八上培优半角模型

1、八上培优5半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2一套a 的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角 形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化 而已。证明过程一般要证明两次全等。F面是新观察第34页14题1. 如图，四边形 ABCDK / A=ZC=90，/ D=60，AB二BC E、F，分别在 AD CD上，且

2、ZEBF=60 .求证：EF=AE+CF2.如图2,在上题中，若E、F分别在AD DC的延长线上，其余条件不变，求证:AE=EF+CFA3.如图，/ A二/ B=90° , CA=CB=4, / ACB=120，/ ECF=60，AE=3, BF=2,求五边形ABCD的面积.4.如图1.在四边形 ABCD中.AB=AD / B+Z D=180 , E、F分别是边 BC CD上的点，且/ BAD二才EAF(1)求证：EF=BE+DF(2)在(1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点 E、F分别运动到BC CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE DF之间的数量关系.CE圏23.

3、如图3,在四边形ABDC中, Z B+Z C=180，DB=DC / BDC=120，以 D为顶点作一个60的角，角的两边分别交 AB AC于 E、F两点，连接EF,探索线段BECF EF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB=?AC, Z BAC=90，?Z ?MAN=4° ,过点 C作 NC?L AC交 AN于点N,过点B作BM垂直AB交AM于点M,当/ MAI在/ BAC内部时，求证：BM+CN?=MN;证明:延长 MB到点 G,使 BG二CN连接 AG 证ACN（SAS）AN二AG/BAG= / NAC. !_/ GAM/ GAB + /

4、BAM玄 CAN+Z BAM=45 = L / MAN, < AMNmAMG(SAS), ' / MN= MG= BM + BG= BM NC.证明二： （此证明方法见新观察培优第 27页例 3） 如图，在 的条件下，当AM和AN在AB两侧时，（1）的结论是否成立？请说明理 由.解:不成立，结论是:MN=CN一 BM,证明略.基本模型二 120 °套 60 °2. 如图， ABC中 ,CA=CB,Z ACB=120 ,E 为 AB上一点，Z DCE=60 , Z DAE=120°,求证:DE=BE 证明:（补短法）延长EB至点F,使BF=AD连接CF

5、,则 CBFA CAD CEDA CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图, ABC中 ,CA=CB,Z ACB=120，点 E为 AB上一点，/ DCEZ DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.证明:（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF，易证 CBFA CAD CE医 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF二BE.比较：新观察培优版 27 页例4如 图，ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角，/ BDC= 120的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 ABAC于M N,连结MN,试求 AMN勺周长.分析:由于/

6、 MDN=60 , Z BDC=120，所以Z BDM十/ CDN=60，注意至J DB=DC 考虑运用“旋转法”将/ BDM和/CDN移到一起,寻找全等三角形。另一方面 ， AMNMN= BM+CN证三角形全等解决.新观察培优68页 例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上,OC平分/ ACB.(1)求A点坐标;如图1, AQ 在/ CAB内部，P是AQ上一点， 满足/ACBM AQB, AP二BQ试判断CPC的形状，并予以证明；如图2. BD丄BC交y轴负半轴于 D. / BDO=60 , F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足/ CFD£ E=180

7、° .当F在AC上移动时，结论:CE+CFFt不变;CE- CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值分析:(1)由/ A0C BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由厶 ACPA BCG得 CP二CQ.由BD丄BC, / BDO=60，可证得等边 ABC.由角平分线和 DB_± BC的条件，运用对称性知 DA丄AC,连结DA,加上条件/ CFD+Z E=180°，可证得 ADF BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2 a。套a4.(1)如图 1,在四边形 ABC中, AB=AD,Z B+Z D=180,E,

8、F分别是BC,CDh的点，且/ EAF=1 / BAD 求证:EF= BE+ DF;2 如图2,在(1)的条件下，若将 AEF绕点A逆时针旋转,当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时,贝y EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE- DF的周长 AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN青想解:(1)EF二BE+DF,延长 FD到点 G,使 DG二BE连接 AG,< ABEAADG (SAS),.二AE = AG,Z BAEZ DAGZ EAF=1 Z BAD,2/ GAF=/ DAG# DAF玄 BAE+Z DAF玄 BAD- / EAF= / EAF, /-Z &

