数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--8章

1、课后答絮网，用心为你服务!课后答案网flhdnw.com *人中7:汽发七研行戈巧试泠龙於伞似衫的改后4«衫不答龙.以在改c答絮w (曙) !klidawlfl队i*农水刚心为人京服务的京行，以又注7生的*7习生活为出发点.柃江为厂人7:生肋友的n上卞4捉供个分华和交流的t台.第八章反常积分习题8. 1反常积分的概念和计算1.物理学中称电场力将中位ie电荷从电场中采点移至无分远处所份产生的电场对距必r处的单位正屯侃的电场力力阁 8. 1.4做的功为电场4:该点处的电位。个带电的点电f:k (为常数)，求趴电场中心a处的电位。 r1解 u = jk$dr=今。'、'2.

2、证明：77 f f(x)dx和f* g(x)dx收敛，、和k:为常数， 则+也收敛，且f +f(x)dx + k2°g(x)dx。证iini ia fjx 9 d心=|m r 汾)办，则zi>4<oa>4<»ca»/w+*2<v/v= ,ll，n l'al/w + *2(v)kv=kl lim j'a f(.x)clx + a: hm f a(.r)t/r = af(x)dx + k2(x)dx。3. 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是种计算结果）:r4®1 i,(4； j。(.r2+f)(x: + p)

3、aa > 0,6 > 0)；(5； f .veai： dx (aer，; jo(9:解(1) j广 e-2、smwr2 a j cos 5a =-cos5ay/.v-2x27112 r-wo j . .1= 5-jo e ' dsix = -所以je-24 siu 5xdx =去。cos 2xdxey'dsin 2.x =sin 2xdx=cos 2xdx 9a a jo所以j:<acos2.u/.v= a(3)广_!x2 + x+1dx =广 dx = 4 广一 ww "'+00(4)袱八.。(久2 +fp)(r2 +b:) x= 吋，此结

4、果等于在时的结果中以* = a代入后的结果。（5当«>olbj-积分发散；当<0时，令义=(an / ,则（6）当01时积分发散：当p>1时，(7)(8)令/=/，则nt cos/j/ = 2 otdt1(1 + r2)22(1+ /2)=r利用第六章第3节3题1（10）的结果= tln+t_an_+ ”+tarctail(viv-1) + c>即uj得到对等綱任-积分（例如第二个积分）作变跳 +则所以4. 计算下列无界函数的反常积分(发散也是，种计算结果):(b (2：!:(3： '(4)j*(5:匕去au+dr;i；i-dx x>l - 11

5、12 x(2-x)vl-x c，x ；(2) dx = r _=d(inx) = aicsiu(lu.v) ； = y o(3)=2j；(i+/2)j/=-o(4):=2f；a=-0(2-x)vttr jol + f2 2(5)；±±=41>±</(±)=1(003±，由f雅不存在所以积分发敗:酬积分sin人d.也发敌o(6)令vrni?x = /丙利用卜.而习题3 (9)，得到ft 1 j +® 山7 fo 177 = v25. 求极限1m)oinn in zj-x©-= lun= fhnxdr = -1, n

6、n a.i n所以hn=ln c6. 汁算k列反常积分:(ijjlllcos.vizv ;(2jhism.w£v o(3* xcot xdx ；(4r laicsin.r(5解(1)令.r = -g pj利用例 8.1.11,ineosxzr = in sin tdt =-亏in 2。得到(2)令.n-g 巾xlnsinxdx = insjnzrfr- rlnsmtdt,得到j* xln sin xdx = - j in sin xdx = jtln sin xdx =ln2o(3) |jxcot.vdv = f0 <vjlnsin.v(4)令 t = 3icsinx y fy

7、 到.v2ilu2°27l(5)u_ - rfv = j)na</:ucsnix= (in .raresin v) f, - jvl-x2,x -r -w 1 + a .(cpv)llt(3： (cp<7lbjv°7.求卜*列反常积分的cauchv主值：(2; (cpv)/rfv; x z解 (cpv)f7a-dx = hi» arcrail r + ln(l +o(2) (cpv)f:dr hnh(ln|.v-邮+” + (ln|.v- 2|)|广=in2 (3) (cpv)f"2 = jiin(ln|lii4|j+7 + (ln|hi.v

