省会检测2018年广东省广州市高考数学一模试卷理科

1、2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设复数z满足z (1-i) 2=4i,则复数z的共扼复数工=()A. - 2 B. 2C. - 2i D. 2i2 . 设集合 A=x|主型<0, B=x|xw-3,则集合x/x>1=()A. An B B.AUBC.(?rA)U( ?rBD,(?rA)A( ?rB3 .若A, B, C, D, E五位同学站成一排照相，则 A, B两位同学不相邻的概率30 / 274 .执行如图所示的程序框图，则输出的 S=()D.40一，K5

2、-已知sinG一二)二"，则831工十-)=()A-1 B-1 c. 4 D.储128,那么其展开式中6,已知二项式(2x2-工)n的所有二项式系数之和等于含L项的系数是()A. - 84 B, - 14C. 14 D. 847.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个几何体的三视图, 则该几何体的表面积为()71rA. I 2 1B. ,二 C. 一 一； D. 48.A.9.若x, y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为(2B.C. - D.2已知函数f (x) =sin (U-)(>0)在区间-二，三三上单调递增, &43则的取值范围为()A

3、. (0,三B. (0, 1 A 磅,| D, 1, 210 .已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对(a, b)为(A. (-3,3)B.(-11,4)C.(4,-11)D. ( 3,3)或(4, 11)11 .如图，在梯形 ABCD中已知| AB| =2| CD .AE*AC,双曲线过C, D, E三点,5且以A, B为焦点，则双曲线的离心率为()A.巾 B. 2" C. 3 D. V1012 .设函数f (x)在R上存在导函数f (x),对于任意的实数x,都有f (x) +f (-x) =2x2,当 x<0 时，f (x) +1<

4、;2x,若 f (a+1) <f (-a) +2a+1,则实数a的最小值为()A. B. - 1 C. D. - 222二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量 a= (m, 2), b= (1,1),若| a + b| =| a|+| 同，则实数 m=.14 .已知三棱锥P- ABC的底面ABC是等腰三角形，ABXAC, PA1底面ABC PA=AB=1则这个三棱锥内切球的半径为.15 . 4ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若 2acos( 9- B) +2bcos(什A) +c=0,cos 8 的值为.16 .我国南宋数学家杨辉所著的

5、详解九章算术中，用图的三角形形象地 表示了二项式系数规律，俗称 杨辉三角形”.现将杨辉三角形中的奇数换成1, 偶数换成0,得到图所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记 第n行各数字的和为如Si=1, S2=2, 9=2, 8=4, ；则S126=.oe ©Q£) iiooii®)d)101 0 1 。1图三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求 作答.(一)必考题：共60分. 八，17 . (12.00分)已知数列an的前n项和为Sn,数列片是

6、首项为1,公差为2 的等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设数歹1bn满足京_+/+ gl=5- (4n+5) (-) n,求数列bn的前n项 和Tn.18 . (12.00分)某地110岁男童年龄xi (岁)与身高的中位数yi (cm) (i=1, 2,，10)如表：x (岁) 12345678 g10y (cm)76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值._10_(xi-J) £ (yiT)i=l2210£ i=l10_工(Xif)1=1(丫内)5.5 1

7、12.4582.503947.71566.85(1)求y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01);(2)某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的 回归方程是y=-0.30x2+10.17x+68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为 145.3cm,与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程；二+g度中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:一 一 一 一 一 一 一 lr 4 心。Ou 力 4 $ 2 D 6 例 S 7 11- IX _TX19 . (12.00分)如图，四棱锥 S- ABCD中，zABD为正三角形

8、，/ BCD=120, CB=CD=CS=2/ BSD=90.(1)求证：AC，平面SBD(2)若SC! BD,求二面角A-SB- D的余弦值.20 . (12.00分)已知圆(升禽)2 +，二16的圆心为M,点P是圆M上的动点，点N(小。)，点G在线段MP上，且满足(GN + GPU (GM-GP).(1)求点G的轨迹C的方程;(2)过点T (4, 0)作斜率不为0的直线l与(1)中的轨迹C交于A, B两点,点A关于x轴的对称点为D,连接BD交x轴于点Q,求4ABQ面积的最大值.21 . (12.00分)已知函数 f (x) =ax+lnx+1.(1)讨论函数f (x)零点的个数;(2)对任