9、#39;EAF= /GAF, < AEFAGAF(SAS),. / EF= FG, vFG=DG+ DF=BE+ DF,EF二BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题:4.探究：如图，点 E、F分别在正方形ABCD的边BC CD上, Z EAF=45，连结EF,求证：EF=BE+DF应用：如图，在四边形 ABCD中,点E、F分别在BC CD上, AB=AD Z B+Z D=90°,5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形 ABCD勺边BC CD上，/ EAF=45，连接EF,求证：EF

10、=BE+DF(1) 思路梳理 AB=AD 把 ABE绕点A逆时针旋转90 °至 ADG可使AB与AD重合./ ADGM B=90°,aZ FDG=ADG# ADC=180，则点 F、D、G共线.根据,易证 AFG,从而得EF=BE+DF(2) 类比引申如图 2,四边形 ABCD中, AB=ADZ BAD=90 点 E、F分别在边 BCCD上, / EAF=45 .若时，仍有/ B、/ D都不是直角，但当/ B与/ D满足等量关系EF=BE+DF请给出证明;(3) 联想拓展如图 3,在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 点 D、E 均在边 BC上，且/ DAE=45

11、 , 猜想BD DE EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图 1,在四边形 ABCD中，AB=AD / B=Z D=90°, E、F 分别是边 BC CD上的点，且AE=AF / EAF=1 / BAD现有三种添加辅助线的方式：延长EB至G,2使BG=BE连接AG延长FD至G,使DG=BE连接AG 过点A作AGIEF,垂 足为G;选择其中一种方法添加辅助线，求证： EF=BE+FD(2)如图 2,在四边形 ABCD中, AB=AD 若/ B+Z D=180°,Z EAF=1 / BAD 证明2(1) 中结论是否还成立?CD(3)如图 3,在四边形 ABCD中

12、, AB=AD / B+Z ADC=180 , E、F分别是边 BC延长线上的点，且/ EAF=1 / BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明;2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.AF :IB £ C G 为电图1 图1-1FCA5FB E C 罰-2DFADC 图2AB尸DCE 图3& (1)如图1,在四边形 ABCD中, AB=AD/ B=Z D=90°,E、F分别是边BCCD上的点，且/ EAF=_ / BAD 求证：EF=BE+FD2(2)如图 2,在四边形 ABCD中, AB=AD / B+Z D=180°,E、F分别是边B

13、CCD上的点，且/ EAF / BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立,2请证明；若不成立，请写出线段EF、BE FD它们之间的数量关系，并证明.(3)如图 3,在四边形 ABCD中, AB=AD / B+Z ADC=180 , E、F分别是边 BCCD延长线上的点，且'eaf=2 Z BAD ("中的结论是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请写出线段 EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?/ ACF玄 FDCOF二CEA3 X(1)求B点坐标;(2)如图2,若C为x正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角 ACDZ

14、ACD=90 ,连接0D求/ AOD的度数;(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰 Rt EGH过A作x轴垂线交EH于点M,连FM等式AM=FM+O是否成立？若成立，请说明;若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作AE10B于E,0B=8- A (4, 4),-B (8, 0); 0E=4(2)如图所示，作 AE丄0B于E, DF A0B为等腰直角三角形，且 AE丄丄 0B于 F, ACD为等腰直角三角形,0B/. 0E=EB=4 AC二DC/ ACD=90即/ ACF+Z DCF=90 ,/ FDC/ DCF=90 ,又

15、/ DFC=/ AEC=90 ,OF二DF DFCA CEA(AAS), EC=DF=4 FC=AE AOB为等腰直角三角形,- A (4, 4),/ AOB=45 , AE=OE=4/ AODM AOB# DOF=90 ; FC=OE 即卩 OF+EF二CE+EF(3) AM=FM+O成立，理由：如图所/ AEN# OEM=45示，在AM上截取AN=OF连EN又# AEO=90 ,- A (4, 4),# NEM=45 =# FEM AE=OE=4又 EM二EM又# EAN# EOF=90 , AN=OF NEMA FEM( SAS, EANA EOF( SAS), MN=MJF# OEF#

