所以FN BM且FN BM,所以四边形BFNM是平行四边形,所以MNBF, 2分又MN平面OBC,BF平面OBC,所以MN平面OBC. 4分法二:如图14,延长
15、EM、OB交于点Q,连结GQ, 因为BMOE且BM OE,所以,M为EQ中点, 1分所以中位线MNQG 2分又MN平面OBC,QG面OBC,所以MN平面OBC. 4分()解:法一如图14,因为OB=OC=, ,所以, 5分又所以, 6分又 平面OBC,OG面OBC 7分又,所以平面OBE,QE面OBE QE 8分又M为EQ中点,所以OQ=OE ,所以 ,所以平面OMG, ,为二面角的平面角. 9分所以中, 11分, 二面角 的余弦值为 12分法二:如图15, OB=OC=, , 5分又, 6分又 平面OBC, 7分又,所以平面OBE, 8分建立如图所示的空间直角坐
16、标系,则M(,G( ,E(, 9分而 是平面BOE的一个法向量 11分设平面MGE的法向量为 则,令 ,则面MGE的一个法向量为, 10分所以所以,二面角 的余弦值为 12分20 ()解: , ,且 点M(x,y)到两个定点F1(,0),F2(,0)的距离之和为42分 点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆,设所求椭圆的标准方程为 , 3分其方程为 4分()证明:设,将代入椭圆的方程,消去可得显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内,:,. 5分所以 6分因为直线与轴交点的坐标为,所以的面积 7分 8分设 将代入椭圆的方程,可得 10分由,可得 即, 11分又因为,故为定值. 12分21.()解:. 1分 2分函数在点处的切线方程为:,即 3分()解:定义域为 4分则 5分联立可得: 6分()证明:()知, 7分 8分又 10分 11分 12分请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. 解: () 1分即曲线的普通方程为 2分 曲线的方程可化为 3分即. 4分()曲线左焦点为(,0) 5分直线的倾斜角为, 6分所以直线的参数方程为: 7分将其代入
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