微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

1、第二章1、试利用本节定义习题2-15后面得注(3)证明：若lim Xn=a,则对任何自然数 k，有limxn+k=a、 nn证：由 lim xna，n0， N1，当n N1时，有0，Xna，设n N时(此时n k NJ有Xn k a由数列极限得定义得lim Xn k2、 试利用不等式A B说明：若lim xn=a,则 lim I Xn 1 =|a|、考察数列 nXn=(-1)n，说明上述结论反之不成立、证：Q lim Xn aXN时，有Xn0, N,使当XnXn于就是N,使当nN时，有XnXnaXn由数列极限得定义得limnXn考察数列Xn(1)n，知lim Xn不存在，而XnXn所以前面所证

2、结论反之不成立。利用夹逼定理证明：3、(1)lim -2 n n1(n 1)1 212 =0 ；(2n)2limn2n一 =0、n!证:(1)因为12n12n2(2n)而且2lim 一n n（2）因为0 乙n!所以，由夹逼定理得4、lim 1 亠 n n2 （n 1）22n lim n n!4，而且n禾U用单调有界数列收敛准则证明下列数列得极限存在、 xn= & , n=1,2,； X1=,xn+1= J 2Xn , n=1,2, 丫证：（1）略。2，不妨设Xk2，则故有对于任意正整数 n，有Xn 2，即数列Xn有上界,Xn 1Xn贰（近賦），而Xn所以Xn1Xn0即Xn 1即数列就是

3、单调递增数列。综上所述，数列 Xn就是单调递增有上界得数列,习题2-2lim 40 ,n n0,Xn 2 ,Xn，故其极限存在。1 *、证明：lim f（X）=a得充要条件就是f（x）在X0处得左、右极限均存在且都等于X X0证：先证充分性：即证若lim f（X）X Xolim f（X） a ,贝y limf（X） a、由limX Xf（X）a 及 lim f（X）X Xqa知：0,10,当0XqX1时,有f（X）a ,20当0XXq2时,有f（X）a 。取min1 , 2 ，则当0XqX或0XXq时，有f（X）a而0X X或0 XXq就就是0XXqX于就是0,0,当 0X X0时，有f(x)

4、所以lim f (x) a、X X再证必要性：即若lim f(x)Xx0a，则 lim f (X)X Xlim f (X)X X0a,limX Xf(x)a知,0,当 0 x x.时，有f(x)X X0就就是X0x0,于就是0,0，当或 0 X X0时,f (x) a所以lim f(x) limX XX X0f(x)综上所述,lim f(x)=a得充要条件就是X X)f(x)在X0处得左、右极限均存在且都等于2、利用极限得几何意义确定叽1(x2+a),与 lim ex ；X 01设f(x)= eX, X 0,，问常数a为何值时，limf(x)存在、 2cX 0X a,x 0,解:(1)因为x无

5、限接近于0时,X2 a得值无限接近于a，故 Hm( X2 a)当x从小于0得方向无限接近于 0时,1e，得值无限接近于 0,1lim exX 0由(1 )知(2)若 lim f (x)存在，则 lim f (x) lim f (x)，x 0x 0x 0lim f (x) lim( x2 a) lim( x2 a) a，X 0X 0X 0lim f (X) lim e'0X 0X 0所以，当a 0 时，lim f (x)存在。3、解:因为当x时，sinx得值在-1与1之间来回振摆动,即sin X不无限接近某一利用极限得几何意义说明lim sinx不存在、X定直线y A，亦即y f (x)

6、不以直线y A为渐近线，所以lim sinx不存在。X习题2-31、举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与 无穷大量之积都不一定就是无穷小量，也不一定就是无穷大量、sin X解：例1：当X 0时，tan x,si nx都就是无穷小量， 但由 cosx (当x 0时,tanxcosx 1 )不就是无穷大量，也不就是无穷小量。例2 :当x2x时，2x与X都就是无穷大量，但一 2不就是无穷大量，也不就X是无穷小量。例3:当X 0时，tanx就是无穷小量，而cotx就是无穷大量，但tanxgcotx2、(1)不就是无穷大量，也不就是无穷小量。判断下列命题就是否正确：无

