线性代数试题及答案

1、-3 -（试卷一）填空题（本题总计20分，每小题2分）a113a120a213a2200611.排列7623451的逆序数是2 .若 a11 a12 1,则a21 a22'3 .已知n阶矩阵A、B和C满足ABC E,其中E为n 阶单位矩阵，则B1 6。4 .若A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有唯一解的充分要条件是5 .设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4,则以A为 系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数 为_2 o10 06 .设A为三阶可逆阵，A1 2 1 0 ,则A* 3 2 17 .若A为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax 0有 非零解的充分必要条件是12345已知五阶行列式

2、30412D 1111111023543219 .向量（2,1,0,2）T的模（范数）。10 .若 1 k 1T与 1 2 1T正交，则k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1 .向量组1，2，r线性相关且秩为S,则（D）A r sB . r sC . srD . s r2 .若 A 为二阶方阵)且 |A 2E 0,2A E 0,3A 4E 0)则 A (A)A 8B .8D. *33 .设向量组A能由向量组B线性表示，则(d )A . R(B) R(A)B , R(B) R(A)C . R(B) R(A)D . R(B) R(A)4 .设n阶矩阵A的行列式等于D,则kA等于(B) kn

3、A(C) kn1A。c(A) kA(D) A5.设n阶矩阵A,B和C,则下列说法正确的(A) AB AC 贝f B CB 0(C) (AB)T ATBT(B) AB 0,贝1J|A 。或(D) (A B)(A B) A2 B2：、计算题（本题总计60分。1-3每小题分,4-7每小题9分）1 .计算n阶行列式D2222222322222222n 122n2 .设A为三阶矩阵，a*为A的伴随矩阵, 且 A 2）求（3A） 1 2A3. 求矩阵的逆4. 讨论 为何值时，非齐次线性方程组2 有唯一解；有无穷多解；无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线 性方程组的基础解系和此方程组的通解。x1x

4、2x3x4-11 -2x13x2 x3 x4x1 2x3 2x4 56. 已 知 向 量 组 1 1 0 2 3T 、2 1 1 3 5T 、3 1 1 3 1T、4 1 2 4 9T、5 1 1 2 5T， 求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示1107. 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量102（本题总计10 分）设为AX bb 0的一个解，i, 2LL nr为对应 次 线 性 方 程 组 AX 0的 基 础 解 系 ， 证 明1, 2L L nr, 线性无关。（答案一）,、填空题（本题总计20分，每小题2分）1 0 0115； 2、3； 3、CA； 4、R

5、 A R(A,b) n； 5、2； 6、2 10；3 2 17、 RAn； 8、0; 9、3;10、1.二、选择题（本题总计10分）每小题2分1、D；2、A; 3、D;4、C；5、B入计算题（本题总计1-3每小题分,4-7他每小题9分)1、ri2。 3,4, ,n)2211 ( 2) 1 2(n3) (n2)2(n 2)!（此题的方法不唯一，可以酌情给分。解:(1)AB2A101111111712163.设A为三阶矩阵为A的伴随矩阵,求(3A) 1*2AAn1-A A*2A(3A)1 *2A3A2A16274、解:(A, E)11-3分320 -6 分01(1)0r2(1)13(1)故A1A

6、1Aa公式求得结果也正确。）5、解;(A,b)6、(D(2)(3)1(2)(1唯一解:131r2r103A022(1)2(1R(A) R(A,b)12112 r3 r211213,无穷多解：R(A) R(A,b) 3 无解： R(A) R(A,b)（利用其他方法求得结果也正确O解:X2X1X21 1(A,b)2 31 02x3X32x3X32X40x4 02x4 5x43基础解系为53-0211102-)-3分7分-920 -61X3X40,得一特解:503 -7 分0故原方程组的通解为：522（此题结果k1 1 k2 203 k1 1 卜？ 1）其中 KN R-9 分001表示不唯一，只要正

7、确可以给分。）1107、解：特征方程|A E|4 30（ 2）（ 1）2从而1021 2, 2 3 1（4 分）当1 2时,由（A 2E）X 0得基础解系1 （0,0,1）T ,即对应于1 2的全部特征向量为 八仕0） （7分）当2 3 1时，由（A E）X 0得基础解系2 （1, 2,1）T,即对应于2 3 1的全部特征向量为k2 2（k2 0）四、证明题（本题总计10分）证：由1,2LL nr为对应齐次线性方程组AX 0的基础解系，则1，2LL nr线性无关。（3分）反证法：设1，2LL nr，线性相关，则可由1，2LL nr线性表示，即： 1 1 rr （6分）因齐次线性方程组解的线性组

