新人教版数学八年级勾股定理练习题及答案(共6套)

1、新人教版数学八年级第十七章 <勾股定理 >勾股定理课时练(12. 如图 18-2-4所示 , 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD , AD BC ,斜腰 DC 的长为 10 cm , D=120°,则该零件另一腰 AB 的长是 _ cm(结果不取近似值 .3. 直角三角形两直角边长分别为 5和 12,则它斜边上的高为 _13_.4. 一根旗杆于离地面 12m 处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步 16m ,旗杆在断裂之前高多少 m ? 解: 5. 如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面 3米处折断,树的顶端落在离树杆底部 4米处,那么这棵树折

2、断之前 的高度是 米 . 6. 飞机在空中水平飞行 , 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000米处 , 过了 20秒 , 飞机距离这个男孩头顶 5000米 , 求飞 机每小时飞行多少千米 ? 7. 如图所示,无盖玻璃容器,高 18cm ,底面周长为 60cm ,在外侧距下底 1cm 的点 C 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的 上口外侧距开口 1cm 的 F 处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度 .8. 一个零件的形状如图所示,已知 AC=3cm , AB=4cm , BD=12cm 9. 如图,在四边形 ABCD 中, A=60°, B= D=90

3、76;, BC=2, CD=3,求 AB 的长 . 10. 如图, 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马, 而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处, 他想把他的马牵到小河边去饮 水,然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 11如图,某会展中心在会展期间准备将高 5m , 长 13m ,宽 2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18元,请你帮助计算一下,铺 完这个楼道至少需要多少元钱 ?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的 有效距离为 15千米. 早晨 8:00甲先出发, 他以 6

4、千米 /时的速度向东行走, 1小时后乙出发, 他以 5千米 /时的速度向北行进, 上午 10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?第一课时答案:1.A ,提示:根据勾股定理得 122=+AC BC,所以 AB 222AC BC +=1+1=2;2.4,提示:由勾股定理可得斜边的长为 5m ,而 3+4-5=2m ,所以他们少走了 4步 . 3.1360 , 提 示 :设 斜 边 的 高 为x, 根 据 勾 股 定 理 求 斜 边 为13522=+, 再 利 用 面 积 法 得 ,13 60, 132112521=x x ; 4. 解:依题意, AB=16m , AC=12m ,在直角三角

5、形 ABC 中 , 由勾股定理 ,222222201216=+=+=AC AB BC ,6. 解 :如图 , 由题意得 ,AC=4000米 , C=90°,AB=5000米 , 由勾股定理得 BC=30004000500022=-(米 , 所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米 /小时 7. 解:将曲线沿 AB 展开,如图所示,过点 C 作 CE AB 于 E. 在 R 90, =CEF CEF t , EF=18-1-1=16(cm , CE=(3060. 21cm =,由勾股定理,得 CF= (3416302222cm EF =+=+8.解:在直角三角形 ABC 中,根

6、据勾股定理,得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形 CBD 中,根据勾股定理,得 CD 2=BC2+BD2=25+122=169,所以 CD=13.9. 解:延长 BC 、 AD 交于点 E. (如图所示 B=90°, A=60°, E=30°又 CD=3, CE=6, BE=8, 设 AB=x ,则 AE=2x ,由勾股定理。得 338, 82(222=-x x x 10. 如图,作出 A 点关于 MN 的对称点 A ,连接 A B 交 MN 于点 P ,则 A B 就 是最短路线 .在 Rt A DB 中,由勾股定理求得 A B =17km

7、 11. 解:根据勾股定理求得水平长为m 12522=-, 地毯的总长 为 12+5=17(m ,地毯的面积为 17×2=34( 2m ,第 10题图铺完这个楼道至少需要花为:34×18=612(元12. 解:如图,甲从上午 8:00到上午 10:00一共走了 2小时, 走了 12千米,即 OA =12.乙从上午 9:00到上午 10:00一共走了 1小时,走了 5千米,即 OB =5.在 Rt OAB 中, AB 2=122十 52=169, AB =13,因此,上午 10:00时,甲、乙两人相距 13千米 . 15>13, 甲、乙两人还能保持联系. 勾股定理的逆定

8、理(2一、 选择题1. 下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( A.9, 12, 15 B. 43, 1, 45C.0.2, 0.3, 0.4 D.40, 41, 92. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( A. 三个内角比为 1 2 1 B. 三边之比为 1 2 5C. 三边之比为3 2 D. 三个内角比为 1 2 33. 已知三角形两边长为 2和 6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为( A.4. 五根小木棒,其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( 72425207152024257202472415(A(B(