9、意的x>0, f (x) &xe2x，lB成立，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.选彳4-4:坐标系与参数方程r n x=m+-122 . (10.00分)已知过点P (m, 0)的直线l的参数方程是'：(t为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为p =2cosB(I )求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(II)若直线l与曲线C交于两点A, B,且| PA ?| PB| =2,求实数m的值.选修4-5:不等式选讲23 .已知函数

10、 f (x) =2| x+a|+| 3x-b| .(1)当a=1, b=0时，求不等式f (x)>3|x|+1的解集；(2)若a>0, b>0,且函数f (x)的最小值为2,求3a+b的化2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设复数z满足z (1-i) 2=4i,则复数z的共扼复数工二A. - 2 B. 2C. - 2i D. 2i【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z (1 i) 2=4i,z二羽= 2. -2i则复数z的共扼复数

11、，=-2.故选：A.【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2 .设集合 A=x|4<0, B=x|xw-3,则集合x/x>1二()x-1A. An BB.AU BC.(?rA)U (?rBD.(?rA)A( ?rB【分析】解不等式得集合A,根据补集的定义写出？RA、？rB,即可得出结论【解答】解：集合A=x|些<0=x 3<x<1, x-1B=x| x< - 3,则？rA=x| x0 -3 或 x> 1, ?rB=x| x> 3;. (?ra) n ( ?rB = x| x> 1.故选：D.【点评】本题考查

12、了集合的化简与运算问题，是基础题.3.若A, B, C, D, E五位同学站成一排照相，则 A, B两位同学不相邻的概率B.C-D.【分析】基本事件总数n=I5=120, A, B两位同学不相邻包含的基本事件个数m=A就72,由此能求出A, B两位同学不相邻的概率. Ha【解答】解：A, B, C, D, E五位同学站成一排照相，基本事件总数n=3='=120,A, B两位同学不相邻包含的基本事件个数m=A；A：=72,.A, B两位同学不相邻的概率为 p=m =72=§ .n 120 5故选：B.【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算 求解能

13、力，考查函数与方程思想，是基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的 S=()"=25=0用二理+ 2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：赋值，n=2, S=O,第一次执行循环体后，S=0+777T，n=2+2=4;判断4方19不成立,第二次执行循环体后,判断6方19不成立，第三次执行循环体后，判断8> 19不成立，第四次执行循环体后,S=-Lt2X4 4X6,n=2+4=6;S2X4 4X6+6X8,n=6+2=8;S+，+=_ 2X4 4X6 6XS 8X

14、 10n=8+2=10;判断1819不成立，执行循环体后:S=- +- .I- +-+ +-2X4 0乂6 6X8 SX10 18X 20n=18+2=20判断2019成立，终止循环，输出s=_t_ +_= +_+_ +_+- +-=L 2X4 4X6 gXIO 18X 20 2故选：D.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正确的结论，是基础题.【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值.【解答】 解：:式门（工一-）="|",贝k口工4-） =sin-454Z（吟故选：D.【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.6,已

15、知二项式（2x2-工）n的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中 含十项的系数是（）A. - 84 B, - 14C. 14 D. 84【分析】由已知可得n的值，写出二项展开式的通项，由x的指数为-1求得r值，则答案可求.【解答】解：由二项式（X-2） n的展开式中所有二项式系数的和是 128, x得 2n=128,即 n=7,（2x2-L） n= （2x2-） 7,由 Tr+i=C*（2 J）（上） J2，Jc；?x14，取 14- 3r=- 1,得 r=5.展开式中含L项的系数是tx理二T4 -故选：A.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的 通项公式