8、|)| = 0。8. 说明一个无界函数的反常积分可以化为无匁区间的反常积分。 证 设f>(.xxv是一个无界函数反常积分，x = b是的唯一奇点(即/在;r = 的左领域无界。令r = |,贝ijb-xf>(,oj.r = 0- a) j 厂 fb -.等式右端就足一个尤穷区问的反常积分。9. (1)以f(x)dx为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加 性；(2)举例说明，对于反常积分不冉成立乘积可积性。解(1)保序性：设 jf(x)dx与 f g(xxr 收敛，j丄在a,+) l&yl f(x) > g(x) 则 f(x)dxfi(x)dxi证明：由定积分的保序

9、性，吋知f再令。区间可加性:设fvu冲收敛，则对任意rela，叫，f(x)dx收敛，且j7 f(x)dx = : /(袖 + j7，(枇- 证明：由定积分的区间可加性，of jill £' f(x)dx = £ /(xxr + 'f(x)dx,再 令 a ->。(2设/= ，则f7w也与广)dx收敛，但f?也10. 证明当。>0时，只要卜'式两边的反常积分有息义，就灯r 恰將证n=口274对上式右端两积分中任意-个（例如第二个）作变量代换则 /、i,ifln xatainx-liia. inr-inn.3 x:« -> +

10、co uj f t :a -0 ; 11一+ =+ ， ax =at，axatxt于是山口-以醐11. 设收敛，> lull f(x) = a。证明 a = 0o证 用反证法。不妨设a >0 ,则对= 1/4 > 0 , 3x >a , vx> x : f(x)-a<at 从rfo/w>|a。由j:f(x)d.x = j: f(x)dx + f(x)d.x > j: /(x)dx + 去a(b - x)， 可知lim f(x)</a = +<o,与广/(耻收敛发生矛盾。同理也可证明不可能有4<0,所以a = 0。12. 设/ka

11、，+co)上nj1异，h f fdx与f fx)dx都收敛，证明 lun f(x) = 0 o证d=w= bm 炯 - /，uja.w-k»山广/vmv的收敛性，可知lim/co存在且有限，树利用第11题的结 论，得到lim f (.v) = 0 o习题8.2反常积分的收敛判别法i. （i）证明比较判别法（定理8.2.2）；（2）举例说明，当比较判別法的极限形式中/ = 0或+ 吋， 和的敛敗性可以产生界种不同的的怡况。解（1）定理8. 2. 2（比较判别法）设在«，+叫上恒有os/m炉，其中at是正常数。则当f卿咏收敛时f/u）心也收敛;应用反常积分的cauchy收敛原理

12、，va.a* > ao： f : fp（x）dx < y o当心发散吋<p（x）dx也发散。 证当if <p（x）d.x收敛时，vf>0 ,彐>a，k（px）dx < ，于是1； a所以rf（x）dx也收敛：应用反常枳分的clichy收敛吩理， ，j7（.v）t > ke o当y也发敗时， 彐 r0 > 0， va0 >a于是f.j m|f.4a，所以也发散。（2 ）没在【“，+ co） h有/之0,免之0 , 11 li】n - = 0。则当f（x）dx <->柚（px）发敗时，广咐）rfr也发敗：但当f（x）dx收敛时

13、，f咖冲p!能收敛，也可能发散。例如 f(x)=人，(p(x) = -(0 < /? < 2).则 111)丄以=0。4a然有 广xpr-*4*0(p(x)cf)dx收敛，而对于fw<rxr,则当1<p<2时收敛，当0<01时 发散。设在a, +的)上有/> 0,炉之0，且lini - = +oo 则当 卜>相)(p(x)f7办收敛时，也收敛：但当j7/u)j.r发散时，j；v.v)rfr 可能发散，也可能收敛。例如 /(-v)=，(p(x) = (p>l)9 则 lini = +co。显然有vixp 2<p(x)cf(x)dx发散，