7、穷小量与无穷小量得商一定就是无穷小量;y=xs inx在(-g, +s内无界，但lim xsinxMgX(8)解:无穷大量得倒数都就是无穷小量; 无穷小量得倒数都就是无穷大量、(1) 错误，如第1题例1;(2) 正确，见教材 §2、3定理(3) 错误，例当X3； 0时，cotx为无穷大量，sinX就是有界函数cotxgs inx cosx不就是无穷大量；见教材§2、(4)正确,(5)错误,例如当x3定理2;10时，一与X1都就是无穷大量,X但它们之与(丄)X有界函数与无穷小量之积为无穷小量； 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； 有限个无穷小量之与为无穷小量； 有限个无穷大量

8、之与为无穷大量；不就是无穷大量;(6 )正确，因为正整数k，f(2kn+ n) (2k n+ 才)si n(2kn+ 才)2knn+ M，即 yxsin x 在()内无界,0 ,无论X多么大，总存在正整数k,使kn> X，使f(2kn k冗sin( k冗)时， XsinX不无限增大，即 lim xsinx(7)(8) 无意义。3、指出下列函数哪些就是该极限过程中得无穷小量, 量、正确，见教材§2、3定理5;错误，只有非零得无穷小量得倒数才就是无穷大量。零就是无穷小量，但其倒数哪些就是该极限过程中得无穷大(1) f(x)=3,XT 2;X24(2) f(x)=lnx, XT0+,

9、 XT 1,XT+g; f(x)=1ex ,xT0 + , XT0(4) f(x)= -arcta nx,xT +g；2 f(x)=1sinx,xTg ; f(x)= X F，XVX V X解：(1)因为Hm(x2 4) 0,即X 2时，X2 4就是无穷小量，所以3无穷小量，因而2也就是无穷大量。X2 4-2就是x2 4所以，当x所以，当从f(x) lnx得图像可以瞧出，lim lnx,limln xx 0x 10时，x时，f(x) Inx就是无穷大量;1时，f(x) Inx就是无穷小量。1 1f (X) ex得图可以瞧出，lim e"X 01lim e"0,(4) Q0时

10、,0时,xim(n0, limxInx1f(x) e"就是无穷大量;1f(x) e，就是无穷小量。arctanx) 0,n时，f(x) ? arctanx就是无穷小量。(5) Q 当 x时，-就是无穷小量，sin X就是有界函数, x1 . -sin x x就是无穷小量。(6) Q当X 时，一2就是无穷小量，1 2就是有界变量，xV x1 一就是无穷小量。x习题2-4lim g(x)不存在，问 lim :f(x) ±(x)： , lim :f(x) g(x)就是否存x x0X X0x x0在，为什么？解：若lim f(x)存在,x X0lim g(x)不存在，则x xlim

11、 : f(x) ±(x):存在，则由x Xo(1 ) lim : f(x) ±(x):不存在。因为若x xg(x) f(x) f(x)g(x)或 g(x) f(x)g(x)f(x)以及极限得运算法则可得1f (x) si nx , g(x),则 xlim g(x)，与题设矛盾。x x0存在。1 1limsi n x 0 , lim不存在，但 lim f(x) g(x)： = limsi nx X 0X 0 Xk 1，则兀 1 V1 2 XkJ2 Xk 1Xk , x01又如： f(x) sinx , g(x)lim : f(x) g(x):X Xlim tan X不存在。n

12、X 2则 limsin xnX -21lim不存在，而X ? COSX22、若呵。"刈与Xim0g（x）均存在，且f(x)君(X),证明 lim f(x) >lim g(x)、X X0X X0证:设 lim f(x)=A , limX X0X X0g（x）=B，则0 ,分别存在10 ,20 ,使得当xo1时，有Af(x)，当 0x Xo2时，有 g(x) Bmin1, 2 ，则当0 xx0时，有COSXf(x) g(x) B从而AB 2 ，由得任意性推出A B即3、a2L am =A,利用夹逼定理证明：若 a1,a2,，am为m个正常数，则Hm其中 A=maxai,a2,，am

