泰州市2019届高三数学上学期期末考试试卷

1、20182019学年度第一学期期末考试(满分160分，考试时间120分钟) 1参考公式：柱体的体积 V= Shi,锥体白体积 V= §Sh一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.1 .函数f(x) = sin 2x的最小正周期为 .2 .已知集合 A= 4, a2, B= 1, 16,若 AC Bw?,则实数 a =.3 .复数z满足zi =4+ 3i (i是虚数单位)，则|z| =.4 .函数y= 1 一x2的定义域是 .5 .从1, 2, 3, 4, 5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为 6的概率为 一I丁一1White2TTX 2i1Encl WhileP

2、rint Tf第6题）6 . 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T的值是.第，J题)a5+ a37 .已知数列an满足 log 2an+1- log 2an= 1,则 一- 一=.a3 a18 .若抛物线y2=2px(p>0)的准线与双曲线x2y2= 1的一条准线重合，则p=.9 .如图，在直三棱柱 ABCAB1C1中，M为棱AA的中点，记三棱锥 AMBC勺体积为 M,四Vi,一棱车t A1BBGC的体积为V则J的值是 V210 .已知函数f(x) =2x4+4x2,若f(a +3)>f(a 1),则实数a的取值范围为 11 .在平面直角坐标系 xOy中，过圆C：

3、(x k)2+(y+k 4)2=1上任一点P作圆C2： x2 + y2=1的一条切线，切点为 Q则当线段PQ的长最小时，k=12 .已知P为平行四边形 ABC所在平面上任一点，且满足PA+PB+ 2PD= 0,入PA+w晶+ PC= 0,贝U 入=x 3x+2a, x>a,13 .已知函数f（x） =，3+34若存在X0<0'使得f（X0）=。，则实数a的取值范围是1tan A1tan B2tan C为定值，则实数1 fc e=2 0<e<T ?14 .在 ABC中，已知 sin Asin Bsin (C0 )=入 sin 2C,其中 tan,证明过程或演算二、

4、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明步骤.15.(本小题满分14分)1已知向重 a= (sin x, 1), b= cos x ,其中 x (0 ,兀).2(1)若a/b,求x的值；(2)若 tan x= 2,求 | a+b| 的值.16.（本小题满分14分）。为对角线BD的中点，E, F分别如图，在四棱锥 PABCDL底面ABC的平行四边形,为棱PC, PD的中点，已知 PAL AB, PAL AD.求证:(1) 直线PB/平面 OEF(2) 平面OE吐平面ABCD.21.(本小题满分16分)如图，三个小区分别位于扇形 OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段

5、OQ上找一处开挖工作坑 P(不与点Q Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO PA, PB,已知一.兀 一.OA= 2千米，/ AOB=,记/ APQ= 0 rad,地下电缆管线的总长度为 y千米. 3(1)将y表示成0的函数，并写出 0的范围；(2)请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2x2 + a2yb2=1(a>b>0)的左顶点为A, B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线 OP交于1点Q已知椭圆C的离心率为2,点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点Q的

6、横坐标为X0,求X0的取值范围.设A, B为函数y=f(x)图象上相异两点，且点A, B的横坐标互为倒数，过点A, B分别作函数y=f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数 f(x)的“优点”.4一，ln x , 0<x<1,(1)右函数f(x) =i 2不存在 优点，求头数a的值；(2)求函数f(x) =x2的“优点”的横坐标的取值范围；(3)求证：函数f(x) =ln x的“优点” 一定落在第一象限.已知首项不为 0的数列an的前n项和为S, 2ai+a2=a3,且对任意的n C N, n>2都有 2nS+i (2n+5)S+S i = rai.(1)若a

7、2=3ai,求r的值；(2)数列an能否是等比数列？说明理由；(3)当r = i时，求证：数列an是等差数列.20i820i9学年度第一学期期末考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按 作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳42:矩阵与变换（本小题满分10分）-1 2_ _已知矩阵网=5的一个特征值为-2,向量:求Afa.k jcL16_B.选彳44 44 :坐标系与参数方程（本小题满分10分）1 ,x=2-t,在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参

8、数），曲线Cy=2+tx=- 1 2cos的参数方程为（0为参数）.若直线l与曲线C相交于A, B两点，求线|y=2sin 0段AB的长.C.选彳45:不等式选讲（本小题满分10分）-.111设正数 a, b, c满足3a+2b+c=1,求- + +的取小值.a a+b b+c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在正四棱柱 ABCD/BGD中，AA = 3, AB= 1.(1)求异面直线AB与AC所成角的余弦值；(2)求平面A1BC与平面ACD所成二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)已知函数 f(

