数学奥林匹克初中训练题3

1、数学奥林匹克初中训练题3第一试一、选择题(每小题7分，共42分1.给出如下4个命题:若m、n为已知数，单项式2x5yn-2与(m+5x|m-n+4|y的和为单项式，则m+n的值为-3或7.若M、N都是只含有一个字母x的多项式，M、N的次数分别为6次、3次，则M-N2是次数不超过6的多项式.若m为自然数，则关于x的方程(-xm+1(-x2m-2(-x3m+1=xx+1x6m-1的解是x=-1，0，1.已知AM、DN分别是ABC、DEF的高，AB=DE，AC=DF，AM=DN.若BAC=40°，ABC=35°，则DFE=105°.其中，错误命题的个数是( 个.(A0

2、(B1或2 (C3 (D42.如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使MBN=135°.则MN的最小值是( . (A1+ (B2+ (C3+ (D2 3.已知实数a、b、c满足.则代数式ab+ac的值是( .(A-2 (B-1 (C1 (D24.如图，在ABC中，BAC=60°，BC=18，D是AB上一点，AC=BD，E是CD的中点.则AE的长是( . (A12 (B9 (C9 (D以上都不对5.已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3，则a-1+b-1+c-1+d-1的值为( .(A1 (B0

3、 (C-1 (D±16.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，P是线段AB上一点，PMx轴于点M，PNy轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为( .二、填空题(每小题7分，共28分1.如图，AD是ABC的角平分线，C=2B，AB=a2-4b+4，AC=8c-27-2b2，CD=9+4a-c2.则BC= . 2.已知实数a、b、c满足a-b+c=7，ab+bc+b+c2+16=0.则(a-1-b-1abc(a+b+ca+b+c的值为 .3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中

4、点，OA=AD，OB=BC，CD= AB.则FEG的度数是 . 4.如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图，点A、B在x轴上，E(2，6，F(3，4.折线OFE是流过这片沙漠的水渠，水渠东边的沙漠由甲承包绿化，水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直，并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB上找一点P，使得水渠取直为EP，则点P的坐标为 .第二试一、(20分现有三个圆柱型的容器M、N、P，其轴截面如图(a、(b、(c所示，内底面积分别为S1cm2、S2cm2、S3cm2，内高分别为h1cm、h2cm、h3cm，容积分别为V1cm3、

5、V2cm3、V3cm3(V1>V2>V3.这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器(将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP，其容积为M、N、P的容积之和.现向这6个容器均匀注水，注水速度相同，直至注满为止.其中有三个容器的水深h(cm与注水时间t(s的变化规律如图7、8、9所示.(1图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?(2求h1、h2、h3的值及S1S2S3的比值;(3若V3=cm3，注水速度为cm3s，其中m、n为常数，求M、P、N这三个容器的容积之和.二、(25分如图10，两条平行线l1、l2之间的距离为6，l1、

6、l2间有一半径为1的定圆O切直线l2于点A，P是直线l1上一动点.过P作O的两条切线PB、PC，切点分别为B、C，分别交直线l2于点M、N.试问AM·AN是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.三、(25分已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2kx2+(4-6kx+8=0的解都是整数.求k的值.数学奥林匹克初中训练题3参考答案第一试一、1.D.(1当m=-5，n>2时，单项式2x5yn-2与0的和2x5yn-2还是单项式.此时，m+n可为大于-3的所有整数，故命题错.(2当M=x6+1，N=x3+1时，M-N2=-2x3.而-2x3是三次单项式，故命题错.(3当

7、m=0时，x=0使得(-x2m-2和x6m-1无意义，此时，x=0不是原方程的解，故命题错.(4当DN在DEF的内部时(如图11.易证RtAMCRtDNF.所以，DFE=ACM=BAC+ABC=75°.故命题错.2.B.设AM=x.易证ABMCNB.所以，AB/CN=AM/CB，即1/CN=x/1，亦即CN=1/x.故MN=AM+AC+CN=3.A.题设等式化为4(ab+1(ac+1+(ab-ac2=0，即 (ab+ac2+4(ab+ac+4=0，亦即(ab+ac+22=0.故ab+ac=-2.4.B.如图，延长AC至点F，使CF=AD.联结BF，过点C作CGAB交BF于点G，联结D

8、G、AG.因为AC=DB，CF=AD，所以，AC+CF=DB+AD，即AF=AB又BAC=60°，所以，ABF为等边三角形.故AF=BF，F=60°.因为CGAB，所以，CFG为等边三角形.故CF=FG=CG.易知AGFBCF，有AG=BC=18.又CG平行且相等 AD，故四边形ACGD是平行四边形.因此，CD与AG互相平分，即E为AG的中点.故AE= AG= ×18=9.5.D.设x=1/a+1/b+1/c+1/d，2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3=k3.显然，a、b、c、d、k同号且不为零，则由已知的第二个等式得于是，有=x.所以

9、，x=0，x=-1，x=1.因a、b、c、d同号，则x0.故x=a-1+b-1+c-1+d-1=±1.6.C.设点P的坐标为(x0，y0，矩形OMPN的面积为S.则x0>0，y0>0，S=x0y0.因为点P(x0，y0在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.故S=x0(2kx0+3-4k=2kx20+(3-4kx0.因此，S最大=，即16k2-(24-8S最大k+9=0.因为k为实数，则有=-(24-8S最大2-4×16×90.故|24-8S最大|24.解得S最大6或S最大0(舍去.当S最大=6时，k=-3/4.延长AC至点E，使CE

