几何的五大模型

1、几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1: S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，Saabc= S bad反之，如果Sabc= S abcd,则可知直线AB平行于CD (AB/ CD二、鸟头定理(共角定理)模型(1) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。(2) 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图在 ABC中, D, E分别是AB, AC上的点如图.(或D在BA的延长线上,E在 AC上)，贝卩 Saabc：

2、 SadE=(ABX AC):(AD X AE)推理过程连接BE再利用等积变换模型即可。证明：图(1)中设：过顶点D做底边AE的高为H1;过顶点B做底边AC的高为H2 ABE中 SA ADE SA ABE=A： AB同理 SA ADE SA ABE=H1 H2 AD : AB= H1: H2 L又因 SAADE=AE*H1*1/2S ABC=AC*H2*1/2 得出 SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以 SA ADE SA ABC=(AX AC):(AD X AE)图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1,过顶点B做底边AC的高为H2 DBE中，SA ADE SA ABE二A

3、D ABSA ADE SA ABE= H1 H2 AD : AB= HI: H2又因 SAADE=AE*H1*1/2S A ABC=AC*H2*1/2得出 SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以 SA ADE SA ABC=(AB< AC):(AD X AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) S1:S2=S4:S3 或者 S1 X S3=S2X S4 AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明(1):在 A ABD中, S1 : S2=DO:OB在A DCB中, S4: S3二DO OB 得至U S1:S2=S4:S3 或者 S1 X S3=S2

4、X S4(十字相乘法)证明(2):设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)=(AO*H1*1/2+AO*H2*1/2):( OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2)约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO : OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另 一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) S1 : S3=a2 : b2证明:由 AO OC=DOOC=a：b而 S1: S2=DO OC S1 : S

5、2= a:b，得到 S仁 a/b*S2 而 S2: S3二AO OC S2 : S3= a:b，得到 S3=S2*b/a S1 : S3二a2 :b2 S1: S3: S2: S4=a2 : b2 : ab:ab证明：由上面公式转换推得梯形S的对应份数为（a+b）证明：由上面公式转换推得 四、相似模型 相似三角形性质：(1) AD AE DE AF AB 一 AC 一 BC 一 AG(2) S ade SaabcAF2 : AG 2证明:Sa ADE S ABC=DE*AF*1/2: BC*AG*1/2DEBCAF ADE SABcAF2 : AG 2AG所谓相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如A. 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；B. 相似三角形的面积比等于它们相似比的