9、x) =1|2x1| , 0WxW1,设 fn(X)=fn 1(f 1(x),其中 f1(x) =f(x),方fn(x) =0和方程fn(x) =1根的个数分别为gn(0) , gn(1).求g2(1)的值；(2)证明：gn(0) =gn(1) +1.20182019学年度第一学期期末考试数学参考答案1.兀2. ±43. 5 4. -1,15. 1 6. 857. 4 8. 审 9. 1 10. (-1, i) 11. 212.3-4 13. 1, 0)14.51015. (1)因为 a / b, 1所以 sin xcos x = 2, 即 sin 2 x=1.一_ 兀因为xC (0

10、 ,兀)，所以x=.4(2)因为 tan x= sn-x=2, cos x所以 sin x= 2cos x.因为a+ b= sin,1 x+2,1 + cos所以| a+ b|x + 2 j + ( 1 + cos x) 2x+2cos x= 1. 216. (1) O 为BD的中点，F为PD的中点，所以 PB/ FO.因为PB?平面 OEF FO?平面OEF所以PB/平面OEF.(2)连结AC,因为四边形ABC型平行四边形，所以AC与BD交于点O,。为AC的中点.因为E为PC的中点，所以 PA/ OE.因为 PAI AB, PAI AD ABA AD= A AB, AD?平面 ABCD所以P

11、A1平面ABCD所以。且平面ABCD.因为OE?平面OEF所以平面OEQ平面ABCD.,_. .，一一一.，.一，,TT17. (1)因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA= PB, /AOP= / BO已 三,6一，, 兀又/APO= % - 0 , /OAP= 0,由正弦定理，得PAsinOA=/C 、兀 sin (兀一。)6OPPC；,又 OA= 2,兀 isin ve -6)一，1所以 PA= K, OP=所以 y= PA+ PB+ OP= 2PA OP=2+ 2sin (9 一石 / 辰 9cos 0 +2sin 0sin 0因为/ APO / AOP所以0兀 /八八 / _ _1&

12、gt;,ZOAQ= ZOQA= 2(所以0(2)令 f( 0 )=注、12 ./3sin 。 cos sin 00 +2f ' ( 0)=1 2cos 0- 2 sin=0,得 0 =f, 3f( 0 )在区间上单调递减，在区间(:,5，)上单调递增，所以当9 =-3,即op= 233千米时，f(。)有唯一的极小值，即是最小值，则 f(0 ) min=2 3. 23答：当工作坑p与。的距离为U一千米时，地下电缆管线的总长度最小.3rc 1a = 2, 解得,c= 1,=一18. (1)a 2'依题意，彳导 2a -I= 6, c所以 b=qa?- c2 = 3J3,所以椭圆C的

13、方程为：+=1.43(2)由知，A( 2, 0),设 AB:x= my 2,廿0,联立；3x +4y = 12,26 6m 8x = 2,T ?3m+4x=- 2,解得 <或Q12m|y=0,ly=3m2T7,2口 r 6m 812m8 6m即 B(3n2+4' 3n2+4八 3 P(3n2+4' 3m+ 4) '3m3m所以 ko,OP y=z"x3,因为AB! BQ所以kBQ= m所以直线BQ的方程为BQ y = -m奸啖竦,联立3 3my=Ix，3 得6m+ 4my = - mxH- 2,y3m+ 4'xo =一 一 2 一一8 (3m+

14、2)163n2+4=8 汴*，8).19. (1)由题意可知，f ' (x) =f '(寸 xC (0 , 1) U(1 ,十 00）恒成立,不妨取 xC (0 , 1),则 f ' (x)2a = f'（恒成立，即，人1 ”人什一经验证，a = 2符合题意.(2)设 A(t , t2) , B：,圣WO 且 t w± 1),因为 f ' (x) = 2x, c21所以A, B两点处的切线方程分力1J为y=2txt , y=1x丁，人2 21-1,1令 2tx -t =：x，解得 x=2J + JC ( 8, - 1) U(1 , +8),所以

15、“优点”的横坐标取值范围为（一8, 1）U（1, +OO）.(3)设 A(t , ln t) , b1-, Tn t -6(0, 1),一，1因为 f (x)= 一,x所以A, B两点处的切线方程分别为1y=-x+ ln t 1, y=tx ln t - 1,人1令x+ In t - 1 = tx - In21n t解得 x=1>0,t设 h(m) = ln则 h' (m) =21n tr+ 1n t1-12/m 1t2+t21t=E(1n t -Em-m2T7，me(0，1)，(m 1) 222>0m (m+ 1)'所以h(m)单调递增,所以 h(m)<h(