13、、 证：因为何飯na2InL amWmgAn，即n na2L am1mngAA，由夹逼定理得4次、利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若Xi =,x2=V2 ,，Xn+1=X? （n=1,2，则lim Xn存在，并求该极限、72, X27/2,有 x2X2Xi由数学归纳法知，对于任意正整数n有xn 1Xn ,即数列 xn单调递增。又因为x12，今设xk 2，则兀1J2 Xk22 ,由数学归纳法知，对于任意得正整数n有xn 2，即数列xn有上界，由极限收敛准则知lim xn存在。n解得b5、解:设lim xn b，对等式xn 1 n2，b 1 （由极限得保号性,3nl2n45nl2 nn

14、 1Jn2nVn :,111 -L22n,111 -3L尹3原式:= limn15 -求下列极限:(1)nlimn2 n24'n311 3 nn(2)因为 lim(1nJ2 Xn两边取极限得b 72b ,舍去）0,即当n，所以lim Xnnlimnlimn1 丄 cos n2)n 3n(2)n 13n 1时,¥ 就是无穷小量，而 cosn就是有72界变量，由无穷小量与有界变量得乘积就是无穷小量得:1lim ( -=)cos n0 ；nV2(3) Q lim/n2nlimn(4)lim(n Vn) limn一limn(2)n 3n(2)n 13n 1(1)窗|)n 1 lim3

15、n (1)n1a2)n1 1 3311 (1)n11 ；3n41 (扩31 (3)n13(5) lim -n11 L 12 L尹1 L36、2x 3x2 5x 4求下列极限:.x 3 lim x 3 x2 96x34 ;2x4 3x2 ;sinx cosxlim x _ cos2x2lim(x h)3 xl'm1(9)limE 3x 34X1 2，x x2 L(8)limxx sin xx sin x(10) xm (1x3)；(11) lim (x2sin1)、x 0x解: (1)limX 3 xlxm3 (x 3)(x3)1 lim x 3 x 3Q lim( x25x4)0,0(

16、2 x3)2x lim x 1 2x 35x0,即 lim.2x 3I 2X 1 x25x 4lim 6x 42x 2x4 3x2A_210;2 x2(4)sin x cosx limx - cos2x2. n nSin cos- 2 2cos nlimUL(x h) x lim(x h)2(xh)x x2(6)J2x 3 3 lim x 3 fxn(8)lim (x h)2 (x h)x x23x2 ；lim (2x 3) 9(U 2)x 3 (x 1) 4 (J2x 3 3)2(x 3)(77 2)(x3)(j2x 3 3)lim 2咚口 2)x 3 J2x 3 32r x xlimx 1

17、01Q limx xx sinx limX x sinx(10)(11)求下列极限2lim (x 1) (xx 11) L(xn 1)x(x1)(x21) L (xn1x 1)n(n1);1（无穷小量一与有界函数sinx之积为无穷小量）x1 sinxlim 1 ；x , Sinx1 xx) limxlimxlim*x 12xlimx 11(x2 x) (x2 x)2xVxx y/x=lim -3=x x门x x2)3x3(x2)( x 1J_x2)0 (1x)(1 xQ当x 0时，x2就是无穷小量,2 1它们之积x2sin就是无穷小量,x习题（其中a>0,aMl为常数）：1sin1就是有

18、界函数,x2 . 1x sin 一2-5即000。x1、sin5x3x2、tan2xsin5x3、lim xcotx;4、71 cosxcos5 x cos 2x7、cotx1 3sin x8、9、10、limxln(1 x) In x11、13、解:1、2、3、4、5、xm0arcs inx0 xsin5x limx 0 3xtan2xlimx 0 sin5ximxcotx14、sin5xlim X 0 3 5x sin 2xlimx 0 cos2xsin5x21sin2x-limgiim5 x 0 cos2xfx 0x cosxlimx0sinx3 2x x2 2xarcta nx0 x5

19、|. sin5x -lim3x 0 5x,2 1 lim x 0-53 ；sin 2x g-5"cos2x .5xgiim2x Wx 0sin5xcgimcos0sinx x 0limx5x12、v1 cosx limJ2sin 2 2.X sin 2Xxm0limX 0 2.x sin lim2 x 0 xcos5x cos2x2sinx27x . 一sin22x3xlimx勻im2x0.7sin -x27-X2limx2x2500gsin5x1 cos0 1 ；2)7.x sin 2x2.7sin-X7-x2.3sin- x3-x2.3sin - X23-x221(1 1)xx2