14、而对于(p(x)dx.则当1<p<1时发散，当p>1时收 敛。2. 证明cauchy判别法及其极限形式(定理8. 2. 3)。证 定理8. 2. 3(cauchy判别法)设在a，+«) c (0，+<o)上恒有/之0, at是正常数。f(x) ,且 p>,则 f(x)dx 收敛；(2) ?f f(x) >» ii. p < 1 .则 f /dv 发散。推论(cauchy判别法的极限形式)设在a，+co) c (0，+w)上恒有 /(x) > 0,且inn x,jf(x) = /， i->4®则(|)其0<

15、/<+的，hp>!，则收敛:jo279若 0 < / <+co , fl p < 1 ,则 i f (x)dx 发散。证 直接应用定理8.2.2 (比较判別法)及其推论(比较判別法的极 限形式)，将函数例力取为3. w论卜列非负呐数反常积分的敛散性:,arctaax .(1:广戶;(2: * r,(3： i。l + x|smx|；(4：(尸 w).解 (1)当x->+«时，所以积分厂?(2 )当 4 +c0 时，a_ix l + x3 2所以积分收敛。(3) |a|jx>0时有而积分广什发散，鵬分177发敗。(4)当h+co 时,280所以在

16、时，积分收敛，在其余诂况下积分发散。j| 1+.口4. 证明：对非负函数/，(cpv)收敛与心收敛是等价的。证 显然，lho(x)jx收敛可推出(cpv)/u吣收敛，现证明当 /0时可由(cpv)匚几r)jr收敛推出收敛。由于(cpv) zf(x)dx收敛，可知极限 lini f(a) = inn f(x)dx存在而且脊限，由cauchy收敛原现，xzso， 3/ >0, vaa*>a0： |尸(4)一尸(>t)|<f, 于是va41a。与成立这说明积分f(x)dx与匕fmdx都收敛，所以积分2fmdx收敛。5. i4论卜列反常积分的敛散性(包拈绝对收敛、条件收敛和发散

17、，卜同):(4-111 lux .rsinxz 1>+ k(l h siuxdx;(2/ i dx ( /?e r );-lnx11/a、fsuixaiccaux .(+、/4、,(3, dx ( per ) ;(4, i。sin(xjjx；rtauvdv(_和伽分别是次多项式%(x)在.ya，+oo)范 ih 无零点。)解(1)1 人i为 f(4) = psniw.rtf界，在2,叫单调，ii= 0, lux»+« lux28l山dinchlet判別法，积分发散，j-|cos2a收敛，所以积分发 散，即积分rnxdx条件收敛。(2)当p>1吋，与而广4必收敛，

18、所以当p>1时积分 x x. 1crf.r绝对收敛；i 40 < p 1 时，|大| 为 f(a) = fsni.tt/.r 心界，在1,+的)中-调，il x= 0，巾dinclilet判别法，积分收敛:仴w为3 0<p<l a吋积分发敗，所以当0<1时积分条件收敛。(3)当p>i时，|au顧auiu丄,ifijr-jljx收敛，所以当p>i时 xp2xp h xp积分psm.taictan.r绝对收敛；当0<01吋，w为f on.r也科界，在口,+叫中.调，il akmi arctanx = 0 山dmchlet判別法，积分广亂咖咖、收敛；但

19、因 r->4« xpuxp 力当0</,<1时积分j-£e|au.钟发散，所以当0<01时积分rsin yaictail vd'条件收敛。(4)令'x2, )75111(?)=巾于了等dt条件收敛，可知 积分f_2)办条件收敛。（5）+ 充分大时，iasiiia <a-, nj 知+ i 吋积分绝对收敛。ju l当« = w + 1时，因f（a） = sinxdx有界，且当.r充分大时，1<7n（v）单调且iim £= 0 ,由dinclilet判別法uj知厂收敛；但 7h (x)ja qn(x)+1时

