蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题

1、一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。 注：0/1背包问题：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值

2、。2）代码:#include#includeusing namespace std;#define N 100 /最多可能物体数struct goods /物品结构体int sign; /物品序号int w; /物品重量int p; /物品价值aN;bool m(goods a,goods b)return (a.p/a.w)(b.p/b.w);int max(int a,int b)return an-1)if(bestPcp&cw+ai.w=C)for (int k=0;kn;k+) Xk=cxk;/存储最优路径 bestP=cp;return bestP;cw=cw+ai.w;cp=cp

3、+ai.p;cxi=1; /装入背包Force(i+1);cw=cw-ai.w;cp=cp-ai.p;cxi=0; /不装入背包Force(i+1);return bestP;int KnapSack1(int n,goods a,int C,int x)Force(0);return bestP;int main()goods bN;printf(物品种数n: );scanf(%d,&n); /输入物品种数printf(背包容量C: );scanf(%d,&C); /输入背包容量for (int i=0;in;i+) /输入物品i的重量w及其价值v printf(物品%d的重量w%d及其价值

4、v%d: ,i+1,i+1,i+1);scanf(%d%d,&ai.w,&ai.p);bi=ai;int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);/调用蛮力法求0/1背包问题 printf(蛮力法求解0/1背包问题:nX= );for(i=0;in;i+)coutXi ;/输出所求Xn矩阵printf( 装入总价值%dn,sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;/恢复初始化3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n) O(2n)。2.动态规划法求解0/1背包问题：1）基本思想：令V(i,j)表示在前i(1in)个物品中能够装入容量为j(1jC)的背包中的物品

5、的最大值，则可以得到如下动态函数：V(i,0)=V(0,j)=0V(i-1,j)(jwi)V(i,j)= maxV(i-1,j),V(i-1,j-w)+v(jw)iii按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n个阶段。最后，V(n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。2）代码：#include#includeusing namespace std;#define N 100 /最多可能物体数struct goods /物品结构体int

6、sign; /物品序号int w; /物品重量int p; /物品价值aN;bool m(goods a,goods b)return (a.p/a.w)(b.p/b.w);int max(int a,int b)return ab?b:a;int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int XN,cxN;int KnapSack2(int n,goods a,int C,int x)int VN10*N;for(int i=0;i=n;i+) /初始化第0列Vi0=0;for(int j=0;j=C;j+) /初始化第0行V0j=0;for(i=1;i=n;i+) /计算第i行，进行

7、第i次迭代 for(j=1;j=C;j+)if(j0;i-)if (VijVi-1j)xi-1=1;j=j-ai-1.w;else xi-1=0;return VnC; /返回背包取得的最大价值int main()goods bN;printf(物品种数n: );scanf(%d,&n); /输入物品种数printf(背包容量C: );scanf(%d,&C); /输入背包容量for (int i=0;in;i+) /输入物品i的重量w及其价值v printf(物品%d的重量w%d及其价值v%d: ,i+1,i+1,i+1); scanf(%d%d,&ai.w,&ai.p);bi=ai;int

8、 sum2=KnapSack2(n,a,C,X);/调用动态规划法求0/1背包问题 printf(动态规划法求解0/1背包问题:nX= );for(i=0;in;i+)coutXi ;/输出所求Xn矩阵printf( 装入总价值%dn,sum2);for (i=0;in;i+)ai=bi;/恢复aN顺序3）复杂度分析:动态规划法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n)=O(nC)。3.回溯法求解0/1背包问题：1）基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量

9、。这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。2）代码:#include#includeusing namespace std;#define N 100 /最多可能物体数struct goods /物品结构体int sign; /物品序号int w; /物品重量int p; /物品价值aN;bool m(goods a,goods b)return (a.p/a.w)(b.p/b.w);int

10、 max(int a,int b)return an-1)if(bestPcp)for (int k=0;kn;k+) Xk=cxk;/存储最优路径 bestP=cp;return bestP;if(cw+ai.w=C) /进入左子树cw=cw+ai.w;cp=cp+ai.p;cxai.sign=1; /装入背包BackTrack(i+1);cw=cw-ai.w;cp=cp-ai.p; /回溯，进入右子树cxai.sign=0; /不装入背包BackTrack(i+1);return bestP;int KnapSack3(int n,goods a,int C,int x)for(int i