8、合还是齐次线性方程组解，故 必是AX 0的解。这与已知条件为AX b b 0的一个解相矛盾。（9分）.有上可知，1，2LL nr，线性无关。（10分）（试卷二）一、填空题（本题总计20分，每小题2分)1 .排列6573412的逆序数是. 2x 112 .函数f(x) X X X中x3的系数是 . 12 x3 .设三阶方阵A的行列式1A 3,则(A*)1 = A/3.4 . n元齐次线性方程组AX=0有非零解的 充要条件是.25 .设向量(1, 2, 1)T)= 正交)则26 .三阶方阵A的特征值为1, % 2,则A =1 217 .设 A 1 0 2 1 )贝1J A0 0 3设A为8 6的矩

9、阵，已知它的秩为4,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维9 .设A为n阶方阵，且1a=2 则(3A)12 0 0r ,10 .已知A 2 x 2相似于B3 1 11、选择题(本题总计10分，每小题2分)1. .设n阶矩阵A的行列式等于D,则-5A等 于.(A)(5)nD(B)-5 D (C) 5 D(D)(5)n1D2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 (A)矩阵A有n个线性无关的特征向量(B)矩阵A有n个特征值(C)矩阵A的行列式|A 0(D)矩阵a的特征方程没有重根(A)3. A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有 唯一解的充要条件是.R(A,b) m(B) R(A)

10、 m- 15(C)(D) R(A) R(A,b) n4.设向量组A能由向量组R(A) R(A,b) nB线性表示，则()(A) . R(B) R(A)(B) . R(B) R(A)(C) . R(B) R(A)(D) . R(B) R(A)5.向量组1, 2,l , s线性相关且秩为r , 则.(A) r s (B) r s (C) r(D) s r入计算题(本题总计60分，每小题10分)1.计算n阶行列式:2.已知矩阵方程 AX A X ,2 2 0A 2 1 3 .0 1 02222232222求矩阵222222In 122 nX,其中3 .设n阶方阵A满足A2 2A 4E 0,证明A 3

11、E可逆, 并求 (A 3E) 1 .4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:x1 x2 x3 2x4 3 2x1 x2 3x3 8x4 83x1 2x2 x3 9x4x2 2x3 3x445求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示212314,21,33,45.20126已知二次型f(x1 ,x2,x3 ) 2x12 5x225x324x1x24x1x3 8x2x3，用正交变换化f(Xl,X21X3)为标准形，并求出 其正交变换矩阵Q分)设b1 a1 , b2 a1 a2, L ,bra1 a2 Lar , 且向量bi,b21,br 线性(本

12、题总计10 分，每小题10组ai,a21,ar线性无关，证明向量组- 12 -无关.（答案二）填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 17 2. -2 33A4.26.-27. 6a1 或1 2-0260 02 9、可 10、x20, y2:、选择题（本题总计10分，每小题2分）1.A 2. A 3.C 4.D 5. B入计算题（本题总计60分，每小题10分）1、 解：D i2(i 34, ,n)120004分100 22122222200n30001 ( 2) 1 2(n 3) (n 2)2(n 2)!的方法不唯一，可以酌情给分22222222010000n30000n22027分0n 2

13、10分(此题)2,求解AX A X）其中- 23解：由AX A X得220A 2130101 X AE A分)120220A E,A 2 0 32 1 3011010(3(6 分 )100226r010203001213分)所以226X 203213(10 分 )3 解： 利用由A2 2A 4E 0可得：(A 3E)(A E) E分(A 3E)(A E) E7 分 故 A 3E 可 逆 且(A 3E) 1 (A E)10 分4 求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系x1x2x3 2x4 32x1 x2 3x3 8x4 83x1 2x2 2x3 9x4x1 2x2 3x3

14、411解：（A b）213 20119523412311123388r 0 12341002 1r 0101 0: 0011 20000 0X12x4 1X2X40（6分）X3x42（2分）（4分）则有取X4为自由未知量，令X4。，则通解为:X21X210cX312X410（8分）对应齐次线性方程组的基础解系为：（10 分），并将其余5.求下列向量组的秩和一个最大无关组向量用最大无关组线性表示.解:12342 12 34 13 52 0 122123011101112 12 30 1110 0 0 010-1 20 1110 0 0 0（2分）1,2为一个极大无关组.（4 分）设4y1 1y2

15、 2x1 1X2 2解得X1X2V11y21(8分)6解则有f (Xi，X2，X3)2xf的矩阵5x； 5X2222524征多项式（）（1)2(10)4X1X2245(44X1X3 8x(2分）1的两个正交的特征向量P110的特征向量P3正交矩阵Q12201 21 24 3 21 3 21. 3 2父变换X Qy ：标准形f y22、210 y3四、证明题（本题总计10b1 a1,b2 a1 a2, ,br a1 a2ar,且向量组,a2, ,ar明向量组b1,b2,br线性无关.%,%,L /1a12 (a1(12 L,使得a2) L r(a1 a2 L a) 0r)a1 ( 2 Lr)a2

