数学建模试卷及参考答案

1、数学建模试卷及参考答案一概念题(共3 小题，每小题5 分，本大题共15 分)1 、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤(5 分)答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。2、学习数学建模应注意培养哪几个能力(5 分 )答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。3、 人工神经网络方法有什么特点(5 分 )答： ( 1 )可处理非线性；( 2)并行结构； ( 3)具有学习和记忆能力；( 4)对数据的可容性大；( 5)神经网络可以用大规模集成电路来实现。二、模型求证题(共2 小题，每小题10 分，本大题共20 分)1 、 某人早 8:00

2、从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00 到达山顶并留宿.次日早 8:00 沿同一路径下山,下午5:00 回到旅店.证明:这人必在2 天中同一时刻经过路途中某一地点(15 分 )证明 :记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t),下山运动方程为g(t),t是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在a,b是连续函数。作辅助函数F(t)=f(t)-g(t), 它也是连续的，则由 f(a)=0,f(b)>0 和 g(a)>0,g(b)=0,可知 F (a) <0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F

3、(t0)=0,即f(t0)=g(t0)。2 、 三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢（15分）解:模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk, k=1, 2,xk, yk=0, 1, 2, 3。将二维向量Sk= （Xk, yk）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做SoS= x,y |x 0,y0,1,2,3;x 3, y 0,1,2,3;x y 1,2（3分）记第k次渡船上的商人数为Uk随从数为Vk将二维

4、向量dk= （1, vQ定义为决策。允许决策集合记作D,由小船的容量可知D= u,v 11 u v v,u,v 0,1,2（3分）（3分）状态Sk随dk的变化规律是：Sk 1= Sk+ 1 k dk三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）1131、A 114试用和法求出 A的最大特征值，并做一致性检验（n=3时，RI=）。1/3 1/4 11答：A 11314 中各列归一化1/3 1/4 13/7 4/9 3/8* 3/7 4/9 4/81/7 1/9 1/8各行求和1.248> 1.373 =w 2 分05694.8971.373”竺)3.1230.5694.328而Aw 4

5、.897 , （1分）所以最大特征根为1.3281 3 (Aw)i 1 4.328一 -(3 i 1 wi3 1.248.3 3123 3其一致性指标为：CI=-33 0.0612分3 12CI 0.061CR= 0.106 0.1 所以A不通过一致性检验。2分RI 0.582、一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达 400元，为促成最高收入的实现，试用shapley值方法分配各人的所得。（9分）答：甲、乙、丙所得应为 250元，50元，100元（步骤略）3、产品每天需求量为常数r,每次生产

6、准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2,缺货损失费为Q,试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设：1 .产品每天需求量为常数 r2 .每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c23 .生产能力无限大 ，缺货损失费为 C3 ,当t=T1时产品已用完4.生产周期为T,产量为Q(2分)模型建立周期总费用如下：C C1C2IQ""2""C3r(T T1)2(2分)一周期平均费用为f(T,Q)C2Q22rT2C3(rT Q)2rT(2分)模型求解：用微分法解得周期2Ci(C2 C3)(1分)产量2rC。

7、,C2(C2 C3)rC 2c3(1分)4、人的状态分为三种:1 （健康），2 （患病），3 （死亡）。设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为，患病的概率为,而今年患病的人明年健康的概率为，健康的概率为，构造马氏链模型，说明它是吸收链,并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。解：状态i 1健康，2患病，i 3死亡依歇易得转移概率阵为0.80.650.180.250.020.1a1 n , a2(n), a3(n)(n) P (n 1,2,易是:3死亡是吸收状态，(1分)马氏链是吸收链。(2分)0.80.180.20.650.250.180.020.10.750.180.65 0.

8、250.043 0.650.2（3分）10.93y Me 0.043 0.85由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为930和850。(1分)43435.设渔场鱼量满足下列方程：(9分)X 2x(t) rx(1 ( ) ) h N(1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况(2)如何获得最大持续产量解：x3x2令 F(x) rx(1 ()2) h, F (x)r(1TTT)NNf (x) rx(1 ()2) h 的最大值点为(N ,2rN) N,33当h 2rN/3时，无平衡点(1分)当h 2rN /3时,有两个平衡点x1( N / J3)和x2( N / J3),经过判断x1不稳定，x2稳定(

9、2分)当h 2rN/3时,平衡点x0 N/J3,由F(x0)0不能判断它稳定性(2分)(2)为了获得最大持续产量，应使x N / J3且尽量x N / J3接近，但操作困难(2分)四、 建模题(共2小题，每小题10分，本大题共20分)1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药 浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正 比，试建立两室血药浓度与时间的关系。 (不必求解)解：假设Ci(t)、Xi(t)和Vi分别表示第i室(i 1.2)的血药浓度，药量和容积，ki2和k2i是两室之

10、间药物转移速率系数,ki3是从中心室(第 1室)向体外排除的速率系则Xi(t)ki2Xiki3Xik2iX2fo(t)X2 (t)ki2 Xik?i X21)(其中fo(t)是给药速率)及Xi(t) Vi Ci(t)(2)ci(t)于是：(ki2ki3)civ2k2i c2Vifo(t)c2(t)Vi一ki2 cik21c2V22、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A产品2公斤，A产品可获利30元/公斤，或加工8小时可生产 B产品3公斤，B产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C产品4公斤，C产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为 60桶，加工工时至多为460小时，且A产品至多只能生产 58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计