16、 AEN EF=EN二 AM-MF二AM-MN二AN又 EGH为等腰直角三角形,二 AM-MF=OF即 AM=FM+OF# GEH=45 ,即# OEF# OEM=45 ,【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角 形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，直线L交x轴、y轴分别于 A B两点，A(a, 0) B(0, b),且(a-b) 2+|b-4|=0(1)求A B两点坐标;(2) C为线段AB上一点，C点的横坐标是3, P是y轴正半轴上一点，且满足 / OCP=45，求P点坐标;(3)在(2)的

17、条件下，过B作BD丄OC交OC OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且/ CEA=/ BDO试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.(1)解：( a-b) 2+|b-4|=0， A (4, 0)，B (0，4);3.如图，已知 A (a，b)，AB丄y轴于B，且满足|a-2|+(b-2 ) 2=0，(1)求A点坐标;(2)如图1,分别以AB AO为边作等边三角形 ABCnAOD试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由;(3) 如图2,过A作AEL x轴于E,点F、G分别为线段0E AE上两个动点,满足/ FBG=45，试探究晋的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说

18、明理由.2017-2018江汉期中 如图点 卩为ABC的外角/ BCD勺平分线上一点，PA二PB(1)求证：/ PAC= PBC(2)作 PE1BC于 E, 若 AC=5 BC=11,求 SA PCEPBE(3)若M N分别是边AC BC上的点，且/ MPN/ APB则线段AM MN BN2E, PFL AC于 F,(2)如图2,过点P作PFLAC于F, PC平分/ DCB PE二PF在 Rt PAF和 Rt PEB中, PE! BC CP是/ BCD的平分线, Rt PAF Rt PEB P CFA PCEPF=PEPAPB, PE二PF / PCF=/ PCE PC二PC CF=CE由（1

19、）知，Rt PAF Rt PEB在 PMAjn PQB中, AF=BE PM二PQ/ MPA=QPB AF二AC+C, BE=BC-CE/ APM/ QPA/ APQ/ QPB AC+CF=BC-C,E即：/ APB玄 MPQ二 5+CF=11-CE CE=CF=3/ MPN/ APB2 / MPN/ MPQ2/ MPN/ QPN S pfc = Spec ,在MPN和"PC中, Rt PAF Rt PEB S PAF二S PEB , MN=QN-S PCE :S PBE = S PFC : Sa PFA BN=AM+MN11= iCFX PF: IaCX PF22【点评】此题是三角

20、形综合题，主要二CF: AC=3（3+5）=3： 8；考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义， 解（1）的关键是判断出PE二PF解（2）的关键是求出CE=CF=3解（3）的关键是构造全等三角形判断出/ APB玄MPQ（3）如图3,在BC上截取BQ=AM是一道中等难度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中, AB=AC射线BM BN在/ ABC内部,分别交线段AC于点G H.(1)如图 1,若/ ABC=60、/ MBN=30，作 AE1 BN于点 D,分别交 BC BM于点E、F.求证：CE=A(G 若BF=2AF连接CF,求/ CFE的度数;(2)

21、如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若/ BFE玄BAC=2/ CFE直接写出邑匹Sv ACF角形的性质得到/ BAC玄ACB=60 , AB=CA求得/ BFD玄AFG=60，推出/EAC= GBA证得 GBAA EAC,根据全等三角形的性质即可得到结论；如图 1,取BF的中点K连接AK由BF=2AF推出 FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到/ FAK二/ FKA求得/ AKF = - / BFD = 30° ,根据全等三角形2的性质得到 AG=CE BG=AE / AGB= AEC推出 GAKA EFC,根据全等三角形的性质得到/ CFE玄AKF即可得到结论;(2)如图2,在BF上取BK=AF连接AK,推出/ EAC玄FBA根据全等三角形的性质得到SABK二Sacf , / AKB玄AFC证得 F