16、 Lrar0b2+L分）A的特P2分）证明：设存在rbr=0化也即简 得-25又因为a1,a2,L ,ar线性无关)则(8 分)解得所以，bL b2,L , 线性无关.(试卷三)、填空题(本题总计20分，每小题2分)1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2n)(2n 2)L 2 的逆序数为a b c d2、设 4 阶行列式 D4 d a c d 则 Ai A21 A31 A41 b d c a 7 ,7a d c b1 10 33、已知 A 0 2 7 ,贝U A* 1 00 24、已知n阶矩阵A、B满足a B BA,则E B 15若A为n m矩阵，则齐次线性方程组Ax 0只 有零解的充分必

17、要条件是6、若 A 为 n m矩阵,且 R(A) 3 min n,m,则齐 线性方程组Ax。的基础解系中包含解向 量的个数为7、若向量 1 2 3T与向量 11T正交，则&若三阶方阵A的特征多项式为A E|( 1)( 1)2 ,贝(J A -17 -9、设二阶方阵A 2i、B 1）已知|A 6"B 1, 3 22贝|A B IO、设向量组1,2, 3线性无关，则当常数l满足 时，向量组 2 1, 3 2,13线性无关.:、选择题（本题总计10分，每小题2分）1、以下等式正确的是A.ka bkc da bkc db d a bd c dka kb k kc kdD.2、 4阶行

18、列式det包)中的项 a11a33a44a22 和 a24 a31al3 a42 的符号分别为（）A.正、正C .负、负3、设A是mn矩阵,B,正、负D .负、正C是n阶可逆阵，满- 29A.C .rArB都不正确4、设A是m n矩阵）且R（A） m n ）则非齐次足B = AC.若A和B的秩分别为rA和rB 则有（）rArBD.以上线性方程组Ax b()A.有无穷多解B ,有唯一解C .无解D.无法判断解的情况5、已知向量组1,2,3, 4线性无关，则以下线 性无关的向量组是()A12 , 23 , 34,41B 12,23,34,41c 1 2 , 2 3 , 3 4, 4 1D 1 2

19、, 2 3 , 3 4, 4 1入计算题(本题总计60分，每小题10 分)1.求矩阵a 2 41的特征值和特征向量.2.计算n 1阶行列式Dn 111L1a。00 L a1 1MM MM0 an 1 L 0 1 an 00013.已知矩阵A且满足AXB C，求矩阵X.4.求下列非齐次线性方程组所对应的齐 次线性方程组的基础解系及此方程组的 通解X1 X2 X3 X4 X513xi2x2 X3 X4 3x5 3x2 2% 2x4 6X5 05xi 4x2 3x3 3x4 X5524,求矩阵A的4 /912115 .已知矩阵A 11216 4 226397列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该

20、最大无关组线性表示.6 .已知A为三阶矩阵，且1a 2,求11*A 3A12四、证明题(本题总计10分)设向量组1，2，L，n中前n 1个向量线性相 关，后n 1个向量线性无关，试证：(1) 1可由向量组2, 3,L,n1线性表示；(2) n不能由向量组1, 2,L,n1线性表示.(试卷四)一、填空题(本题总计16分，每小题2分)1、按自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 L (2n 1) 2 4 L (2n)的逆序数为 -20 -2 4阶行列式D43、已知11 10A 029002,A*为A的伴随矩阵，则A* 14、已知n阶方阵A和B满足BA A B,则E B 15、已知A为m n矩阵）且

21、R（A） r min m, n）则以A为系数矩阵的齐次线性方程组础解系中包含解向量的个数为6、已知四维列向量1 2 5 1 3T、Ax 0的基34 111、目3iX 22x 57、把向量1 0 2 2 T单位化得10 1 5 10T、,则x8、若三阶方阵A的特征多项式为f()(1)(1)2,则A 2E1 2481 1111 4 16 641 5 25 125- 37:、选择题（本题总计14分，每小题2分）1、已知a,b,c,d,k R,则以下等式正确的是()A.ka kcb kdc b ddka kbkc kdD.2、设A和B为n阶方阵，下列说法正确 的是（）A .若 AB AC ,则 B CB .若 AB 0 ,则A 0或B 0C .若 AB| 0 ,则 |A 0 或 |B 0 D .若 A E 0 , 则A E3、设A是m n矩阵，且R(A) m n ,则非齐次 线性方程组Ax b ()A .有唯一解B