高一数学必修一知识点总结

1、高一数学必修1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：如：我校的篮球队员, 太平洋，大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ：A= 我 校 的 篮 球 队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作： N正整数集N*或N+ 整数集Z有理数集Q 实数集R

2、1) 列举法：a,b,c2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x|x-3>23) 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4) Venn 图 :4 、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意： A B 有两种可能(1 ) A 是 B 的一部分，； ( 2) A 与B 是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或 B A2 .“相等”关系：A=B （5 >5,且 5&

3、amp;5,则 5=5）实例：设 A=x|x 2-1=0B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集：如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A原B（或B £a）如果A B, B C ,那么A C如果A B 同时B A那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2联1个真子集 三、集合的运算运交集并 集补集算类型定由所有属于A由所有属于集合设S是一个集合，义且属于B的兀A或属于集合 BA是S的一个子素所组成的集的兀素所组成的集，由S中所

4、有小合，叫做A,B的集合，叫做 A,B属于A的元素组交集.记作的并集.记作：成的集合，叫做SA B (读作AA B (读作A中子集A的补集交B '),即并B'),即A B（或余集）A B= x|x A,=x|x A ,或记作CSA,即 S且 x B.x B).CsA二x|x S,且x A韦< S oj恩xA图示性A A=AA A=A(CuA)(CuB)质A =A =A=C u (A B)A B=B AA B=B A(CuA)(CuB)ABAABA=C u(AB)ABBABBA(CuA尸UA(CuA)=.二、函数的有关概念1 .函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某

5、个确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数 X,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A"B为从 集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , xGA.其中， x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的 值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x e a 叫做 函数的值域.2 .值域：先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法代换法3 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.4 .映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素 X

6、,在集 合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应f: A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“ f (对应关 系)：A (原象)B (象)”对于映射f： A” B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是 唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一 个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象。5 .分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.二.函数的性质1 .函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=

7、f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个 区间D内的任意两个自变量 X1 , X2 ,当X1<X2时,都有 f(x 1 )<f(x 2),那么就说f(X)在区间D上是增函数.区间D称为 y=f(X)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值 X1 ,X2,当X1<X2 时，都有f(X1)>f(X2),那么就说f(X)在这个区间上是减函数. 区间D.称为y=f(X)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y=f(X)在某个区间是增函数或减函数，那么说函 数y=f(X)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上 增函数的图

8、象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3) .函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法: 任取 X1 , X2 G D ,且 X1<X 2 ;作差 f(x 1) f(x 2)； 变形(通常是因式分解和配方)； 定号(即判断差f(xi)f(X2)的正负)；下结论(指出函数f(X)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(X)的单调性与构成它的函数 u=g(X),y=f(u) 的单调性密切相关，其规律：“同增异减”8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(X)的定义域内的任意一个 x,都有f( X)=f(X

9、),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f( x)= f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应名论：若f( - X)= f(x)或f( x) f(x) = 0 , 则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x)或 f( x)+ f(x) = 0 ,则 f(x)是奇函数.第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数募的运算1 .根式的概

10、念：一般地，如果xn a ,那么X叫做a的n次方根，其中n >1 ,且n G N *.负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作no 0 o当n是奇数时，Vana,当n是偶数时，际|a|a (a 0)a (a 0)2 .分数指数募 正数的分数指数募的意义，规定:n am (a 0, m, n N*,n 1)1 1* (a 0,m,n N ,n 1) m n mc方 - aa0的正分数指数募等于0, 0的负分数指数募没有意义3 .实数指数募的运算性质, r r r r s(1) a . a a(a 0,r,s R);r s rs(2) (a ) a(a 0,r,s R);r r s(3)

11、(ab) a a(a 0,r,s R).(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 y ax（a 0,且a 1）叫做 指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单 调递减非奇非 偶函数非奇非 偶函数函数图 象都过 定点（0,函数图 象都过 定点（0,1)1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a, b上,f(x) ax(a 0且a 1)值域是f (a),f(b)或 f(b),f(a)；

12、(2)若x 0,则f(x) 1;f(x)取遍所有正数当且仅当x R;(3)对于指数函数f(x) ax(a 0且a 1),总有f(1) a;二、对数函数(一)对数1 .对数的概念：一般地，如果ax N (a 0,a 1),那么数x 叫做“ a力底N的对数，记作：x logaN (a底数，N - 真数，log a N -对数式)说明：注意底数的限制a 0,且a 1 ; ax N log a N x ； 注意对数的书写格式.两个重要对数：常用对数：以10为底的对数lgN ; 自然对数：以无理数 e 2.71828为底的对数的对数 lnN .指数式与对数式的互化募值 真数ab= NlogaN = b底

13、数指数对数(二)对数的运算性质如果a 0,且a1,M 0, N 0,那么： loga(M N) log a M + log a N ；分, M log a - log a M log a N , N loga M n n loga M (n R).注意：换底公式log a b log c b ( a 0,且 a 1 ; c 0,且 c 1 ; b 0). log c a利用换底公式推导下面的结论(1) logam bn loga b ； (2) loga b -1一 .mlogb a(二)对数函数1、对数函数的概念：函数y logax(a 0,且a 1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义

14、域是（0, +X）.注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y 210g2X, y log 5个都不是对数函数，而5只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制：（a 0,且a 1）.2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x>定义域x>00值域一为R值域为R在R上在R上递减递增函数图象函数图象都都过定点过定点（1 ,(1 ,0)0)（三）募函数1、募函数定义：一般地，形如y x （a R）的函数称为募函数，其中为常数.2、募函数性质归纳.（1）所有的募函数在（0, +x）都有定义并且图象都过点（1） 1）；（2） 0时，募函数的图象通过

15、原点， 并且在区间0,）上 是增函数.特别地，当 1时，募函数的图象下凸；当0 1 时，募函数的图象上凸；（3） 0时，募函数的图象在区间（0,）上是减函数.在 第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在 y轴右方无限 地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地 逼近x轴正半轴.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D),把使f(x) 0 成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实 数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f (x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点.3、函数零点的求法：(代数法)求方程f(x) 0的实数根；(几何法)对于不能用求根公