20、limx7、1 xx7、cotx!叫1 3sin x)IimJ1 3sin x)cosxsin x1 3cosxl'm0 (1 3sin X产Q lim(113si nx严_.cotx3si n x)e,lim3cos x 3x 03e8、令 u ax1，则x loga(1U)，0时，u9、10、11、limu 0loga(1 u)lim u 0 1-loga(1 U) U1limloga(1 ufu 01logaeIn a、xr a ilimx 0 x（利用了第limxln(1limxlim (ax 1) (a xx1)limx .a 1limx 0 xx .a 1 limx 08题

21、结论x) In xIn aIn a2lnl'm0In a)；limx1lim I n(1xlnx-)xlimx1 limxxln(1-)x3 2x2 2xlim12xlimx2xx2 2x2x2 2xe,limxx2x2 2xlimxx2x2 2xlim(12)xx xInlim exlim 丄 ln(1 丄)x2 exx玄lim 1 lim ln(1exxx0 Ine e(1 ”x1 2xlim (113、xx13、令arcsinx u，贝U x sinu ,当 xarcs inxulim limX 0X u 0 sinu14、令arctanx u，贝Uarcta nx limX 0

22、 XX tanu,当. u limu 0 tanulimu 0sinu0, u 1 sin ulimu 0 u0, u u gcosu1limgimcos uu 0 sinu u 01、1、证明：若当XTX0时,习题2-6(X) T 0H(x) T 0且（X）工0则当XT xo 时,（X）Hx）得充要条件就是limX X（X）（X）（X）=0、证：先证充分性、若limX X0（X）（X）（X）0,则 lim (1X X凶)=0,(X)即1 lim上X X (x)0,即 limX X（X）（X）也即lim 凶x x0 (x)所以当XXo时,（X）：（X）、再证必要性:若当XX0时（X）：(x)(

23、x)，则 r 1，所以 lim -("X凶=lim (1X X0(X)X Xo凶）=1 lim上（X）X 人（X）1lim上X 冷（X）2、证:3、综上所述，当若 H（X）证明:XT X0时，（X）Hx）得充要条件就是lim (x)(x) = 0、x x0(x)lim Hx)=0 且 lim(x)存在，证明 limX XdX X0(x)X X（X）=0、limX X0lim (X)0、X Xolim ('g0 0X x (x)若当 XT0 时，f(x)=0(xa), g(x)=o(xb)，贝y f(x) g(x)= o(xa b),其中 a,b 都大0(x)丿mX0 (x)l

24、imX X0（X）于0,并由此判断当XT0时，tanx sinx就是x得几阶无穷小量、 证：当 XT0 时，f(x)=o(xa), g(x)=o(xb) lim 缪 A(A 0),lim 呻X 0X 0 xbf(x) g(x)aX于就是：lim f(x)ag(x)X 0xa bB(B 0)当 X70 时，f(X)g(x)/ tan X sinx tan x(100 XaO(xa b),cosx)而当 X70 时，tanx O(x),1 cosx由前面所证得结论知，tan x(1 cosx)xb 00爭 xm? AB 0O(x2),O(x3),4、利用等价无穷小量求下列极限：sin ax1 co

25、skx(1)lim(b 丰 0)(2)lim2 ；X 0ta nbxX 0XlimX 0ln(1 X) 厂、，JlimX 0逅 J1 cosx ；- ;L2丄所以，当 xF 时,tanx sinx就是x得3阶无穷小量、x.ax-bxeearcta n xarcs in xlim (a砌)；X 0 sin ax sin bxIn cos2xIn cos3x解(1"叫$卒lim坐旦(8)设xmf(x) 3 =100，求 lim f(x)、tan bx x 0 bx b1 coskx lim02X 0 Xlim0nX 0丁1 X 1(kx)200 =/L. arcta nx00贏浪Xlim

26、 2.X 0 X2COSX)J1 X21lxm0；lim qX 0 X V2 v1 cosx71 X21limj1.limx 0X2 71 X2 1X 02 <2 71 cosx4ax bxe e(6)lim X 0 sin ax sinbxlim上学亠x 0 a b . a b 2cosxsinX2 2.e 1lim rrX 0 a b . a b2cosxsinX2 2axlimX 0 a b a b 2cosXX2 2ab)cos a_b Xa ba blim 一x 0(a1.lim必0X 0 ln cos3xln 1 (cos2xlim x 01 n 1 (cos3x 1)

