高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义汇编

1、学习-好资料直线与圆锥曲I复习提问更多精品文档、零线l与圆锥曲线C的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax By C 0 (A, B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F (x, y) =0,消去y (也可以消去x)得到关于一个变量的一元二次方程，即联立Ax By F (x, y)(1)当 aC 0 c消去y后得ax bx c 000时，即得到一个次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行；若 C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。 (2)当 a 0时， 0,公共点(切点)；0,二、圆锥曲线的弦长公式ABAB相交弦

2、AB的弦长AB三、中点弦所在直线的斜率22(1)若椭圆方程为xy41(aa2b2b 0)时，以P (x0,y 0)为中点的弦所在直线斜率kb2xoa2y0(V。0)，即kg%2222了若椭圆方程为今$1(a b 0)时，相应结论为k .(y00),即明b2，(2) P (x0,y 0)是双曲线2与 a b1内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率b2x0k T(y0 0),即 a V。k次op2222若双曲线方程为 4 41时，相应结论为k a(y 0),即kp窘； a bb y0b(3) P (x0,y0)是抛物线y2 2Px内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率k上(y0 0);y0xn右方程为

3、x 2py时，相应结论为k 一P学习-好资料n题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0;另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与 圆锥曲线相切。一 一，一，5例1.已知两点M (1,-) , N(4522 一 X22.4,-),给出下列曲线万程： 4x 2y 1 0x +y =3一 y 1422X 2一 y2 1在曲线上存在点P,满足PM2PN的所有曲线方程是(

4、填序号)。22练1:对于抛物线C： y 4x,我们称满足yo 4X0的点M ( X0,y)在抛物线的内部，若点M(x,yo)在抛物线的内部，则直线l: y0y 2(x x0)与抛物线C的位置关系是 。练2:设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有共点点，则直线l的斜率的取值范围是例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点 C (0, c) (c0)任作一条直线，与抛物线 y x2相交于A, B两点，一条垂直于 x轴的直线分别与线段 AB和直线l : y=-c交于P, Q两点。 uuu uuu(1)若OAgOB 2,求c的值；(2)若p为线段AB的中点

5、，求证：QA为此抛物线的切线。学习-好资料22x y练1： (12安徽理)如图所小，Fi( c,0) , F2(c,0)分别是椭圆C： 2 2 1(a b 0)的左右焦点，过Fi作直线a b2x轴的垂线交椭圆 C的上半部分于点 P,过F2作直线PF2的垂线交直线x a-于点Q,求证：直线 PQ与椭圆C只 c有一个公共点。练2： (14湖北理)在平面直角坐标系 xoy中，点M到点F (1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C, (1)求点M的轨迹方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P (-2, 1)分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。、中点

6、弦问题11x例1:已知过点m(&,-)的直线i与椭圆2uuuuy 1交于A, B两点，且OM1 uuu uuin-(OA OB) (O为坐标原点)，求直线l的方程。学习-好资料122练1: (14江西理)过点 M (1,1)作斜率为 一的直线与椭圆 C: 与2a b是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于。1(a b 0)相交于A, B两点，若M2练2:已知椭圆方程 y2 1。(1)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；(2)过点P (2,1)的直线l与椭圆相2交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。x2例2：如图所不，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 一42y 1 ,过坐标原点的直线交椭圆于2P,

7、A两点，其中点P在第一象限，过 P作x轴的垂线，垂足为 C,连接AC,并延长交椭圆于点 B,设直线PA的斜率为k,求证：对 任意k0,都有PAX PR22 y练1：已知曲线C： x 上万1(m 0,m 1),过原点斜率为k的直线交曲线C于P, Q两点，其中P在第一象限,m且它在y轴上的射影为点 N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在 m,使得对任意带你 k0,都有PQ, PH?若存在，求m的值，不存在，说明理由。1Fi, F2在x轴上，离心率e , (1)求椭圆2E的方程；(2)求 F1AF2的角平分线所在直线l的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若学习-好资料 22x

8、 y例3已知椭圆C: 一 y- 1 ,试确定m的范围，使得对于直线 l： y=4x+m ,椭圆C上有两个不同的点关于这条直 43线对称。练1:如图所示，已知椭圆 E经过点A (2,3),对称轴为坐标轴，焦点存在，请找出，不存在，说明理由。2X练2:已知A , B , C是椭圆W : 一 42y 1上的二点，O是坐标原点。(1)当点B是W的右顶点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，说明理由。学习-好资料2 .一 x3.已知椭圆C:a2X练1:已知椭圆C:y21,过椭圆C的左焦点F且倾斜角为 9的直线1与椭圆C交于A,B ,求弦