16、，体现了转化的数学思想，属于基础题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个几何体的三视图, 则该几何体的表面积为（）A,1 -I : B. 一 '.二 C, 一D. 4【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱 P-ABCD由三视图求出几何元素的 长度、并判断出位置关系，从而可得该几何体的表面积.【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱 P-ABCD且底面是直角梯形，AB±AD AD/ CB,且 AB=2, BC=4 AD=2, PA=2,PA1平面 ABCD由图可得，PD=2/2, CD=2/r2,PC=/P7777=2诧，PB=2/2,则该几何体的表面积

17、为：S PAB+S pad+&pbc+Sabcd+Sa pdc=一 一_ . 一一一' J + - - J I :一=1。+4 亚故选：A.【点评】本题考查几何体的三视图，由三视图正确复原几何体是解题的关键， 考查空间想象能力.8.A.则z=X2+2x+y2的最小值为(若x, y满足约束条件2y<>0 0【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+2x+y2=NG+以/产_,其几何意义为可行域内的动点与定点P ( - 1, 0)距离的平方减1求解.【解答】解：由约束条件2y-l>0作出可行域如图， x-iCor+2=0x=lz=*+2x+y2=：. 1-1其几何

18、意义为可行域内的动点与定点P ( - 1, 0)距离的平方减1,z=)2+2y+y2的最小值为故选：D.【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.9. 已知函数f (x) =sin (+工)(>0)在区间-工，等上单调递增， &43则的取值范围为()A. (0,二B. (0, 1 C.号,件D.看,2【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间-4-, 与上单调递增，建立不等式关系，即可求解.【解答】解：函数f (x) =sin (介工6增，(0)在区间-工，”上单调递 43只切彳-8k解得：3<»3k; 3 0,当k=0时，可得：故选：B

19、.【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质，单调性的应用.属于基础题.10 .已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对(a, b)为(A. (-3,3)B.(-11,4)C.(4, -11)D. ( 3,3)或(4, 11)【分析】求出函数的导数，得到关于a, b的方程组，解出检验即可.【解答】解：(1) f'(x) =3x2+2ax+b,若f (x)在x=1处的极值为10,则0，l+a+b+a.=10解得：，E或产色lb=-llb= 3经检验，a=4, b= - 11,故选：C.【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题.11 .

20、如图，在梯形 ABCD中已知| AB| 二2| CD|冠上正，双曲线过C, D, E三点, 5且以A, B为焦点，则双曲线的离心率为()A.B. 2 ： C. 3 D. . 【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示 的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即 可求出【解答】解：由|AB|二2|CD|,以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，22设双曲线的方程为-三=1, 以 b由双曲线是以A, B为焦点， .A(-c, 0), B (c, 0),把x=1p,代入邑 - %=1,2* bZ可得y=b即有 C

21、 (-1c, b又设 A ( - c, 0),-1),设 E (x, y),AE= (x+c, y), 5(x+c, y)建(c, b解得 x=二c, y=b? 55可得E (-c, fb?2X'代入双曲线的方程可得4/25 a2 * 4-1) =1,425考查了运算能力和转化【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算, 能力，属于中档题.12.设函数f (x)在R上存在导函数f (x),对于任意的实数x,都有f (x) +f (-x) =2x2,当 x<0 时，f (x) +1<2x,若 f (a+1) <f (-a) +2a+1,则实数a的最小值为()A.二

22、 B. - 1 C.二 D. 一 222【分析】设g (x) =f (x)x2,判断g (x)的奇偶性和单调性，得出a的范围.【解答】解：设 g(x)=f(x)x2,贝U g(x)+g ( x)=f(x)+f ( x)2x2=0,g (x)是奇函数.当 x<0 时，g' (x) =f'(x) - 2x< - 1, g (x)在(-8, 0)上是减函数，g (x)在R上是减函数. f (a+1) & f ( - a) +2a+1,f (a+1) - a2 - 2a -10f (-a) - (-a) 2,即 f (a+1) ( a+1) 2&f ( a)