16、1) = 0,口口t2- 1即 In t - 12+ 1 <0.t2 + 1因为H <0,1 21n t所以 y= , -+ 1n t 1>0,tt所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限.20. (1)令 n=2,得 4s39S2+S = ra1,即 4(a 3+a2+ a1) 9(a2 + a) + a= ra 1,化简，得 4a35a2 4a= ra 1.因为 2& + a2=a3, a2=3日,所以 4X 5a1 5X 3a1 4a= ra 1,解得r = 1.(2)假设数列an是等比数列,公比为q,则由2a+a2= a3得2a1 + aq= a1q2

17、解得q= 2或q= - 1,由 2nSn+i(2n + 5)Sn+& i=rai,得 4Sn = 2nan+i an ra i(n >2),所以 4s i = 2(n 1)anan 1rai(n R3),两式相减，整理得2nan+i + an i= (2n + 3)a n,两边同除以ani,可得2n(q 2q) = 3q1.因为q= 2或一1,所以 q2qw。，所以上式不可能对任意n>3恒成立，故数列a n不可能是等比数列.r = 1时，令n=2,整理得一4a1 5az+4a3= a1，又由 2a + a2=a3 可知 a2= 3a1, a3= 5a1,令 n = 3,可得

18、 6$ 11$+S = a1,解得 a4= 7a1,由(2)可知 4Sn = 2n3n+1 an a1(n >2),所以 4S-1 = 2(n 1)a n an1 a1(n >3),两式相减，整理得 2nan+1+ an 1= (2n + 3)an(n >3),所以 2(n 1)a n+ an-2= (2n + 1)a n 1(n >4),两式相减，可得2n(a n+ 1 an) (a n an- 1) = (a n an1) (a n- 1 an2)(n、4).因为(a4 as) 一 (a 3 % ) = 0,所以(a n an-1) (a n 1 an2) = 0(

19、n 才 4),即 an an-1= an-1 an-2(n >4),又因为 a3 a2= a2 a1 = 2a1 )所以数列an是以a1为首项，2a1为公差的等差数列.入 +1221. A. 将入=2 代入 5=入2(x1)入一(x + 5)=0,得 x=3,r-i281L16L58-B.由题意得曲线 C的直角坐标方程为（x+1）2+y2 = 4.1 £ x=t, 将直线l的参数方程代入（x+1）2+y2=4得1ly=2+t-t+ih>t3,即 4t24t 3=0, 一 13斛得 11= 5 12=2，LL 131 L则 AB=5|t1 12|=啦 一2一| = 2 5.

20、C.因为 3a+ 2b+ c= 1,a+b+b+一 .11= (2a+ a+b+b+c) _+ - a a十=(啦+1 + 1)2 1=6+ 4 啦,111所以a+0+台所以a+的最小值为6+ 4表.22. （1）以AB, AD, AA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 Oxyz,则A（0 , 0, 3) , B(1 , 0, 0), G(1 , 1, 3),所以 BA= ( -1, 0, 3) , AC= (1 , 1, 3),所以 cosBA, aC)=二 1 十 /=巫邠 X 1155(2)由题意得 0(1, 1, 0), D(0, 1,0),所以 AB= (1 , 0, 3)

21、 , AC= (1,1,-3) , AC= (1 , 1, 3) , AD= (0 , 1, 0),ACn1 = 0,n1 = 0,"AC - n2 = 0,AD。n2= 0,X2 + y2+ 3Z2= 0, 即y2= 0,设平面ABC的一个法向量为 m=(x1, y1, Z1),则X1-3Z1 = 0,即 一|X1 + y1 3z1 = 0,令 z= 1,则 n1= (3 ,0,1).设平面AGD的一个法向量为n2=(X2, y2, Z2),则令 Z2=1,则 n2= ( -3, 0, 1), n1 . 112-9+14所以 cos( n1, n2)= I .I1 = I1 = 一 ,1n111n 2| 回 x 回53所以平面ABG与平面AGD所成二面角的正弦值为 -.523. (1) 当 n=2 时，f2(x) =f 1(1 - |2x -1|) =f(1 |2x 1|) = 1 |2(1 |2x 1|) 1| = 1,所以 2(1 |2x 1|) =1,一,1所以 1 |2x -1| =2, ,1所以 2x- 1 = ± 2,所以x=J或x = |, 44所以 g2(1) =2.(2)因为 f(0) =f(1) =0,所以 fn(0) =fn(1) =0.因为 f1(x) =1 |2x1| C0, 1,当 xC2 "，f1(x)单调递增