9、长AB。练2:已知圆M: (x J2)2 y2r227xy一一,右椭圆 C：2r1(a3abb 0)的右顶点为圆M的圆为乌22_.r (r 0)上。y212y2 1(a b 0)的离心率为一，右焦点为F,右顶点A在圆F： (x 1)2 b2(1)求椭圆C和圆F的方程。(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点巳请判断是否存在斜率不为 0的直线1,使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线 1的方程，若不存在，说明理由。二、弦长与面积问题。在弦长有关的问题中，一般有三类问题：(1)弦长公式(2)与焦点相关的弦长计算，利用定义(3)涉及面积的计算问题例1.过抛物线y2 2 P

10、x(p 0)的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于点 A, B两点，若线段AB的长为8,则P为多少？(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l : y kx ,若直线l与椭圆C分别交于A, B两点，与圆M分别交于G, H两点(其中点 G在线段AB上)，且AG BH ,求k的值。学习-好资料2X 222一例2:已知椭圆C: y2 1,过点(m, 0)作圆X2 y 1的切线l交椭圆G于A, B两点。 4(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率。(2)将AB表示为m的函数，并求 AB 的最大值。2 X练1已知椭圆C : -2 ay2 一小小3、1-yr 1(a b 0)经过点M(1,一),其离心率为一 b22

11、1)求椭圆C的方程。(2)设直线 l : y=kx+m (k1、，一)与椭圆C相交于A, B两点，以线段 OA, OB为邻边作平形四边形 OAPB,其中 2顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求OP的取值范围。2.已知椭圆C:2y彳 1(a bb2 .3 一、一0)的右顶点A (2,0)离心率为 ,。为坐标原点。2(1) (1)求椭圆C的方程。(2)已知P是(异于点A)为椭圆C上一个动点，过。作线段AP垂线l交椭圆C于点E, Do如图所示，求BEAP取值范围。学习-好资料22x y 例3:已知Fi,F2是椭圆一 二 1的左右焦点，AB是过点Fi的一条动弦，求 AB F2的面积最大值。 43练1:

12、（14新课标理）已知点2XA (0, -2),椭圆 E: -2 ay2.3I 1（a b 0）的离心率为,F是椭圆E的右焦点, b22直线AF的斜率为23 , O为坐标原点。（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当 3 OPQ面积最大时，求 l的方程。0uuiruuu例4：已知抛物线 y2 4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A, B两点。 （1）若AF 2FB ,求直线AB的斜率；（2）设点M在线段A B上运动，原点O关于点M的对称点C,求四边形O AC B面积的最小值。练1: （1 2北京）在平面直角坐标系x o y中，椭圆G的中点为坐标原点，左焦点为F1 （1

13、,0）, P为椭圆G上顶点，且 PFO 45。（1）求椭圆G的标准方程（2）已知直线I/ y kx m1与椭圆G交于A, B两点，直线l2 ：y kxm2（m1m2）与椭圆G交于c, D两点，且 AB CD ,如图所示，（1）求证：m1m20（2）求四边形AB cd的面积s的最大值。学习-好资料222.(14年湖南理21)如图所示，。为坐标原点，椭圆 Ci ： x2 % 1(a b 0)的左右焦点分别为 Fi,F2,离心率 a b2 2为e ；双曲线C2:-2221的左右焦点分别为F3 , F4,离心率为2 ,已知,2,且F2 F4J31 a2 b22(1)求CC2的方程(2)过FJ、C1的不

14、垂直于y轴的弦AB, M为AB的中点，当直线 OM与C2交于 巳Q两点时，求四边形 APBQ面积的最小值。uuiruuu3 .已知抛物线x2 4y的焦点为F, A,B是抛物线上的两动点，且 AF FB( 0)。过A , B两点分别作抛物线 uuuuuuuu的切线，设其交点为 M。(1)求证：FM gAB为定值；(2)设4ABM的面积为S,写出S f ()的表达式，并求S 的最小值。三、平面向量在解析几何的应用常见的两个应用(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式 a (x1,y1),b (x2,y2),再用向量数量积的acb 0 ；钝角坐标公式cos /X1X2 y1y

15、2,当a,b不共线时，有（a,b）为：直角2222. X 必 g, X2V2agb 0(且a,b不反向)；锐角agb 0(且a,b不同向)(2)利用向量的坐标表示解决共线问题晌量a,b共线的充要条件是 a= b或x1y2 x2yl学习-好资料1 .夹角问题直线l与抛物线x2 2py（p 0）相交于A, B两点，则：（1）直线l在y轴上的截距等于 2P时， AOB=900（2）直线l在y轴上的截距大于2P时， AOB90。例1:过抛物线x2 2py（p 0）的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，O为坐标原点，求证： ABO为钝角三角 形。2 2x y练1:设A, B分别为椭圆 一 匚 1的左右

