因式分解方法总结

1、因式分解方法总结因式分解方法总结一、定义定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘 积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 (也叫作分解因式).因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是 解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1. 分解要彻底(是否有公因式，是否可用 公式)2. 最后结果只有小括号3. 最后结果中多项式首项系数为正(例如: -3x2 x =x(-3x 1)三、基本方法(一) 提公因式法 ma mb me 二 m(a b e)如果一个多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因 式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取 公因式法.找公因式的一般

2、步骤：(1) 若各项系数是整系数，取系数的最大 公约数；(2) 取相同的字母，字母的指数取次数最低的;(3) 取相同的多项式，多项式的指数取次 数最低的；(4) 所有这些因式的乘积即为公因式(5) 如果多项式的第一项是负的，一般 要提出“ ”号，使括号内的第一项的系数成为 正数，提出-”号时，多项式的各项都要变号口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走， 留1把家守；提负要变号，变形看奇偶仞寸如：-am bm cm - -m( a - b - c)a(x_y)+b(y_x)=a(xy)_b(x_y)=(a_b)(x_y)注意：把 对扌变成2+扌)不叫提公因式 例1、分解因式x3-2x2-x(

3、2003年淮安市中考题) 角军：x3 _2x2 _x 二 x(x2 _2x _1)例2、993 -99能被100整除吗？还能被那些数整除？(二) 公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式1、平方差公式：2 2a -b 二(a b)(a _b)2、完全平方公式：2 2 2a -2ab b = (a - b)3、立方和公式：a3 b3 = (a b)(a2 _ab b2)4、立方差公式：a3 _b3 = (a _b)(a2 ab b2)52222、 a b c 2ab 2bc 2ca = (a b c)6、完全立方公式 :a3±

4、3a2b+3ab2士b3 =(a士b)37333222、 a b c -3abc = (a b c)(a b c -ab-bc-ca)例3、分解因式 a +4ab+4b (2003年南通市中考题) 解：a2 4ab 4b2 二(a 2b)2例 4、已知 a,b,c是 lABC 的二边，且 a2 b2 cab bc ca , 则ABC的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边 三角形 D.等腰直角三角形解军： a2 b2 c ab bc = 2a2 2b2 2c2 = 2ab - 2bc - 2ca=(a _b)2 (b _c)2 (c _a)2 =0二 a = b = c(三) 分组

5、分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于 四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.1. 分组后能直接提取公因式例5、分解因式am an bm bn.解:原式=(am - an) (bm - bn)=a(m + n十 + b( m 氷 n)每组之间还有公因式！=(m n )(a b)例6、分解因式2ax -10ay +5by -bx解法一：第一、二项为一组；解法二：四项为第一、四项为一组； 第第二、三项为一组。(2ax-bx) (-10ay 5by)x(2a _ b) _ 5y(2a _ b)b)(x _5y)xy - x - y 1解：原式 =(2ax_10ay) (5bybx)

6、原式=2a(x _5y) _b(x _5y)=(2a(2)=(x_5y)(2ab)=练习：分解因式(1 ) a2ab acbc2 2x - y ax ay原y)(x -y) a(x y) =(x y)(x - y a)2 2 2a -2ab b -c 2、 22. 分组后能直接运用公式 例7、分解因式： 解：= (x2 - y2) (ax ay) =(x 例8、分解因式： 解：原式=(a2 -2ab b2) -c2 = (a - b)2 - c2 =(a - b - c)(a - b c) 练习：分解因式(1)x2_x_9y2_3y ( 2)x2 一 y2 一 z2 一 2yz(四) 十字相乘

7、法 口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 1.二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式x2 (p q)x pq =(x p)(x q)进行分解特点：(1)二次项系数是1；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和 例9、分解因式:x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要 等于5.由于 6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有2X 3"的分解适合，即 2+3=5.解:x2 5x 6 = x2(23)x2 3(X 2)(x 3)1X 2+1X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个 因数

8、的积，且这两个因数的代数和要等于一次项 的系数.例10、分解因式：x27x 6解： 原式=x2 (一1) (6)x (一1)(一6) A二1-1(x_1)(x_6)-6+( -6)= -7练习、分解因式(1)(3) x2 4x 5 练习、分解因式(1)(3) x2-10x-242.二次项系数不为条件：(1) a = a,a2C114x 24x-2(2) a2 -15a 36y2_2y _151的二次二项式 axbx ca1(2) c =c1 c2(3) b = a© a2Ci分解结果 : ax2 bx c=(a-ix c1)(a2x c2) 例11、分解因式： 分析：13x2 -11

9、x 10a2C2b 二 a1c2a2q-2-5(-6)+( -5)= -11解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)练习、分解因式(1) 5x2 7x_6 3x2 -7x 2(3) 10x2 -17x 3(4)(2)2-6y211y103. 二次项系数为1的齐次多项式 例 12、分解因式：a2-8ab-128b2a的二分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 次三项式，利用十字相乘法进行分解。1x 8b-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 -8ab -128b2 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)(a 8b)(a -16b)4.二次项系数不为1的齐次多项

