传统方法求二面角

1、2014届禹三理科戟学专题复习WMMMi arvMwn mwwmwm* wicrv% arvMwwwi eaMvwwi arvMMMMn w wvwiwvwi wvwwi ofwvws传统方法求二面角平而内的一条直线把平而分为两部分.其中的毎一部分祁叫做半平面.从一条直线出发 的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条克线叫做二面角的核，每个半平面叫做二面角的面）二血角的大小可以用它的平面角度來度量， 二面角的平面用是多少度，就说这个二面用是多少度一 以二ifri角的公共直线上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直丁公共“线的两条射线，这两条射线所成 的九叫做二面角的平面角 二血加的大小可用平

2、血角衣 示（如图l）o二而角的范宙1：1定义法在棱上取一点A,然后在两个平面内分别作过棱上A点的唾线 有时也可以在则个平血 内分别作棱的垂线，再过梵中的一个垂足作另一条亚线的平行线 一般地.可以选择经过棱 上的待殊点如中点、端点、分点等作垂线。其作法及基本原理如图22014届禹三理科戟学专题复习2014届禹三理科戟学专题复习图22014届禹三理科戟学专题复习解析提示图3作出二面角a-l-“的平面角:l（D：在平面a、0的交线/上任取一点o；:：过（）点分別在a、0内作交线/的矗线所成/-AOB即为二面角a-1-p的平面角- - - - - -在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，丄平面AB

3、CD, PA = AB = a.求二面角B-PC-D的大小.由题意作出图3,连接AC,不难得出其中各边的数量关系. 观察到PEU中，满足PBWPC利用点角三角形射影定理、BH、DH长度可用a表示为 a.连接BD,其长度为辰， 3在BHD中，由余蕨定理可得cqsBHD = BH + DHBD = _丄， 2BHDH2 jt1 jr （）乙BHDtt , 厶BHD= 、即二面角 B-PC-D 的大小为. 3二面角创PC切即为平面BPC与平面PCD所成角.,则它是一个克角三角形. 同理，PDC也是一个直角三角形，且它们全爭.过B点作目旦丄匹,垂足为连接DH,有匹丄匹, 则乙BHD为二面角B-PC-D

4、的平面角.2三蠹拔定理法先在氏中一个面任取一个点找到该点在另一个平面上的投影再过该投影作棱的垂线.连结原先任取的点与垂足即得二面角的平面角.二眶线眾理：平血内的一条山线，如果和穿过这个平血的一条斜 线在这个平面内的射影垂玄那么它也和这条斜线亚玄.（如图4） 利用三垂线定理法作二血角的平面角的原理如图5所示.斤中. 上面的一排是立体图解.卜面为对应从正面的视野看到的平面图解.2014届禹三理科戟学专题复习从一平面上一点A作 貝在另一平面内的投 影（即找到另一平面 过点A的垂线）；垂过垂足B作棱的垂 线（棱即为两个面 的交线），垂足记 为O;连结垂足与原先所 取的点A,得到二 面角的平面角即为 A

5、AOB.足记为B;图5图6例2如图6所示，在四棱锥中.欣丄底ifliABCD. AB II CD、AD = CD. Z.BAD= 120 , LACB = 90 :（2）求二面角D-PC-A的余兹值.解析 tab II CD、乙BAD =12（）。,图7ZADC = 6（尸，又AD = CD, /. AACD为等边三角形. 取AC的中点6则DO丄AC.: PA 丄底面 4BUD. :.PA 丄 DO. :.DOL J PAG过 Q作QH丄匹,樂星为 乩 連,由三垂线定理知DHL PC. 厶PH。为三回用D-FC-A的平囲用.由OH = , DO= , a tanZDH? = = 2-42OH故

6、所求二面角的余疾值为百.5提示注意利用題目所给的已知条件.通过等腰.等边三角形中点的性质去寻找一般地，遇到求二而角的题目，如例2求二面佩D-PC-A的余弦值，我们先看看D点在平面PAC1的投彫是否好找.若不好找，则换成另一边，再试试看A点在平面P3 上的投影是否好找，从而嵋定以哪一点为起始总.D_PC_A 或 D_PC_ATT2014展高三理科救学专题复习【3】垂面法作与棱垂直的平而.则垂而与二面角两个而的交线所成的角就是二而角的平血角.利用垂面法求二面角的平面角的原理如图8所示已知afl0二/,作出二面角a-/-0的步骤：作出垂直棱的一个平面丁，与a, 0交于两条线.则这两条交线所 成角即为

7、二面角a-/-0的平面角.图8例3如图9.在三棱锥S-ABC中.SA丄底面ABC. AB丄 DE垂直平分SU且分别交SC、AU于D、E. 乂 SA=AB, SB=BC、求二血角D-BE-C的大小.解析: BS=BCt 5D=DC. :.SC丄ED.又SC丄 DE, SC 丄 面 BDE. SC 丄 BE. 乂 / BE 丄 SA、:. 0E丄 闻 SAC .厶DEC为二面角D-BE-C的平面角.设 SA=a.则 SB=BC=a 9：BC丄AB. SA丄平面 ABU图9：BC丄SB .SC2a9 Z.SCE=3O, /. ZDEC=6() 即二面角 D-BE-C 的大小为 60. 提示 本题中，

8、平面DEE与平面BEC的交线为EE,又证得EE垂直平而SAC,故可考虑用 垂面法作二面角.由图得平面SAC与平面DBE和平 BEC的交线分别为DE、EC、 则乙DEC即为二面角D-BE-C的平面角进而由图中各边数量关系求得该二面角大小.射影定理法利用射影足理：二血角的余弦值等于某一个半平血在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值即:S汕二s观昶. 或cos& =鱼.S觀|利用射影定理求二血角的方法原理如图10所示.斜图10例4解析(2001全国理T17改编)如图11 在底面足玄角梯形的四棱锥S-ABCD中，乙ABU=90。. SA 丄面 ABCDSA=AB=BC= 1 AD=0.5.(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值.记面SUD与面SEA所成二面角为a,由面积射彭定理得FS S：t：cD cosa=5 cos a =S不难发现，SD=CD= 9 SC=JJ, it D DH丄SC2AT