20、，条件收敛。当"<，w+l 吋，由 i1ju-m2=4,卜心a力非岑常数、积分r雒发散。6-设/u）在 w只有一个奇点x = b.证明定理8.2.3和定理8. 2. 5r。定理8.2.3。（cauchy判别法）设在a，fr）上怛有f（x）2 0,若当x诚 于b的某个左邻域fr-n。，*）时，存在正常数k，使得(1) f、x) 且尸 <1，则"f(x)dx 收敛;（2） /（x） > xy 3 up 之】，则 （x）dx 发散。证（”当p<1时积分什收敛由反常积分的收284vr >0 . 35 >0 , v(0，v):山于<名，所以f

21、>心收敛。(b - v)(2)当pi时，积分f；_1jx发散，由反常积分的cmichy收敛原现，>0，dx >oa-7'_a_推论(cauchy判别法的极限形式)设在a，幻上恒有f(x) > 0,且由于-dx > r0，所以b f(x)dx 发敗。hin(fe-a)r/(x) = /,(1) ?f 0 < / < +co , 11, p < 1，则 j /(at)dv 收敛；(2) tr0<l <+cd ,且尸之 1，则f /(xxr 发散。证(1)巾 hm(z>-a/u) = /(p<l,0</<+&

22、#171;),可知彐<5 >0， v.r e (fe j，fr)再应用定理8. 2. 3,的(do(2 )由 hin(b- x)p f(x) = i ( /? > 1, 0 < / <+co )» 可知3j >0 » vxe 0-: /(.r) >，2(h-x)p再应用定理8. 2. 3,的(2h定理8. 2. 5若卜列w个条件之一满足，则j>(x)x(.v)ja收敛:（abel判别法）收敛，g（x）在la，b）上碜凋介界：（2） （dirichlet判别法）厂（切=（v心在（0力-«上有界，g（x）在a，上单调且

23、lim g(x) = 0。证(1)设| g|g，i天1为lf(x)dx收敛，由cauchy收敛原理，vf >0 » 彐 <5>0，v/4,4* g (b-: lfa f(x)dx < - ra2g巾积分第二屮值定押，|£' /(-t)g(x)j.r| 伞(a)(>|j:/w十|以a)| |£l f、x)dx叫以峙c|f/几叫(2) f(r)<m ,于是va4'ea，b),有|j f(x)(lx < 2m。因为inn p(x) = 0, vf >0, 3j >0 > vx(h-«y

24、,b) > 有|茗u)|<。由积分第 4m二中值定理，|j: /(x)g(x)<& 伞(4)|忙/(.”列 xm')|: f(x)dx <2af|g(4)|+2|(a )|<£= o所以无论哪个判别法条件满足，iii cauchv收敛原理，都冇 p/(v)(v)j.r收敛的结论。7. w论卜*列非负函数反常积分的敛散性：v-v2(l-v)dx ；(3： p!dx° cos2 a sm2 x (5: jjln.rp j.v;(4)（6）；2s285(7： xp-x)kixdx.解(l)所以遞.卜>0+ x2充分小吋，有固为禮

25、=去，且对任意0<“1 n=o,即当x>o<去，所以积分收敛。(3)因为一4-u- 0*)» 一(v->cos* xsnr xcos* xsin* xx2 丄所以积分c 广，也发散。° cos- a snr x 因为(.(，所以当p<3时积分 xp 2xp-2，0敛，当吋积分fjlz££j.v发散。x ,(5) 先对任意的0 <5 <1 与任怠的 p，yt hmau" | ln.v|r= 0 ,即'ido r->0+充分小吋，有且k所以当 (hl-)，所积分t |lnxpd.v收敛，当p&

