高三数学整理解排列组合应用问题的十种思考方法

1、“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑： 对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列，通常 是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。例1. (1)由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。二、“捆”在一起：有要求元素相邻(即连排)的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。例2. ( 1)有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有

2、 种。(2)有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。三、插空档：有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题，可以制造空档插空。例3. (1)五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起， 有 种陈列方法。(2) 6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。四、减去特殊情况(即逆向思考)：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。例4. (1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。(2)由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。(3)集合A有8个元素，集合 B有7个元素，A B有4

3、个元素，集合C有3个元素且满足下列条件：C A B , C A , C B 的集合C有几个。(4)从6名短跑运动员中选 4人参加4 100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排： 排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。例5 (1)用1、2、3、 9这九个数字，能组成由 3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。(2)有8本不同的书，从中取出 6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名(仅一人)得 2本,其它每人一本，则共有 种不同的奖法。(3)有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有 种分配方法。六、除以排列数： 对某些元素有顺序

4、限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定 顺序元素个数的全排列。例6 (1)有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么 不同的排法有 种。(2)由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字 小于百位数字，则这样的数共有 个。(3)书架上放有5本书(15册)，现在要再插入 3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。七、对象互调： 有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果 又易理解。例7. ( 1) 一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有 种放映次序。(2) 一排有8个座位，3人

5、去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。(3)有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有 种。八、分情况研究： 分情况研究(即分类计算)复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，尤其 对含数字“ 0”的排列，常分“有0”及“无0”两种情况研究，在“有 0”时，排列的“首位” 又是“特殊”位置要优先考虑。例8. (1)从编号为了 1、2、3 9的九个球中任取 4个球，使它们的编号之和为奇数，再把 这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？(2)用0、1、2、3 9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两

6、个偶数字的五位数有 多少个？(3)用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第几个数？排列与组合(思考方法18训练) 一.优先考虑1 .现有6名同学站成一排：(1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？(2)甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？2 .用0,1,2, 3,4, 5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？二.插空3 .有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？4 .有4男4女排成一排，要求(1)女的互不相邻有 种排法；(2)男女相间有 种排 法。三.捆在一起5 .由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的 5位数，

7、其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起， 则不同的5位数共有 个。6 .有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。四.逆向思考7 .某小组有6名同学，现从中选出 3人去参观展览，至少有 1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为 。8 . 6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？五.先组后排9 .有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有 种参加方式。10 .从两个集合 1,2,3,4和5,6,7中各取两个元素组成一个四位数，可组成 个数。六.除以排列数11 .书架上放有6本书，现在要再插入 3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放

8、法。12 . 9人(个子长短不同)排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种排法。七.对象互调：13 .某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是 。14 .三个人坐在一排 7个座位上，(1)若3个人中间没有空位，有 种坐法。(2)若4个空位中恰有3个空位连在一起，有 种坐法。八.分情况(即分类)15 .用0,1,2 , 3,4组成无重复数字的5位数，若按从小到大的顺序排列， 则数12340是第 个数。16 .某车间有8名会车工或钳工的工人，其中 6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中选出2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种？九.和、整除、倍数、约数问题。例9.和：

9、（1）用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中I、能被5整除的数有多少个？n、能被3整除的数有多少个？出、能被6整除的数有多少个？倍数：（3）在1、2、3100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是的倍数，这样的取法共有多少种？（取 7,11与取11,7认为是同一种取法）（4）在1、2、330这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数,共有多少种不同的取法？约数：（5）数2160共有多少个正约数（包括 1和本身在内）？其中共有多少个正的偶约数？十

10、、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组（分堆）的区另I。例10. （1）将12本不同的书I、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有 种分法。n、平均分成三堆，有 种分法。2 2） 7本不同的书I、全部分给6个人，每人至少一本，共有 种不同的分法。n、全部分给5个人，每人至少一本，共有 种不同的分法。（3）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有 种分法。排列与组合（思考方法全训练