16、顶点，P为直线X 4上不同于点（4,0）的任意一点，若直线 AP , BP 43分别与椭圆相交于 A, B的点M, N.求证：点B在以MN为直径的圆内。22练2：已知m1,直线l ： x my 0 ,椭圆C：）万y2 1的左右焦点分别为 己下2。（1）当直线l过右焦点F2 2m时，求直线l的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A, B两点， A F1,F2和 B F1, F2的重心分别为G, H,若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数 m的取值范围。学习-好资料2.向量共线问题。2例1：在平面直角坐标系 xoy中，经过点（0, J2）且斜率为k的直线l与椭圆 y2 1有两个焦点P, Q。uur

17、uurA , B是否存在常数k,使得向量OP OQ2（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为uur与AB共线？如存在，求 k值，不存在说明理由。Fi, F2,离心率e22练1：设椭圆 二 冬 1(a b 0)的左右焦点分别为 a buur ujuruuuurN是l上的两个动点，F1M gF2N 0 , (1)若F1Muuuur uuuiruuuurFMF2N 与 F1F2 共线。-,直线l : X ,如图所示，M ,2cuuur , uuuuF2N2J5 ,求a,b的值；（2）求证：当MN取最小值时,x2例2:设A, B是椭圆2y2 1上的两点,并且点(-2,0)

18、uuur 满足NAuurNB ,当11,一时，求直线AB53斜率的取值范围。2练1：已知Fi, F2分别为椭圆y-1的左右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线 12垂直于2垂足为D,线段DF 2的垂直平分线交l2于点M。（1）求动点M的轨迹C的方程。（2）过点F 1作直线交曲线学习 好资料uuur uuuruuuur uuuur两个不同的点P和Q,设F1PFQ。若 2,3 ,求F2PgF2Q的取值范围。uuur uuur uuur uuur2.过点F (1,0)的直线交抛物线y 4x于A, B两点，交直线l ： x=-1于点M,已知MAiAF , MB2BF,求 12 的值。四、定

19、点问题1 . 求定点问题的方法与步骤一般地，解决动曲线（包括动直线l ）过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选，二求，三定点。2 .两点说明1）对于曲线过定点，要求曲线方程关于参变量进行整理，即f1 （x, y）f2 （x, y） 0, 为参数，若方程有两个参数，需在题中寻找它们之间的关系，消去其中一个。若f1 （x, y） 0 有解，则曲线过定点，否则不过定点。f2（x,y） 0（2）对于直线过定点，我们有以下重要结论：若直线y kx m ，m 为常数，则直线l 必过定点（0， m）若直线y kx nk ， n 为常数，则直线l 必过定点（-n， 0）若直线y kx nk b ， n， b

20、为常数，则直线l 必过定点（-n， b）若直线x ty m ， m 为常数，则直线l 必过定点（m， 0）若直线x ty nt ， n 为常数，则直线l 必过定点（0， -n）若直线x ty nt b ， n， b 为常数，则直线l 必过定点（b， -n） 。更多精品文档学习-好资料题型（一）三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点。22x y,例1:已知椭圆 1 ,直线l ： y kx m与椭圆交于 A, B两点（A, B不是顶点），且以AB为直径的圆过 43椭圆的右顶点。求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标。x2uur uuur练1:已知椭圆了 y2 1的左顶点为A,不过点A

21、的直线l ： y kx b与椭圆交于不同的两点 P,Q。当APgAQ 0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点。2. （12北京高三期末理）已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0,1）,且离心率为 ,Q为椭圆C的左顶点。（1）求椭圆C的标准方程6（2）已知过点（ 一,0 ）的直线l与椭圆C交于A, B两点。（i ）若直线l垂直于x轴，求/ AQB的大小5（ii）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得 QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；不存在说明理由。学习-好资料223.已知椭圆 M： x2与1(a b 0)的离心率为2%，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 a b36 4

22、乏(1)求椭圆M的方程(2)设直线l与椭圆M交于A, B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求 ABC的面积。例2:已知抛物线y2 2 Px(p 0)上异于顶点的两动点 A, B满足以AB为直径的圆过顶点，求证： AB所在过定点, 并求出定点的坐标。练1：如图，已知定点 p(x0,y0)在抛物线y2 2px(p 0)上，过点P作两直线li , I2分别交抛物线于 a, B,且以AB为直径的圆过点 P,求证：直线 AB过定点，求出定点坐标。2.已知抛物线方程 y2 4x过点M (1,2)作两直线li , I2分别交抛物线于 A, B两点，且li , I2的斜率ki , k2满足 k1 k2