23、 ( a) 2,即 g (a+1) < g ( - a),a+1a,即 a> -.2故选：A.【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数包成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量/二(m, 2), b= (1,1),若| a + b| =| a|+| 曲,则实数 m=2【分析】根据题意，求出向量力+h的坐标，进而可得向量闩+b与;a、b的模，分析 可得小汩/4力力+产巧,解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意，向量=(m, 2), b= (1,1),a+b= (m+1,

24、3),则1也后却口沁!升q, 1研=/可+4,国金，若 I b| =| al+l E| ,则有“+2/4 =/皿，4 M:，解可得：m=2;故答案为：2.【点评】本题考查模的计算，关键是分析向量 值与E的关系.14 .已知三棱锥P- ABC的底面ABC是等腰三角形，ABXAC, PAa底面ABCPA=AB=1则这个三棱锥内切球的半径为三应 .一 6 一【分析】利用等体积法，设内切球半径为r ,则1r (&ABC+SPAC+&PAB+&PCB)=xPA?SABC,解得求出r,再根据球的体积公式即可求出.【解答】解：.AB，AC, PAL底面 ABC PA=AB=1. Sa

25、abc=1 义 ACX BC工 X1X 1=1, 222Sa paJ X ACX PASa pab= x ABX PA,2222Vp ABC=-X PA?SABC=, 36设内切球半径为 r,则Lr (SaABC+&PAC+&pab+Sapcb) , X PA?SABC,解得 r=hZi . 336故答案为：6【点评】本题考查四面体内切球的体积求法， 考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题.15. 4ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若 2acos( 9- B) +2bcos(什A)+c=0,贝 cos 8的值为 一1 . 【分析】根据两角和差的余弦公

26、式和正弦公式，以及正弦定理即可求出.【解答】解：: 2acos ( 0- B) +2bcos (什A) +c=0, 2sinA (cos 0 cos+Sin 0 sinB+2sinB (cos 0 cos A sin 0 sinA+sinC=Q 2sinAcos 0 co+2sinAsin 0 sin2sinBcos 0 cosA2sinBsin 0 si+AnC=0,2cos 0 (sinAcosBcosAsinB +2sin 0(sinAsinB- sinBinA) +sinC=02cos 0 sin A+B) +sinC=02cos 0 sin+sinC=0,cos 8 2故答案为：-1

27、.2【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式和正弦定理，属于基础题.16 .我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术中，用图的三角形形象地 表示了二项式系数规律，俗称 杨辉三角形”.现将杨辉三角形中的奇数换成1, 偶数换成0,得到图所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记 第n行各数字的和为如Si=1, S2=2, 9=2, 8=4, ；则Si26= 64 .1 11 。 1111100011001110101* B * H ，* M B. «* 上A B aX >>A a图可得第1次全行的数都为1;由此可知全奇数的行出现©。0Q ® G1

28、G <5)© O 1G © © © © © © 。图【分析】将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0, 的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行， 在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行.126=27-2,故可得.所以 第128行全是1,那么第127行就是101010-101,第126行就是 11001100 110011问题得以解决.【解答】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成0,可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，, 由此可知全奇数的行出现在 2n的行数，即第n次

29、全行的数都为1的是第2n 行.126=27-2,故可得第128行全是1,那么第127行就是101010-101,第126行就是 11001100 -110011 11又 126+4=31+2,. S26=2X 31+2=64,故答案为：64【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般 性命题（猜想）.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17 . （12.00分

30、）已知数列an的前n项和为Sn,数列上是首项为1,公差为2 n的等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足gl+ ：+.+：” =5-（4n+5）（春）n,求数列bn的前n项和Tn.【分析】（1）由题意可得： =1+2 （n- 1）,可得：&=2n2-n. n2时，an=S n-Sn-1, n=1 时，a1=1.可得 an.(4n+5) () n, n2 时，壮詈+.-+-=5- (4n+1)台产1,相减可得：乎 （4n-3） x进而得出bn.即可得出数列bn的前n项和Tn .S _【解答】解：（1）由题意可得： =1+2 （n-1）,可得：Sn=2n2- n. n2

