数学奥林匹克初中训练题5

1、数学奥林匹克初中训练题5第一试一、选择题(每小题7分，共42分2-3x+1=0的两根也是程x4-px2+q=0的根，则(p+q2008的个位数字是( .(A2 (B4 (C6 (D82.函数y= (其中，a、b为非零常数取得最大值的条件是( .(Aa2-4b0 (Ba2-4b0(Ca2-4b<0 (D与a、b取值有关，不能确定3.设ABC的内切圆半径为r，BC=a，AC=b，AB=c，且其上的高分别为ha、hb、hc，满足ha+hb+hc=9r.则ABC的形状( .(A一定是钝角三角形 (B一定是等边三角形(C一定不是锐角三角形 (D不一定是直角三角形4.若三个互不相等的非零实数x、y、

2、z，满足关系式x(y-z=，则q的取值为( .(A (B (C (D 5.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形共有( 个.(A1 (B6 (C4 (D无数多6.如图，在ABC中，A>B>C，I是内心.现给出三条路线:IACBI;ICBAI; IBACI.若记它们的长度分别为l1、l2、l3，则其中最短的是( .(Al1 (Bl2 (Cl3 (D不能确定二、填空题(每小题7分，共28分则z-y的值等于 .2.如图，在四边形ABCD中，AB=10，BC=17，CD=13，DA=20，AC=21.则BD= .3.一个三位数xyz(其中，x、y、

3、z互不相等，将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，则这个三位数是 .4.如图，在等腰RtABC(C=90°内取一点P，= .第二试一、(20分若一直角三角形两直角边的长a、b(ab均为整数，且满足.试求这个直角三角形的三边长.二、(25分如图4，已知O与ABC的边AB、AC分别相切于点P、Q，与ABC的外接圆相切于点T.设切点弦PQ的中点为I.求证:IT平分BTC.三、(25分已知x31+x32+x38-x39的个位数字是1，其中，x1，x2，x9是2 001，2 002，2 009中的九个不同的数，且8x

4、9>x1+x2+x8.求x9的值.数学奥林匹克初中训练题5参考答案第一试一、1.C.2.C.注意到y=.(1若a2-4b0，则x2+ax+b=0有实根，此时，y无最大值;(2若a2-4b<0，则0 综上 ， 当 a 2 -4b<0 时 ， y 最大 = . 3.B.ha+hb+hc=2SABC(.因为SABC= r(a+b+c，ha+hb+hc=9r，则有(a+b+c (=9，即a(b-c2+b(c-a2+c(a-b2=0，所以，(a-b2=(b-c2=(c-a2=0.故a=b=c.4.B.由题设条件知q±1.由等比性质得x(y-z+y(z-x1+q=z(y-xq2

5、.又x(y-z+y(z-x=z(y-x，所以，1+q=q2，即q2-q-1=0.解得q=.5.C.设a=12，c为斜边，则有c2-b2=a2=144.因为144=24×32，所以，(c+b(c-b=72×2;(c+b(c-b=36×4;(c+b(c-b=18×8;(c+b(c-b=16×9;(c+b(c-b=48×3;(c+b(c-b=24×6.又因为c+b与c-b同奇偶，故符合题意条件的直角三角形有以下四个:a=12，b=5，c=13; a=12，b=9，c=15;a=12，b=16，c=20;a=12，b=35，c=37

6、.6.C.因A>B>C，则a>b>c.设AI=x，BI=y，CI=z(易知x ， 于是 ， l1=x+b+a+y=(b+y+(a+x;l2=z+a+c+x=(a+x+(c+z;l3=y+c+b+z=(b+y+(c+z.如图，延长CA至点D，使得CD=a，联结ID.显然，ICDICB.则AD=a-b，ID=y.在AID中，有AI+AD>ID，即 x+(a-b>y.所以，b+y 同理，c+z 因此，c+z 由此对l1、l2、l3作比较，可知l3的长度最短.二、1.2 008.设z-y=t.从题设第一个方程得z-2x+y=0.于是，z-x=t/2，进而，x-y=t

7、/2.故由题设第二个方程可求得t=z-y=2 008.如图，作BEAC于点E，DFAC于点F，并作BGAC交DF的延长线于点G，则四边形BEFG是矩形，BDG、ABE、CDF均为直角三角形.在ABC中，有p= (AB+BC+CA=24.故BE=8.同理，在ADC中，有DF=12.故DG=DF+FG=DF+BE=20.又AE=6， CF=5，则BG=EF=AC-AE-CF=10.所以，BD= 10.3.495.设三位数xyz经过重新排列后所得到的最大三位数为 (a>b>c，则最小的三位数是.由于1a9，1b9，1c9，且-=(100a+10b+c-(100c+10b+a=99(a-c

8、是99的倍数，故所求的三位数xyz也是99的倍数.而是99倍数的三位数只有8个:198，297，396，495，594，693，792，891.经验证知，只有495符合题意.4.由题设知，BPC与CAP互补.如图，延长BP交AC于点K，则PC=PK=b，BK=2b.由PCKACP，知CK=b2/a.又BK2=BC2+CK2，所以，a4+b4=4a2b2.于是，(a2+b22=6a2b2，(a2-b22=2a2b2(a>b.第二试一、因为a、b为正整数，所以，m也为正整数.从而，a、b是关于x的方程x2-(m+2x+4m=0的两个不等整数解.所以，=m2-12m+4必为完全平方数.不妨设m

9、2-12m+4=k2(k为正整数，即m2-12m+4-k2=0.由此知关于m的方程应有整数解，则=4(32+k2也必为完全平方数.于是，32+k2为完全平方数.令32+k2=(k+n2(n为正整数.则32=(k+n2-k2=n(2k+n.显然，n<2k+n.又32=1×32=2×16=4×8，于是，分三种情况讨论:(1n(2k+n=1×32=1×(2k+1，知k无整数解;(2n(2k+n=2×16=2(2k+2，知k=7，m=15，直角三角形的三边长分别为5，12，13;(3n(2k+n=4×8=4(2k+4，知k=2

10、，m=12，直角三角形的三边长分别为6，8，10.综上，直角三角形的三边长分别为5，12，13或6，8，10.二、如图，联结OA.由题设易知，OA平分BAC，OA垂直平分PQ.所以，O、I、A三点共线.联结OP、OT、AT，则OP2=OI·OA=OT2.从而，OTIOAT.故OTI=OAT.过点T作两圆的公切线ST，则有STC=CAT.由OTST，可知OTS=OTI+ITC+CTS=90°.故CTI=90°-(OTI+CTS=90°-(OAT+CAT=90°-CAO=90°- A.同理，BTI=90°- A=CTI.因此，IT平分BTC.三、因为x1，x2，x9是2 001，2 002，2 009中的九个不同的数，又2 001，2 002，2 009这九个数的个位数字1，2，3，4，5，6，7，8，9经3次方后所得的个位数字分别为1，8，7，4，5，6，3，2，9，所以，x31+x32+x39的个位数字必是5.又x31+x32+x38-x39=x31+x32+x38+x39-2x3