9、C(DA B C D 二、填空题5. ABC 的三边分别是 7、 24、 25,则三角形的最大内角的度数是 . 6. 三边为 9、 12、 15的三角形,其面积为 . 7. 已知三角形 ABC 的三边长为 c b a , , 满足 18, 10=+ab b a , 8=c,则此三角形为 三角形 .8. 在三角形 ABC 中, AB=12cm , AC=5cm , BC=13cm ,则 BC 边上的高为 AD= cm . 三、解答题9. 如图,已知四边形 ABCD 中, B =90°, AB =3, BC =4, CD =12, AD =13,求四边形 ABCD 的面积 .10. 如图

10、, E中 BC 和 CD 边上的点,且 AB =4, CE=41BC , F 为 CD 的中点,连接 AF 、 AE ,问 AEF 是什么三角形?请说明理由 . 11. 如图, AB 为一棵大树,在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果,一只猴子从 D 处 上爬到树顶 A 处,利用拉在 A 处的滑绳 AC ,滑到 C 处,另一只猴子从 D 处滑到地面 B ,再由 B 跑到 C ,已知两猴子所经路程 都是 15m ,求树高 AB . 12. 如图,为修通铁路凿通隧道 AC ,量出 A=40° B =50°, AB =5公里, BC =

11、4公里,若每天凿隧道 0.3公里,问几天才能 把隧道 AB 凿通? 18.2勾股定理的逆定理答案:一、 1.C ; 2.C ; 3.C ,提示:当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边 =; 26222=+当 6为斜边时,第三边 为直角边 =242622=-; 4. C;二、 5.90°提示:根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为90°.6.54,提示:先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为. 5412921=7. 直角,提示: 2222222864182100, 1002, 100 (c b a ab b a b a =-=+=+=+得 ;

12、 8. 1360,提示:先根据勾股定理 逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得 AD =132151221; 三、 9. 解:连接 AC ,在 Rt ABC 中,AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25, AC =5. 在 ACD 中, AC 2+CD 2=25+122=169,而 AB 2=132=169, AC 2+CD 2=AB 2, ACD =90°.故 S 四边形 ABCD =S ABC +S ACD =21AB ·BC +21AC ·CD =21×3×4+21×5×12=6+30=36.10. 解:

13、由勾股定理得 AE 2=25, EF 2=5,AF 2=20, AE 2= EF 2 +AF 2, AEF 是直角三角形11. 设 AD =x 米,则 AB 为(10+x 米, AC 为(15-x 米, BC 为 5米, (x +10 2+52=(15-x 2,解得 x =2, 10+x =12(米12. 解:第七组, . 1131112, 112 17(72, 15172=+=+=+=c b a第 n 组, 1 1(2, 1(2, 12+=+=+=n n c n n b n a勾股定理的逆定理 (3一、基础 ·巩固1. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(A. 三内角之比为

14、 1 2 3 B. 三边长的平方之比为 1 2 3C. 三边长之比为 3 4 5 D. 三内角之比为 3 4 52. 如图 18-2-4所示 , 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD , AD BC ,斜腰 DC 的长为 10 cm , D=120°,则该零件另一腰AB 的长是 _ cm(结果不取近似值 . 图 18图 18-2-5 图 18-2-63. 如图 18-2-5,以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S 1、 S 2、 S 3,且 S 1=4, S 2=8,则 AB 的长为 _.4. 如图 18-2-6,已知正方形 ABCD 的边长为 4, E 为 AB

15、 中点, F 为 AD 上的一点,且 AF=41AD ,试判断 EFC 的形状 .5. 一个零件的形状如图 18-2-7,按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4, AB=3,BD=5, DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗? 图 18-2-76. 已知 ABC 的三边分别为 k 2-1, 2k , k 2+1(k >1 ,求证: ABC 是直角三角形 .二、综合 ·应用7. 已知 a 、 b 、 c 是 Rt ABC 的三 边长, A 1B 1C 1的三边长分别是 2a 、 2b 、 2c ,那么 A 1B 1C 1是直角三角

16、形吗?为什么?8. 已知:如图 18-2-8,在 ABC 中, CD 是 AB 边上的高,且 CD 2=AD·BD.求证: ABC 是直角三角形 . 图 18-2-89. 如图 18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点 A 、 B 的坐标分别为 A (3, 1 , B (2, 4 , OAB 是直角三角形吗?借助于 网格,证明你的结论 . 图 18-2-910. 已知:在 ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状 .12. 已知:如图 18-2-10,四边形 ABCD , A