31、时，an=$Sn i=2n2 n 2 (n- 1) 2 (n- 1) =4n 3. n=1时，ai=1.对上式也成立. 二 an=4n 3.n>2 时,+.+=5- (4n+5) (-i-) n, bn=2n.数歹I bn的前 n 项和 Tn=2 xi±=2n+1 - 2 .【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18. (12.00分)某地110岁男童年龄xi (岁)与身高的中位数yi (cm) (i=1, 2,，10)如表：x (岁) 12345678 g 10y (cm)76.588.596.8104

32、.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.10_工(xi-l) i=l(yr)566.855.510i=l112.4582.503947.71(1)求y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01);(2)某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的 回归方程是y=-0.30x2+10.17x+68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为 145.3cm,与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程7工工兑中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【分析

33、】llj由题意求出工，y, £工，1OW 网的7(> 一(1)i=i10£ 中，,代入公式求值，从而得到回 1=1 1 1归直线方程;(2)将x=11代入回归方程是y=- 0.30x2+10.17x+68.07和(1)问中的方程，得到的结果与145.3cm比较，即可判断a=- bR=112.45- 6.87 X 5.5= 74.67;【解答】解：(1)由题意，1=5.5,同=112.45,y关于x的线性回归方程y=6.87x+74.67;(2)某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的 回归方程是 y=- 0.30x2+10.17x+6

34、8.07.当 x=11 时，代入回归方程是 y=- 0.30x2+10.17x+68.07.可得 y=142.74;当x=11时，代入回归方程是 y=6.87x+74.67;可得y=150.24;由11岁男童身高的中位数为145.3cm.可得回归方程是y=6.87x+74.67计算的误差比较大.故回归方程是y= - 0.30x2+10.17x+68.07模拟合效果更好.【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题.19. (12.00分)如图，四棱锥 S- ABCD中，zABD为正三角形，/ BCD=120,CB=CD=CS=2/ BSD=90.(1)求证：AC，平面SBD(2)若S

35、C! BD,求二面角A-SB- D的余弦值.【分析】（1）取 BD 中点 O,连接 AO, CO, WJ AO± BD, CO± BD,即 AC± BD,再由已知证明 COE ACOS可得/ COD4 COS=9 0,即AC, OS,则AC 平面SBD(2)由(1)知，AC± BD,又SCL BD,可得BD±¥面SAC则平面SAC1平面 SBD在平面SBD中，过O作OH,SB,连接AH,可彳3/ AHO为二面角A-SB- D的平面角，然后求解三角形得答案.【解答】(1)证明：.ABD为正三角形，CB=CD取BD中点O,连接 AO, C

36、O,则 AO± BD, CO± BD,即 AC± BD,垂足为 O,/BSD=90,. BSD为直角三角形，. O 为 BD 中点，. OD=OS在 COD与ACOS中，OD=OS CS=CD OC=OC.COE ACOS 则/COD之 COS=9 0,AC± OS,则 AC平面 SBD;(2)解：由(1)知，AC± BD,又 SCL BD, BD，平面SAC 则平面 SAC1平面SBD在平面SBD中，过。作OH，SB,垂足为H,连接AH, 可得AHXSB, 丁. / AHO为二面角A-SB- D的平面角,在 BCD中，由 CB=CD=2 /B

37、CD=120,可得 OB=OD=3,则OS/,则 SOB为等腰直角三角形，则H为SB的中点,/ AS OH V V7 cos/ AHO=777= ,AH Y42, T2即二面角A-SB- D的余弦值为I.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定， 考查空间想象能力与思维能力， 考查面角的平面角的求法，是中档题.20. (12.00分)已知圆(什禽)2 + /=16的圆心为M,点P是圆M上的动点，点NG5。)，点 G在线段 MP 上，且满足(GN + GPU (GM-GP).(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点T (4, 0)作斜率不为0的直线l与(1)中的轨迹C交于A, B两点, 点A关于x轴的