23、=2.求证：直线 AB过定点，并求出此定点坐标。更多精品文档学习-好资料题型（二）三大圆锥曲线中，若过焦点的弦AB ,则焦点所在坐标轴上存在唯一定点uuu uuuN ,使得NAgNB为定值。例1： （12北京海淀模拟）已知椭圆C:2 y_ b21(a b 0)的右焦点为F (1,0)22 2 r且点（1,）在椭圆C上。2（1）求椭圆C的标准方程；uuu uuu恒成立？若16（2）已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A, B两点。在x轴上是否存在点 Q,使得QAgQB存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由。练1:已知双曲线 x2 y2 2的左右焦点分别为 F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交

24、于A, B两点。在X轴上是uuu uuu否存在点c,使得 CAgCB为常数？若存在，求出点c的坐标，若不存在，说明理由。五.定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数思想方法来解决。证明过程可总结为“变量一函数一定值”方法有（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关。（2）直接推理，计算，消去变量，从而得到定值。题型（一）三大圆锥曲线中，曲线上的一定点P与曲线上的两动点A , B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反 数，则直线A B的斜率为定值。x2 y2.3、例1 .已知椭圆C: 1 , A为椭圆上的点，其坐标为（1, 一），E, F是椭圆C上的两动点，如果直线A432E的斜率与

25、A F的斜率互为相反数。求证：直线EF的斜率为定值，并求出该定值学习-好资料练1:已知A, B , C是长轴为4,焦点在x轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O,uuur uuruuir且 AC gBC 0 , BCuuur2 AC。( 1)求椭圆方程;(2 )如果椭圆上的两点P , Q ,使得/P CQ的平分线垂直于OA,问是否总存在实数uuuruuui,使得PQ AB ?说明理由。2 X2 .已知椭圆G: -2 ay21yy 1(a b 0)的离心率为 一，过椭圆G右焦点F的直线m: x= 1与椭圆G父于点M (M b2在第一象限)。(1)求椭圆G的方程；(2)已知A

26、为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线 点，判断直线MB, MC是否关于直线m对称，并说明理由。l与椭圆相交于B, C两题型(二)三大圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦A B ,其垂直平分线交焦点所在轴于点R ,则FRAB例1 .已知椭圆c：y2.3I 1(a b 0)的离心率为 ，过右焦点f且斜率为K(K0)的直线与c相父于A,b2uuurB两点，若AFuuu3FB ,则K =学习-好资料练1:已知双曲线2x XC:ay2-uuurI 1(a 0,b 0)的右焦点为F,过F且斜率为J3的直线交C于A,B两点，若AF b2uuu4FB ，则C的离心率为uuur uur2.已知F是椭圆C的一

27、个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且BF 4FD ,则C的离心率为题型(三)三大曲线中(双曲线需同一支)，设过焦点F且不平行于坐标轴的弦为 AB,则,为定值 (LAF BF L为通经长)例1: (1)已知过抛物弦y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点，AF =2, BF =。 uuuruuu(2)已知过抛物弦y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点，满足 AF 3FB ,则弦AB的中点到准线的 距离。练1:如图所示，抛物线C1： y2 2Px 和圆 C2： (x )2 y222,其中p0,直线l经过C1的焦点，依次交 4C1 , C2 于 A, B,

28、 C, D 四点，则uur uuurABgCD的值为22x y.题型四：已知椭圆 一 1(a b 0),直线l与椭圆交于 A , B两点，在 AOB中，AB边上的高为 OH。 a buuu uuu.(1)若；OAgOB ；-1 1 JOH a2 b2:uuu uuu(2)若(OAgOB1 1 1OH a2 b2 uuu uuu.(2)若；OAgOB )-_1_ 1 _1OH a2 b2学习-好资料 22x y 例1:已知椭圆E： 一 ，1 ,是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A, B,84uuu uuu且OA OB ?若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。练1.在直角坐标系xoy中，点P到两点(0, - J3), (0, J3)的距离之和等于 4,设点P的轨迹为C,直线y kx 1uuu uuu与C交于A, B两点.(1)写出C的方程；(2)若OA OB ,求k的值。222.如图所示，椭圆5 与 1(a b 0)的顶点为AA,B1,B2,焦点为,F2 ABiJ7,SYB1A1B2A2 2SYB1F1B2F2a b(1)求椭圆C的方程；(2)设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，OP 1 ,uuu uuu是否存在上述直线l使OA OB成立？存在，求出l的方程；不存在，说明理由。2