11、=0;in;i+)xi=0;ai.sign=i;sort(a,a+n,m);/将各物品按单位重量价值降序排列BackTrack(0);return bestP;int main()goods bN;printf(物品种数n: );scanf(%d,&n); /输入物品种数printf(背包容量C: );scanf(%d,&C); /输入背包容量for (int i=0;in;i+) /输入物品i的重量w及其价值v printf(物品%d的重量w%d及其价值v%d: ,i+1,i+1,i+1); scanf(%d%d,&ai.w,&ai.p);bi=ai;int sum3=KnapSack3(n

12、,a,C,X);/调用回溯法求0/1背包问题printf(回溯法求解0/1背包问题:nX= );for(i=0;in;i+)coutXi ;/输出所求Xn矩阵printf( 装入总价值%dn,sum3);for (i=0;in;i+)ai=bi;/恢复aN顺序3）复杂度分析：最不理想的情况下，回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n) O(2n)。由于其对蛮力法进行优化后的算法，其复杂度一般比蛮力法要小。空间复杂度：有n个物品，即最多递归n层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为O(n)。4.分支限界法求解背包问题：1）基本思想：分支限界法类似于回溯法，

13、也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结

14、点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。2）代码:#include#includeusing namespace std;#define N 100 /最多可能物体数struct goods /物品结构体int sign; /物品序号int w; /物品重量int p; /物品价值aN;bool m(goods a,goods b)return (a.p/a.w)(b.p/b.w);int max(int a,int b)return aHi/2.b)swap(Hi, Hi/2); elsedone = true;i =

15、i/2;/堆中元素下移void mov_down(HEAP H, int n, int i) bool done = false;if(2*i)=n)while(!done & (i = 2*i) = n) if(i+1 Hi.b) i+;if(Hi/2.bHi.b)swap(Hi/2, Hi); elsedone = true;/往堆中插入结点void insert(HEAP H, HEAP x, int &n)n+;Hn = x;mov_up(H,n);/删除堆中结点void del(HEAP H, int &n, int i)HEAP x, y;x = Hi; y = Hn;n -;if

16、(i=x.b)mov_up(H,i);elsemov_down(H, n, i);/获得堆顶元素并删除HEAP del_top(HEAP H, int &n)HEAP x = H1;del(H, n, 1);return x;/计算分支节点的上界void bound( KNAPNODE* node, int M, goods a, int n) int i = node-k;float w = node-w;float p = node-p;if(node-wM) / 物体重量超过背包载重量 node-b = 0; / 上界置为0elsewhile(w+ai.w=M)&(in)w += ai.

17、w; / 计算背包已装入载重 p += ai+.p; / 计算背包已装入价值 if(ib = p + (M - w)*ai.p/ai.w;elsenode - b = p;/用分支限界法实现0/1背包问题int KnapSack4(int n,goods a,int C, int X)int i, k = 0; / 堆中元素个数的计数器初始化为0 int v;KNAPNODE *xnode, *ynode, *znode;HEAP x, y, z, *heap;heap = new HEAPn*n; / 分配堆的存储空间 for( i=0; in; i+)ai.sign=i; /记录物体的初始

18、编号sort(a,a+n,m); / 对物体按照价值重量比排序 xnode = new KNAPNODE; / 建立父亲结点for( i=0; is1i = false;xnode-k = xnode-w = xnode-p = 0;while(xnode-ks1ynode-k = true; / 装入第k个物体 ynode-w += aynode-k.w; / 背包中物体重量累计 ynode-p += aynode-k.p; / 背包中物体价值累计 ynode-k +; / 搜索深度+bound(ynode, C, a, n); / 计算结点y的上界 y.b = ynode-b;y.p =

19、ynode;insert(heap, y, k); /结点y按上界的值插入堆中 znode = new KNAPNODE; / 建立结点z*znode = *xnode; /结点x的数据复制到结点z znode-k+; / 搜索深度+ bound(znode, C, a, n); /计算节点z的上界z.b = znode-b;z.p = znode;insert(heap, z, k); /结点z按上界的值插入堆中 delete xnode;x = del_top(heap, k); /获得堆顶元素作为新的父亲结点xnode = x.p;v = xnode-p;for( i=0; is1i)Xai.sign =1 ;elseXai.sign = 0;delete xnode;delete heap;return v; /返回背包中物体的价值/*测试以上算法的主函数*/int main()goods bN;printf(物品种数n: );scanf(%d,&n); /输入物品种数printf(背