11、）一 八：1 . 5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同的站法共有 种（用数字作答）。2 . 8人排成一排，其中甲、乙、丙三人中有 2人相邻，但这3人不同时相邻的排法有 种.3 .现有6张同排连座号的电影票，分给3名老师与3名学生，要求师生相间而坐，则不同的分法 数为.4 .在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取 5件，其中至少有2件次品的抽法有 一种。5 .现从某校5名学生干部中选出 4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是 .（写出

12、具体数字）6 .将A、B、C、D、E、排成一排，其中按 A、B、C顺序（即A在B前，C在B后）的排 列总数为。7 .如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有 8 . （1）如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）（2）同室4人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这4张贺年卡不同的分配方式有 种。九.和、整除、倍数、约数问题17. （1）由2、3、4、5组成无重复数字的四位数，求：这些数的数字之和；这些数的和。（2）由0、2、5、7、9这5

13、个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数？18. （1）在1、2、3、4、50这50个自然数中，每次取出 2个（无论先后），使他们的 积是13的倍数，这样的取法有多少种？（2）420共有多少个正约数？14175共有多少个正约数？十.分配、分组问题：19. 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法?甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。 一人一本、一人一本、一人四本；有 种分法。20. 一般地，现有 6n本不同的书，分给甲、乙、丙三人，甲得 n本、乙得2n本、丙得3n本，则有 种分法。

14、分给三人，一人得 n本、一人得2n本、另一人得3n本，则有 种分法。分给三人，甲、乙各得 n本、丙得4n本，则有 种分法。分给三人，其中二人各得 n本，另一人得4n本，则有 种分法。分成三堆，一堆 n本、一堆2n本、一堆3n本，则有 种分法。分成三堆，有二堆各 n本，还有一堆4n本，则有 种分法。.优先考虑:1 . (1)法一：(先考虑特殊元素甲)P4P5 480种；法二：(先考虑特殊位置头尾)P52P4 480种；(2)法一：P5(甲在尾)+目目已4(甲不在尾)=120+384=504 ;(或法二：P6 2P5 P4 504种)；2 .先考虑首位再其它：C1P54 600o二.插空：3. P

15、3P43 144 ； 4. (1) P4P54 2880; (2) 2P4P4 1152。三.捆在一起： 5. P2P2P? 24；6. P63P2P4 5760。四.逆向思考：7.令小组中的女生数为 X,则：C3 C3x 16 x 2;8. P6 P5 600 o五.先组后排： 9. C2P3 36 ； 10. C2c32F4432 。六.除以排列数：11. P9 / P6 504 (即 P93 504 ) ; 12. P8/(P4P4) 70。七.对象互调：13. P52 20； 14.(1) C5P3 30; (2) P3P42 72。八.分情况(即分类)：15.P3p21 9；16.P

16、32c1c2C3c527。排列与组合(思考方法全训练)参考答案八：1 . C4 P3P3 )即：先前，再后)；2. P5P2P6 21600 ; 3. 72; 4. c2q0 C% c3c：97 ； 5. C5c4P3 180 (即：先组，再捆，后排)；6.120;7. 56;8.( 1)2 F4P4372；( 2)9.九.和、整除、倍数、约数问题17. (1)由2、3、4、5组成无重复数字的四位数有P4个，而每一个数的各位数字之和都是2 3 5 7 17 ,所以所有四位数的数字之和是P4(2 3 5 7) 408。如2在个，十，百，千位上的情况各有P3次，同理3, 5, 7的情况与2相同，所

17、以这些数的和为：P3(2 3 5 7) (1 10 100 1000) 113322。(2)不含2的有：P31P3 18 ；不含5的情况也为：P31P3 18 ,故共有36无重复数字且能被3整除的四位数。18. (1) :由1 13k 50 k 3.85,:这50个自然数中有3个是13的倍数，：有C1 C3c 47 1 44种13取法。(2) 420 22 3 5 7,:正约数有：3 2 2 2 24 个。 14175 34 52 7 ,:正约数有：4 3 2 24 个。十.分配、分组问题：W/4%木鼻fT)4匕 E0c 1 tft 2 c 2:3 3 m ri -=rc1c2c3八1八2cc/ 垢刀忻.3尢中C6冉乙C 5后内C3)则有C6c5c3C6c560(种