10、式例 9、2x2-7xy+6y2例 10、x2y2-3xy + 21X -2y把xy看作一个整体1-121 -2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)= -3解：原式=(X-2y)(2x_3y)解：原式=(xy-1)(xy-2)m2 -6mn 8n2练习、分解因式：(1)15x2 7xy-4y2a2x2 -6ax 8x2 _3xy 2y2练习、分解因式(3) a2 -ab -6b2思考：分解因式：abcx2 - (a2b2 c2)x abc(五) 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做 换元法.注

11、意：换元后勿忘还元.例11、分解因式(x2 x 1)(x2 x 212解：令y x2 x则原式 = (y+1)(y+2)12 =y2 +3y -10 =(y + 5)(y-2)2 2 2=(x x 5)(x x -2)= (x x 5)(x 2)(x -1)例12、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x 1)(x2)(x 3)( x 6) x2解：(1)设 2005=a，则原式=ax2(a21)xa=(ax 1)(xa)=(2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以 把四个因式两两分组相乘.原式 =(x2 7x 6)(x2

12、 5x 6) x2设 x2 5x 6 二 A，贝U x2 7x 6 = A 2x原式=(A 2x)A x2=A2 2Ax x22 2 2= (A + x) =(x +6x + 6)练习、分解因式(1) (x2 +xy + y2)2 _4xy(x2 + y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90(3) (a21)2 (a25)2 -4(a23)2(六) 拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补 上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于 提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解 要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变 形例 13、分解因式 bc(b e ca(c-a

13、)-ab(a 巾) 解：原式=bc(c a + a + b) + ca(c a) ab( a + b)二 bc(ca) bc(a b) ca(ca)ab(a b)二 bc(c _a) ca(c _a) bc(a b) -ab(a b)二(bc ca)(c _ a) (be _ ab)(a b)=c(c _a)(b a) b(c _ a)(a b)=(c b)(c-a)(b a)(七) 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将 其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公 式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须 在与原多项式相等的原则下进行变形 例14

14、、分解因式x2 4x 3解：原式= X2 +4x+4 _4 +3 = (x + 2)2 _1 =(x+2 +1)(x + 2_1) = (x + 3)(x + 1)(八) 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个 字母次数从高到低排列，再进行因式分解例15、分解因式 a2(b _c) +b2(c _a) +c2(a _b) 解：原式=a2(b c) a(b2 c2) (b2c c2b)2二(b c)a - a(b c) bc=(b -c)(a -b)(a -c)(九) 特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质 因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一 个因数写成2或10的和与差的

15、形式，将2或10 还原成x，即得因式分解式.例16、分解因式 X3 9x2 23x 15解：令-2，则x3 + 9x2 +23x +15 = 8 + 36 + 46 + 15=105将105分解成3个质因数的积，即105 = 3 5 7 注意到多项式中最高项的系数为 1 ,而3、5、 7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值贝0 x3 9x223x 15 =(x 1)(x 3)(x 5)(十)待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应 整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式 因式分解例17、分解因式 x4 _x3 _5x2 _6x -4解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因

16、而只能分解为两个二次因式，于是设 x4 -x3 -5x2 -6x -4 二(x2 ax b)(x2 cx d)432=x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd所以|a c八1ac b d = -5Iad+bc=6bd =4角军彳得a=1 , b=1 , c = 2 , d=4所以x4 _x3 _5x2 _6x _4 =(x2 x 1)(x2 _2x_4)例 18、分解因式 x2 xy -6y2 X 13y -6分析：原式的前3项x2 xy _6y则原多项式必定可分为(X 3y m)(x 2y n) 解：设x2 xy-6y2 x13y6 = (x 3y m)(x - 2y n

17、)*/ (x 3y m)(x _2y n) =x2 xy -6y2 (m n)x (3n - 2m)y - mn x xy 6yx 13y 6 =xxy 6y (m n)x (3n 2m)y -mn| m n = 1 对比左右两边相同项的系数可得3n2m = 13 ,解得 n = 3 mn _ _6二原式=(x 3y-2)(x-2y 3)例19、( 1)当m为何值时，多项式x2y2 mx 5y6能分 解因式，并分解此多项式(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为x 1和x 2，求 a b的值.(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x-y)，故此多 项式分解的形式必为(x 十y + a)(

18、x y +b)角军设x2 - y2mx 5y-6 =(xy a)(x - y b)贝Ux2 -y2mx 5y6 =x2- y2 (a b)x (b -a)yab|a b = m|a = -2a = 2比较对应的系数可得：(b a=5，解得：* b = 3或b = 3 、ab = -6m = 1m = -1.当m = _1时，原多项式可以分解；当 m =1 时， 原式=(x y 2)(x y 3)；当 m 1 时，原式=(x y 2)(x_y_3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如X+C的一次二项式。解：设 x3 ax2 bx 8 = (x 1)(x 2)(x c)贝U x3 ax2 bx 8 = x3