26、lt;-l时，积分l hxrdx发敗。(6) -1(1-x)<h一j(x40+，f(i-x)以在p>0,7>0时积分收敛，在余估况卜积分发散。(7) _ (x 1-),且luux _y (xl - x) i hi a i) = 0,即当 jt>0 充分小时，有x(l - x)l|ln x|<，所以当 p>o，q>-i 时积分以，1"-又广1 |lux| dx x，_2收敛，在其余怡况卜积分c产l-.r广：|1叫办发散。2w8. 论k列反常积分的敛散性:(1":(/，);r -hd1(2/，0 jx(x-y(x-2)(3： rln(i

27、+x,jx； joxp广arctanj办 jo(5： ，22-dx-, xe"dx;(7：广；(8)r 1 dx. j2 xx、 rl .v 厂1-.vd ,el.d.x：lu .rin xln v 0 inx1 rp-l1当p>0,时积分与积分办显然收敛，且当x->1-时，广1 -产1 |(1 + (.卜 1)广1 -1|-1(1 +(x - 1)广1 - lj (p - q)(x - 1)”ln(l + (x-l)-= - :、-=pa收敛。产1 -也+ k !dxnx(2) rfr= f f x(x -1)2 (义-2)ijx(x -1)2 (x - 2), dxo

28、 lx(x-y(x-2)因为凌-77=(x -> 0+),/x(x-1)2(x-2)75 jd,r (太-* 1-)，w-o'u-2)(卜 1)y所以积分u_l厶收敛，jov.v(x-l)2(.t-2)闪为t1(v -】+),(卜 y1 1v v(r - (x -所以积分p 1 dx收敛: ljx(x-l)2(x- 2)|人|为_p_l_ +w),所以积分= w-l)-(.v-2)收敛。291巾此可知积分收敛'(3) rln(1+ ')也=hi(1+r/x+ rln(1+ y/a。 jojo xph xp可知当p<2吋，积分收敛， xpu xr当戸2时，积分

29、发敗;当p>i时，=0.即当*>0充分人时，有其中a>1,可知当时，积分收x 乙 x 敛，当时，积分发散:(4)综上所述，当1<p<2时，积分收敛，在其余怡况卜_ 积分发敗。marctaiix， xp-(x->0+)m知3p<2时积分fn11、收敛: a1th* - j1 arc tauxdx ¥ j*0310 tauxdx o由arctanxl以+川，可知当p > i时积分收敛。 xp 2xp1 xp所以sl<p<2时积分收敛，a其余怙况卜积分 rarc7r 发敗。(5) 广22&/久=广4应2&/“jo

30、xpjo xpil/a xp由2一(hcm.可知当p<4吋积分c-dx收敛， x zsp>j时积分c-dx发散;由_2l_(x吋知积分也收敛。 ，2 * ，2所以当p < 4时积分c收敛，当p 时积分2u xp2cdx发散，x(6) j.v ='lrxdx +xple-kdx。由于积分收敛，及;rw -ly( ),所以当 p >0吋积分收敛，当p 50时积分发敗。(7) f7一也c一心+广一e/当/>=<7时，显然积分ltl一办发散: ，0 xp + x*1当p京q吋，由于? -(x -> 0+)，- ；-(x -> +co)， rp +

31、 /，x + .e x川所以当inm(/m)<l，u.niax(p.<7) >1时积分f: 1 dx收敛，其余估况 下积分c!ja发敗。(8)设p>i，则对任怠的当.v充分人时，w为 wxd>i,可知积分r收敛。 2>2 xplnqx设p<l,则对任意的</，当x充分人吋，有因为 xp 11(, x x 2¥<1，可知积分发散。2i2 xplnqx设尸=丨，令nx = h则=巾此可知当/，>丨或ial kt时积分哇心收敛，繼情况卜.积分哇办发散。9. i4论卜*列反常积分的敛散性:(2: j；4<x> xq s1

32、11x1 + xpdx ( /? > 0 )；cos.y .-dx11 fsin x+ (5 f0-cos7；(6 r_ladx (p>o).y p-14i解由 一 - (x -> 0+) > - (x->+cn) , "j"知当 0< 尸 <2 时 1+ x2 x p1 + x2 xp积分收敛，在其余怡况卜*积分也发散。(2)当r/<p-i时，由可知积分rdx绝对收1 + a/ x"1 l + f敛o*p|尸-1 < 7 < p时，因为f(a) = sin xdx有界，当j充分大时a厂甲凋减少，且hm-

