矿大机械振动 第3章 单自由度系统的受迫振动

1、 联系方式 引言前几节讨论了在外界初始干扰下依靠系统本身的 弹性恢复力维持的自由振动 本节讨论系统由外界 弹性恢复力维持的自由振动。本节讨论系统由外界 激振所引起的振动,称为强迫振动。外界激振所引起的系统的振动状态称为响应 对于不同的外界激 起的系统的振动状态称为响应。对于不同的外界激 振,系统将具有不同的响应。激振力包括:简谐激振力非简谐的周期激振力冲击激振力随机激振力,等等我们将重点讨论系统对简谐激振力的响应 因为 我们将重点讨论系统对简谐激振力的响应,因为 这是最基本的,是研究其他响应的基础。最后要讨 论系统对任意激振力的响应论系统对任意激振力的响应。 2、运动微分方程:、运动微分方程

2、按牛顿第二定律:sin mx cx kx P t =+ r k kx cx 按达朗伯原理(动静法:0sin 0mx cx kx P t += P=P0sin tm P (1 注 1:达朗伯原理:当一个力学系 统运动时,它的任何位置都可以看 作是平衡位置 只要我们在原动力 0最后都得到:0sin mx cx kx P t += x作是平衡位置,只要我们在原动力 上再加上惯性力。这样就可以把任 何动力学问题按相当的静力学问题 它比有阻尼自由振动微分方程多了右端激振力,是一个非齐次线 来处理。了右端激振力,是 个非齐次线性微分方程。它的解包含两部分:关 由方程 的 齐次 21x x x += 注 2

3、:简单说明一下各力方向,我们设位移 x 向下为正,取所有与 x 致的力 速度和加速度为正 则 (关于 x 2,由方程(1的非齐次 P 0sin t 可得特解,也是简谐函数, 其频率与激振力一致 一致的力、速度和加速度为正。则 P =P 0sin t (为正,-kx (因弹 性恢复力与位移反向, (因阻尼力与速度反向 cx 其频率与激振力一致。 尼力与速度反向, (因惯性力 与加速度反向mx 其中 齐次方程解1sin(ntdx Ae t=+其中 B 和 是特定常数,可sin(2=tBx 非齐次方程(1之特解 注 3:为什么这里“ -” 只要系统有阻尼 振动位 以把 x2代回微分方程(1求出。只要

4、系统有阻尼,振动位 移肯定滞后于干扰力我们这里利用待定系数法求 B 、 。 注 4:非齐次方程(1的 特解一般用参数变换法求出, 但须积分 当(但须积分。当(1的右端 具有某些特殊形式时,可直 接用代数方法求出 叫待定 2cos(x B t=接用代数方法求出,叫待定 系数法。22sin(x B t= x 的前一项代表有阻尼自由振动,随时间 t的前 项代表有阻尼自由振动,随时间 增加而衰 减至消失,称为瞬态振动。而第二项则代表有阻尼强 迫稳态振动。 在简谐激振力下,它是简谐振动,它与 激振力有相同频率,其振幅 B ,相位差 只与系统本身 m k P 性质(、 、 、激振力大小 (0 、频率有关

5、( ,与 初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。x 1txx 2tt瞬态过程 稳态过程2012/10/306 2-单自由度系统的自由振动 §25前面我们讨论的振动问题都是把振动系统(弹簧、 阻尼 质量系统固定在基础上 激振力作用在质 25 基础振动 第二类振动问题阻尼、质量系统固定在基础上,激振力作用在质 量上,而基础是固定不动的,这类振动称为第一类 振动问题振动问题。工程中,经常遇到另一种情况,激振力不直接作 用在质量上 而是由于基础本身振动使与基础相联 用在质量上,而是由于基础本身振动使与基础相联 的弹簧 阻尼 质量系统发生振动,这类振动称为 第二类振动问题第二类振动问题。例如,

6、装在机器上的仪器,仪表等等,由于机器 振动 仪器 仪表发生第二类振动 另外 振动试 振动,仪器,仪表发生第二类振动。另外,振动试 验台就是典型的作基础振动的机械,在振动台上做 试验的试件的振动就属于第二类振动试验的试件的振动就属于第二类振动。 式中式中:E 线圈感应电动势(伏B 空气中的磁感应强度(高斯L L 线圈的绕线长度(米V 相对运动速度(米 /秒这种拾振器转换的电压信号 E 与物体振动速度成正 比 又称为速度型拾振器 若增设积分电路则可测 比,又称为速度型拾振器。若增设积分电路则可测 位移,微分电路可测加速度。按预先标定可直接读 出位移 速度 加速度之数值出位移、速度、加速度之数值。

7、3.3系统对任意激振力的响应(任意干扰力 1、系统对任意激振力的响应(任意干扰力图示弹簧、阻尼、质量系统,受任意激振力 F (t作用。 现在问题是求 t 瞬时质量 m 的位移 x (t 。取流动坐标 0 t ,r k那么在 瞬时 m 的振动微分方程是:(1(Fkxx rxm =+我们用杜哈梅积分(FF(Duhamel 求方程(1的解。d0t t2012/10/30362-单自由度系统的自由振动 避免与利用共振共振时系统的振动特别强烈,动应力很大,对 结构强度及仪表使用造成威胁 因此 在结构设 结构强度及仪表使用造成威胁。因此,在结构设 计中,避免发生共振是很重要的问题。如 螺旋 就 个 个 例

8、如直升飞机的螺旋桨就是一个振源,而整个 飞机通过起落架与地面接触,这有一定的固有频 率,如果两者频率相等,就会在直升飞机着陆的 一瞬间发生地面共振,可能在几秒钟内造成机毁 人亡的严重后果,其速度之快使飞行员来不及或 无法采取措施。因此,不但在飞机设计过程中要 尽量避免,而且在造出这样的飞机后还须作地面 试验以检验是否满足要求。 防止共振总的来说有两方面:防止共振总的来说有两方面a 、 消除振源。 例如做动平衡试验,发现有惯性力偶 作用时用加配重方法调整作用时用加配重方法调整。b 、 若振源无法完全消除,则要使激振力频率与系统 固有频率之比 远离共振区范围工作。 这又分为两种情况:若 已定,则要调整设计使 n远离 ;若 n 已定,则设法使 远离 n。这里要说明一点,若一系统须稳定在 =1以右较远处 工作时 这样就必须越过共振区。从实践和理论上都表 工作时,这样就