10、=CD，联结DE.则有E=CDE=ACD=B.因为AD是BAC的平分线，则BAD=EAD，AB/BD=AC/CD.所以，ABDAED.故AB=AE=AC+CE=AC+CD.因为AB=a2-4b+4，AC=8c-27-2b2，CD=9+4a-c2，则a2-4b+4=(8c-27-2b2+(9+4a-c2，即 (a-22+2(b-12+(c-42=0.所以，a=2，b=1，c=4.从而，AB=4，AC=3，CD=1.易知BD=4/3，因此，BC=BD+CD=7/3.2.-1.由式得(-b+(a+c+1=8.由式得(a+c+1(-b=c2+16.所以，a+c+1、-b是方程x2-8x+c2+16=0

11、的两个根.于是，有=(-82-4(c2+160.从而，c20.易知c=0.进而x1=x2=4，即a+c+1=4，-b=4，亦即a=3，b=-4.故(a-1-b-1abc(a+b+ca+b+c=(3-1+4-103+(-4+03-4+0=-1.3.120°.如图，联结AG、BF、FG，过点E作EPFG于点P.设AB=2a，则CD= AB=2 a.因为OA=AD，G是OD的中点，于是，AGOD.所以，AGB=90°.同理，AFB=90°.因此，A、B、F、G四点共圆，其直径为AB、圆心为E.又F、G分别是OC、OD的中点，所以，FG=CD= 3a=2asinFEG.故

12、FEG=60°，FEG=120°.4.(5/3，0 .如图，联结OE，过点F作FPOE交AB于点P，联结EP交OF于点G.因OEPF，则SOEF=SOEP.故SOEF-SOEG=SOEP-SOEG，即 SEFG=SOGP.所以，EP为水渠取直路线，点P即为所求.易求直线OE的解析式为y=3x.因为OEPF，于是，直线PF的解析式可设为y=3x+b.又F(3，4，则有4=3×3+b，即b=-5.所以，直线PF的解析式为y=3x-5.当y=0时，3x-5=0，x=5/3.因此，点P的坐标为(5/3，0 .第二试一、(1从图7知注满M、N、P三个容器共需60 s，从图8

13、知注满M、N、P三个容器中的两个容器需要54 s，于是，注满图8所示的容器的最上面一个容器需要60-54=6(s.同理，注满图9所示的容器的最上面一个容器需要60-24=36(s.由此可知，注满第三个容器需要60-6-36=18(s.因为注水速度一定，且V1>V2>V3，所以，注满M、N、P三个容器分别需要36 s、18 s、6 s.因此，图7、8、9所反映的规律分别是NPM、PMN、MNP三种形式的容器.(2设注水速度为Vcm3s.由图7、8、9及第(1问的结果知h1+h3=24，h2+h1=30，h2+h3=18;V1+V2+V3=60V，V2+V1=54V，V3+V2=24V

14、.解得h1=18，h2=12，h3=6;V1=36V，V2=18V，V3=6V.所以，S1=V1/h1=36V/18=2V，S2=V2h2=18V/12=32V，S3=V3h3=6V/6=V.故S1S2S3=2V32VV=432.(3因为m2+4m+4.125=(m+22+0.125，所以，当m= -2时，m2+4m+4.125的最小值为0.125.因此，V372.因注水速度V=，即n2+(6-Vn+(45-3V=0，故=(6-V2-4×1×(45-3V0.从而，V12或V-12(舍去.当n=3时，V的最小值为12.由(2知，V3=6V.又V372，6V72，则V3=6V=

15、72.此时，m=-2，n=3.于是，V=12.故V1+V2+V3=60V=60×12=720(cm3.因此，所求的容积之和为720 cm3.二、如图，过点P作PDl2于点D，联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6，OA=OB=OC=1.设AM=m，AN=n，PC=p，DN=x，则DM=m+n-x.由题意知，O是PMN的内切圆，所以，BM=AM=m，CN=AN=n，PB=PC=p;OAMN，OBPM，OCPN.又SPMN=SOMN+SONP+SOPM=MN·OA+PN·OC+PM·OB= (MN+PN+PM=m+n+p，SPMN=MN·

16、;PD=3(m+n，则m+n+p=3(m+n.故p=2m+2n.在RtPDN和RtPDM中，由勾股定理得PD2+DN2=PN2，PD2+MD2=PM2，即 62+x2=(p+n2， 62+(m+n-x2=(m+p2. -得(m+n(2x-m-n=(n-m(m+n+2p=5(n-m(m+n，即 x=3n-2m.把式代入式得36+(3n-2m2=(2m+3n2，即 36=24mn.从而，mn=1.5，即AM·AN=1.5.因此，AM·AN为定值，且定值为1.5.三、当k=0时，原方程化为4x+8=0，解得x=-2.故当k=0时，原方程的解都是整数.当k=2时，原方程化为-8x+8=0，解得x=1.故当k=2时，原方程的解都是整数.当k0或2时，原方程化为(kx-2(k-2x-4=0.解得x1=2/k，x2=.由x1=