33、5=0,由dinclilet判別法，积分收敛: ，一叫+yl+xpfm人i为积分发散,所以a p-1 q < p吋积分条 件收敛。当时，由于不趋于苓，可知积分dx发散。cosx . fie5int cos.¥ . f+aeosj . dx = joppdxsin xsin x±cosx_ 1 (r0+b 可知当吋积分 jiecosxjr 收敛，xpxpv x1在炖余怡况卜积分j；££2ja-发散。当p<1时，易知积分sx|心发敗：当时，砧知积分1 xp29l发敗。当0<p<l时，因为|f, +单调减少，且lim= 0,由diric

34、wet判別法；可知积分rcosxdx收敛。 h xp综上所述，当o<p<1时，积分条件收敛，在其余 xpsinx怙况下积分-7 发散。z-x f+«e5ux'siu2x ,fie5iaxsin2a , f棟sm2,r ,(4) fo rfv = forfr + l 办。，sin r由e n2.v 2 (rq+)>可知当,<2时积分厂了收xp义广a/敛，在其余怡况卜积分j；e7 jv发散。当i<p<2时，显然积分rei-1收敛；当mi吋，易知积分|-e->|sin2a|rfv发散：时，秘知积分 f:112.、.发散。 k v当 0 &l

35、t; p <1 时，w 力 |*hr e:m' sin2xdx = 0 » 可知 |jqa e:ia * sin 2.vt/.x (f 界， 且_!_单调减少，lim_l = 0, llj dinclilet判別法，nj知积分 xpxxpdx收敛o综上所述，当1<p<2时积分f :u2'办绝对收敛，当0<py i31a x sin x 时积分r条件收敛，在其余怙况卜积分?2xdk发 vi散。(5) 令/ = ±,则jcosp-= !广去一'。于是可知当时积分p-lcos-lrft绝对收敛；当lp<3吋积分 u xp x*

36、(6)当p>1时，因为条件收敛，当p门吋积分砝co士'.发敗。siu x + <-?-»吋知积分r 1p 绝对收 xr1 xp敛。2 3 而级数1冗当0<01时，因为广7 dx>h7t+ 2."tfcll发敗：又_rt，+6 xl一发散，所以积分厂hz+ 2sul(.t +rr . i i . i)sincosx+ cossin.vsin一注意到当义充分大时，xpxpxpcossinl i与f都是单调减少的，efc dhkhlet判鵬可知积分心sin x+ 收敛，所以积分 x)dx条件收敛。10.证明反常枳分fm/sin.u/r收敛。293证

37、 对任总4”>a，>4，山分部积分法，f xsin x4 sin xdx = - j j(cosx4) a厂4 4厂cosx4 cosx . f 力-cosx4 su1.y “2jdx o(sl11xc0sx4 1(a-卜了 jl+lk然，时，等人右端的三项都趋丁零，fh cauchy收敛原理，可知反常积分fswx4sinx心收敛。11./(a)单调，11 当0+ 时/i正明：jo f(x)d.x 收敛的必要条件是hmxf(x) = q。!->«+证 &先由/以)的单调性，对于充分小的0<<1,有山caucliv收敛原理，lun f : f(，)dt = 0，于是得到lini xf (x) = 0 o x-»0+12.没f/办收敛，且v在h,叫上中.凋减少，证明:lini v(ln x) f (.v) = 0 o 1->相证 首先容鉍知道当时，单调减少趋十0,于是有xf(x) > 0 , il0 < lv(lnx)/(x) <。然后巾cauchv收敛原ffl，lini r/(oj/ = 0,于是得到 i-w« j v jllll) a(lilx)/(x)= 0 o13.没/单调下降，且lim/(x)=0,证明:若广在0,叫上连续， 则