27、63;(2x)2lim 2x 0 1 2 -(3x) 21 cos2x limx 01 cos3x(8)由X叫f(x) 32X100,及 lim x2x 0阿 f(x) 3所以bx /e 1c a b . a b 2cosxsinX2 2bxc a b a b 2cosX X2 2b(a b)cos-a2b Xlimx 01) cos2x 1 limX 0cos3x 1lim竺X 0 9x20知必有x叫 f (x)lim f(X)3、X 0习题2-71、研究下列函数得连续性，并画出函数得图形：3X(1) f(x)= c31,0x,1x 1,x 2;列 f(X)30,0, f(x)=x,1,xx

28、 1,诚x 1.解：(1) Q limx 0f(X) lim(x31) 1f(0) f(x)在x=0处右连续，又Q limf(x)limx 1f(x)lim(3 X)X 1iim(x3 1)lim f (X)2 f (1)X 1- f(x)在x=1处连续、呵f(x)阿3x) 1f(2)f(x)limx 1- f(x)在x=2处连续、又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续，综上所述,f(x)在0,2上连续、图形如下： Q lim f(X)x 1lim xx 1lim f(x)x 1lim f(x)x 1lim1 1x 1limx 1f(x) 1f(1)- f(x)在x=1处连续、又 xlim

29、1f(x)limx 1f(x)limx 1故limx 1f(x)limx 1f(x) f(x)在x=-1处间断，x=-1就是跳跃间断点、又 f(x)在(，1),( 1,1),(1,)显然连续、综上所述函数f(x)在 x=-1处间断，在(-1),( 1,)上连续、图形如下：2、说明函数f(x)在点xo处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同？又有什么联系？略、?试举例说明、3、函数在其第二类间断点处得左、右极限就是否一定均不存在 解:函数在其第二类间断点处得左、右极限不一定均不存在、例如f (x)1xx 0,x 0就是其得一个第二类间断点，但lim f(x) lim x 0即x 0x 0x 0

30、1,而 lim f(x) lim -X 0' ' x 0 x4、求下列函数得间断点，并说明间断点得类型:在x 0处左极限存在，即在X 0处右极限不存在、 f(x)=x21 f(x)= f(x)=解：(1)由3x 2 f(x)=sin x xsin x1 ixx ；xsin-、x2x 3x 20 得 x=-1, x=-2x2 1xim1f(x)xim1；x f(x)=x 22 x1)2)ximh2lim f (x)X 2/ x=-1就是可去间断点，x=-2就是无穷间断点、由sinx=0得xkn ,k为整数、lim f(x) limsinx x lim(1x 0x 0 sinxx

31、0xsin x(3)Q f (x)(1(1limx k(k 0)1x)x1x)xf(x)呵 f (x)01x)，e,lim f (x)x 0岬1 x=0就是跳跃间断点、 由 x2-4=0 得 x=2,x=-2、,x 2lim x 2x2 42xm. f (x)lim x 2 x- x=2就是无穷间断点xim2f (x)1x)xlimx1xim(1( x)勺12 x 214，,x=-2就是可去间断点、1 Q lim f (x) lim xs in-0, f (x)在 x=0 无定义x 0x 0x故x=0就是f(x)得可去间断点、5、适当选择a值，使函数f(x)=x 0'u，在点x=0处连

32、续、x,x 0解： f(0)= a,lim f (x) lim( ax)a,Pm f(X)lim ex 01,要f(x)在 x=0处连续,必须limx 0f(x)limx 0f(x) f(0)、即 a=1、6、设 f(x)= limxx ax a，讨论f(x)得连续性、解：f (x) limax ax a alimaa2x 1a2x 10 sg n(x)0所以，f(x)在(，0) U (0,)上连续,x=0为跳跃间断点、7、(1)求下列极限：. 2x lim ;x 2 x2 x 2 lim J3 2x X2x 0lim ln(x-1);x 2(4) lim arcsin J1 x21x -2lim (lnx)x、x e2x解:xmL22 2 21；顾。73