17、D BC , AB=4, BC=6, CD=5, AD=3. 求:四边形 ABCD 的面积. 图 18-2-10参考答案一、基础 ·巩固1. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( A. 三内角之比为 1 2 3 B. 三边长的平方之比为 1 2 3C. 三边长之比为 3 4 5 D. 三内角之比为 3 4 5思路分析:判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法:有一个角是直角或两锐角互余;两边的平方和等于第三边 的平方;一边的中线等于这条边的一半 .由 A 得有一个角是直角; B 、 C 满足勾股定理的逆定理,所以 应选 D.答案:D2. 如图 18-2-4所示 , 有一个形状

18、为直角梯形的零件 ABCD , AD BC ,斜腰 DC 的长为 10 cm , D=120°,则该零件另一腰 AB 的长是 _ cm(结果不取近似值. 图 18-2-4解:过 D 点作 DE AB 交 BC 于 E, 则 DEC 是直角三角形 . 四边形 ABED 是矩形, AB=DE. D=120°, CDE=30°.又在直角三角形中, 30°所对的直角边等于斜边的一半, CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得, DE=3522=- cm. AB=5522=- cm.3. 如图 18-2-5,以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S

19、 1、 S 2、 S 3,且 S 1=4, S 2=8,则 AB 的长为_. 图 18-2-5 图 18-2-6 思路分析:因为 ABC 是 Rt , 所以 BC 2+AC2=AB2, 即 S 1+S2=S3, 所以 S 3=12, 因为 S 3=AB2, 所以 AB=23=S . 答案:24. 如图 18-2-6,已知正方形 ABCD 的边长为 4, E 为 AB 中点, F 为 AD 上的一点,且 AF=41AD ,试判断 EFC 的形状 . 思路分析:分别计算 EF 、 CE 、 CF 的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可 .解: E 为 AB 中点, BE=2. CE 2=BE2+B

20、C2=22+42=20.同理可求得 ,EF 2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. CE 2+EF2=CF2, EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形 .5. 一个零件的形状如图 18-2-7,按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4, AB=3,BD=5, DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗? 图 18-2-7思路分析:要检验这个零件是否符合要求,只要判断 ADB 和 DBC 是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就 可派上用场了 .解:在 ABD 中, AB 2+AD2=32+42=9+16=

21、25=BD2,所以 ABD 为直角三角形, A =90°.在 BDC 中 ,BD 2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以 BDC 是直角三角形, CDB =90°.因此这个零件符合要求 .6. 已知 ABC 的三边分别为 k 2-1, 2k , k 2+1(k >1 ,求证: ABC 是直角三角形 .思路分析:根据题意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 .证明: k 2+1>k2-1,k 2+1-2k=(k-1 2>0,即 k 2+1>2k, k 2+1是最长边 . (k2-1 2+(2k 2=k4-2k

22、2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+12, ABC 是直角三角形 .二、综合 ·应用7. 已知 a 、 b 、 c 是 Rt ABC 的三 边长, A 1B 1C 1的三边长分别是 2a 、 2b 、 2c ,那么 A 1B 1C 1是直角三角形吗?为什么?思路分析:如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形(例 2已证 .解:略8. 已知:如图 18-2-8,在 ABC 中, CD 是 AB 边上的高,且 CD 2=AD·BD.求证: ABC 是直角三角形 . 图 18-2-8思路分析:根据题意,只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可

23、 . 证明: AC 2=AD2+CD2, BC 2=CD2+BD2, AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =(AD+BD 2=AB2. ABC 是直角三角形 .9. 如图 18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点 A 、 B 的坐标分别为 A (3, 1 , B (2, 4 , OAB 是直角三角形吗?借助于 网格,证明你的结论. 图 18-2-9思路分析:借助于网格,利用勾股定理分别计算 OA 、 AB 、 OB 的长度,再利用勾股定理的逆定理判断 OAB 是否是直角 三角形即可 .解: OA2=OA12+A1A 2=32+12=10, OB

24、 2=OB12+B1B 2=22+42=20, AB 2=AC2+BC2=12+32=10, OA 2+AB2=OB 2. OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10. 阅读下列解题过程:已知 a 、 b 、 c 为 ABC 的三边,且满足 a 2c 2-b 2c 2=a4-b 4,试判断 ABC 的形状 .解: a 2c 2-b 2c 2=a4-b 4, (A c 2(a2-b 2=(a2+b2(a2-b 2 , (B c 2=a2+b2, (C ABC 是直角三角形 . 问:上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号 _; 错误的原因是 _;本题的正确结论是 _.思路

25、分析:做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐含的条件,本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件, 从而得出的结论不全面 .答案: (B 没有考虑 a=b这种可能,当 a=b时 ABC 是等腰三角形; ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 11. 已知:在 ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状 .思路分析:(1移项,配成三个完全平方; (2三个非负数的和为 0,则都为 0; (3已知 a 、 b 、 c ,利用勾股定理的逆定理 判断三角形的形状为直角三角形 .解:由已知

