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文档简介

1、 最速下降曲线问题研究12071186-余浩问题的提出1696年，Johann Bernoulli(16671748)年提出最速下降曲线的问题：设有A 、B 两点，B 点的高低较A 点低，但不再A 点的正下方。假定A 、B 之间连有一曲线轨道，而让一个刚性小球沿着轨道由A 点降到B点。如果不考虑摩擦力，那么什么样的曲线会使得下降所需的时间最短？ 这就是最速下降曲线问题( 也叫摆线问题) 。最速下降曲线是一类求极值问题，但他与初等微积分求某个函数在自变量处取极值不同， 它寻找的是众多函数中的一个，使得相应的数值为最大或最小。它是一类自变量为函数的函数的极值问题，即变分问题。经过查阅相关的资料，发

2、现变分问题的求解较为复杂，本文从理论推导入手，得出求解该类问题的一种数值算法。建立最速下降曲线的物理模型，在应用数学理论求解过程中得出最速下降曲线满足斯涅尔公式的结论；提出应用斯涅尔公式的求解最速下降曲线的数值算法。最速下降曲线物理模型的求解过程题型模拟：A 点与B 点不在同一铅垂线上，有质量为m 的刚性小球，从A 点以零初始速度沿曲线路径下滑到B 点，忽略阻力。求下滑时间最短的一条路径( 即最速下降曲线) 。A 点坐标，B 点坐标如图1假设任意下降路径为(1)y ( x ) 满足条件y ( 0 ) = 0 ，y ( x n ) = y n，(2)当小球落到位置时所具有的速度为，重力加速度为(

3、3) （4）曲线微积分中有 （5）由公式(4)(5)得出 (6)小球总下降时长Ty(x) 有，(7)求特殊的一条曲线，使得取极小值，这条曲线就是我们要找的最速下降曲线。要使泛函公式( 7 ) 在处取得极值，即变分为零(8)参考图二将连续的曲线 离散化为n+1 个点，第i 点的坐标为(xi,yi)£¬i=0,1,1,2.n。设定y0,y1yiyn为已知数x0,x1xixn，只要计算未知数，即可确定曲线，将求曲线问题转换为求x0,x1xixn问题。将公式( 7 )用差分方程表示为(9)公式(9)存在极值的条件，i=1,2.n-1 (10)(9)式代入(10)式得 (11)(12)(13)(14)(15)公式(12)(13)(14)(15)带入公式(11)得出(16)得出结论:沿着最速下降曲线运动的小球，在任何一点的入射角正弦与出射角正弦的比值等于入射速度与出射速度的比值。一种特殊情况，当sinai接近1 时，假设小球继续下降有vi+1>1，若sinaai+1>1，则假设不成立，

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