38、对称点为D,连接BD交x轴于点Q,求4ABQ面积的最大值.【分析】(1)根据向量知识可知 GN=GP从而可得|GM|+| GN|=4,结合椭圆定 义得出轨迹方程；(2)设l斜率为k,联立方程组求出k的范围和A, B两点的坐标的关系，根据弦长公式计算|AB| ,求出Q点坐标计算Q到直线AB的距离d,得出4ABQ面积 关于k的函数，从而求出面积的最大值.【解答】解：(1) M (-V3, 0), |MP|=4.;I向+而壮丽-而)，屈2-扉?=0,即 |GN| =| GP .又G在线段MP上， . | GM|+| GN| =| GM|+| GP =| MP| =4. 又| MN| =2/3<

39、| MP| ,.G点轨迹是以M, N为焦点的椭圆.设G的轨迹方程为 .+看=1，贝U 2a=4,即a=2, c=/3,.二点G的轨迹方程为:+y2=l.(2)由题意可知直线l斜率存在且不为0,设直线 l 的方程为 y=k (x- 4), A (xi, yi), B(X2, y2),则 D (xi, - yi),联立方程组y=k(x-4),消元得：(1+k2) x2 - 8k2x+16k2- 4=0,由根与系数的关系可得:16k2-4,x1x2=-l+kZ令“可得x后好x2 (k k L (k x-4k)由4>0可得 64k4-4 (1+k2) (16k2-4) >0,解得 k2&l

40、t;三.x1 +x2=1+k2-8k二1,2k旭力8k3 1+k2即Q (1, 0), ；Q到直线AB的距离d= !孔 , ViAi丁& ABCF-"仟J二|£5Z| =6|_ qid W cm 22公16a【点评】本题考查了椭圆的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21. (12.00 分)已知函数 f (x)=ax+lnx+1.(1)讨论函数f (x)零点的个数；(2)对任意的x>0, f (x) &xe2x，lB成立，求实数a的取值范围.【分析】(1)由f (x) =0,得-a也曳，x>0,求得右边函数的导数，以及单 x调性和最值

41、，即可得到所求零点个数；(2)任意的x>0, f (x) &xe2x，lS成立，即为a&e2x- 1恒成立,设h (x) I=e2x_ lnx+L_ 2,设m =xe2x- lnx- 1 - 2x, x>0,求得导数，单调性和最值，即可得到所求范围.【解答】解：(1)函数f (x)=ax+lnx+1,由f (x) =0,可得一a耳坦三，x>0,设 g (x) =1+10 , x>0,Ig，(x) =Tn' , x当 x>1 时，g' (x) <0, g (x)递减；当 0<x< 1 时，g' (x) >

42、;0, g (x)递增,可得x=1处g (x)取得最大值1,如图所示：当-a00或-a=1,即a>0或a=- 1时，直线y=- a与y=g (x)有一个交点，当0< - a<1即-1<a< 0时，直线y=- a与y=g (x)有两个交点，当-a>1即a< - 1时，直线y= - a与y=g (x)没有交点，综上可得，a< - 1,函数f (x)零点的个数为0；-1<a<0,函数f (x)零点的个数为2;a10或a=-1时，函数f (x)零点的个数为1;(2)任意的 x>0, f (x) &xe2x，lB成立，即为a&e2x 1n工+1恒成立,设 h (x) =e2x_l£!吐L 2卫恐的士”， KX设 m (x) =xe2x- lnx - 1 - 2x, x>0,m' (x) =e2x+2xe2x - 2= (1+2x) (e2x -), xx设e2x-工=0的根为a,即有x>a, m (x)递增；0<x<a时，m (x)递减，可得x=a处m (x)取得最小值 m (a),由 m (a) =ae2a Ina 1 2a=1 Ine 2a - 1 - 2a=0,可得h (x) >0包成立，即有e2x-l