26、可得 a 2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0, 配方并化简得 ,(a-5 2+(b-12 2+(c-13 2=0. (a-5 20,(b-12 20,(c-13 20. a -5=0,b-12=0,c-13=0. 解得 a=5,b=12,c=13. 又 a 2+b2=169=c2, ABC 是直角三角形 .12. 已知:如图 18-2-10,四边形 ABCD , AD BC , AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.求:四边形 ABCD 的面积. 图 18-2-10思路分析:(1作 DE AB ,连结 BD ,则可以证明 ABD EDB (ASA ;(2D

27、E=AB=4, BE=AD=3, EC=EB=3; (3在 DEC 中, 3、 4、 5为勾股数, DEC 为直角三角形, DE BC ; (4利用梯 形面积公式,或利用三角形的面积可解 .解:作 DE AB ,连结 BD ,则可以证明 ABD EDB (ASA , DE=AB=4, BE=AD=3. BC=6, EC=EB=3. DE 2+CE2=32+42=25=CD2, DEC 为直角三角形 . 又 EC=EB=3, DBC 为等腰三角形, DB=DC=5. 在 BDA 中 AD 2+AB2=32+42=25=BD2, BDA 是直角三角形 . 它们的面积分别为 S BDA =21

28、15;3×4=6;S DBC =21×6×4=12. S 四边形 ABCD =S BDA +S DBC =6+12=18.勾股定理的应用(4 1. 三个半圆的面积分别为 S 1=4.5, S 2=8, S 3=12.5,把三个半圆拼成如图所示的图形,则 ABC 一定是直角三角形吗? 说明理由。2. 求知中学有一块四边形的空地 ABCD ,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量 A=90°, AB=3m, BC=12m, CD=13m, DA=4m,若每平方米草皮需要 200天,问学校需要投入多少资金买草皮? 3. (12分如图所示,折叠矩形的一边

29、AD ,使点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8cm, BC=10cm,求 EC 的长。 4. 如图, 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马, 而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处, 他想把他的马牵到小河边去饮水, 然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少?5. (8分观察下列各式,你有什么发现?32=4+5, 52=12+13, 72=24+25 92=40+41这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢? (1填空:132= + (2请写出你发现的规律。(3结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性。6. 如图,在 Rt ABC 中, ACB=90

30、°, CD AB , BC=6, AC=8, 求 AB 、 CD 的长D CBA7. 的点(不写作法,但要保留画图痕迹 东 CBA8. 已知如图,四边形 ABCD 中, B =90°, AB=4, BC=3, CD=12, AD=13,求这个四边形的面积9. 如图,每个小方格的边长都为 1.求图中格点四边形 ABCD 的面积。勾股定理复习题(5一、 填空、选择题题:3. 有一个边长为 5米的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少为( 米。4、一旗杆离地面 6米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部 8米处,则旗杆折断之前的高度是 ( 米。 6、 在 ABC 中, C=

31、90°,AB=10。 (1若 A=30°, 则 BC= , AC= 。 (2若 A=45°, 则 BC= ,AC= 。8、在 ABC 中, C=90°, AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD= m 11、三角形的三边 a b c,满足 22(2a b c ab +-=,则此三角形是 三角形。12、小明向东走 80米后,沿另一方向又走了 60米,再沿第三个方向走 100米回到原地。小明向东走 80米后又向方向走的。13、 ABC 中, AB=13cm ,BC=10cm , BC 边上的中线 AD=12cm则 AC的长为 cm14、 两人从

32、同一地点同时出发, 一人以 3米 /秒的速度向北直行, 一人以 4米 /秒的速度向东直行, 5秒钟后他们相距 米 . 15、写出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?两直线平行,内错角相等。 ( 如果两个实数相等,那么它们的平方相等。( 若 22ab = ,则 a=b ( 全等三角形的对应角相等。 ( 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ( 16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是( (C a=2 b=65 c=85(D a=13 b=14 c=15 17、若一个三角形的三边长为 6,8,x, 则使此三角形是直角三角形的 x 的值是 ( ._ A _ B_ C_ D 18、下列各命题的逆命题不成立的是 ( A.两直线平行 , 同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等 , 则这两个数相等C. 对顶角相等 D.如果 a=b或 a+b=0,那么 22a b二、解答题:19、有一个水池,水面是一个边长为 10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 1尺。如果把这根芦苇拉向水池 一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?20、一根竹子高 1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端 3尺处 . 折断处离地面的高度是多少 ? (其中丈、尺是长度单位 ,1丈 =10尺 21、某港口位于东西方向的海岸线上。 “远航”号、 “海天”