勾股定理题目类型总结

1、经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1. 如图/B = / ACD=90 ° , AD=13,CD = 12, BC=3,则 AB 的长是多少类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，于P.求证：.【变式 2 已知：如图，/ B= / D=90 ° , / A=60 ° , AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。类型三：勾股定理的实际应用4. 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问 这辆卡车能否通过该工厂的厂门？5、国家电力总公司为了改善农村用电电费过

2、高的现状，目前正在全国各地农村进行电网 改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四 个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下, 哪种架设方案最省电线.【变式如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm , EC是上底面的直径. 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.类型四：利用勾股定理作长为的线段6. 作长为、的线段举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理7、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判断AABC的

3、形状。举一反三【变式 1 】四边形 ABCD 中，/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13 ,求四边形ABCD的面积【变式2】如图正方形ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE 与DE是否垂直？请说明。经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3 : 4，斜边长是20 ,求此直角三角形的面积。【变式1】若直角三角形的三边长分别是 n+1 , n+2 , n+3，求n类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN = 30。，点A处有一所中学,AP = 160

4、m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时， 学校是否会受到噪声影响？请说明理由， 如果受影响， 已知 拖拉机的速度为 18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格， 它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1 ）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是 多少？（ 3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。类型三：数学思想方法方程的思想方法3. 如图所示，已知

5、 ABC中，/ C=90 ° ,Z A=60 ° ,求、的值举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点D落在BC边的点F处，已 知 AB=8cm ， BC=10cm ，求 EF 的长。类型一：勾股定理的直接用法答案/ ACD=90 °AD = 13,CD=12 二 AC2 =AD2 CD2 =13 2 122 =25 AC=5 又 v ZABC=90 °且 BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2 BC2=52 32 =16AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有,再由勾股

6、定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，（的两个锐角互余）二（在中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，解析：连结BM，根据勾股定理，在中， 而在中，则根据勾股定理有.又.（已知）.在中，根据勾股定理有，.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC,或延长AB、DC交于F,或 延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第 三种较为简单。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , BE2=AE2-AB 2=82-42=48 , BE=。TDE 2二 CE2-CD 2=

7、42-22 = 12，二 DE=。S 四边形 abcd =S abe -S cde =AB，BE-CD DE=类型三：勾股定理的实际应用【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过， 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH .如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD丄AE,与地面交于H .解：OC = 1米(大门宽度一半),OD = 0.8米(卡车宽度一半)在Rt OCD中，由勾股定理得CD = = =0 .6米，C H=0 . 6 + 2 . 3 = 2 . 9(米)>2 . 5(米).因此高度上有0.4米的余量，所 以卡车能通过厂门.思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路

8、长最短，通过利用勾股定理计算线路 长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为 1，则图( 1 )、图(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3，AB+BC+CD = 3图( 3)中，在Rt ABC中同理图( 3)中的路线长为图(4)中，延长 EF 交 BC 于 H，则 FH 丄 BC , BH = CH由/FBH = 及勾股定理得：EA = ED = FB = FC = EF = 1 2FH = 1 此图中总线路的长为 4EA+EF =3 >2.828>2.732二图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电如图，在Rt ABC中，EC=底面周长的一半=10cm

9、 ,根据勾股定理得(提问：勾股定理)AC = = =10.77( cm )(勾股定理).答：最短路程约为1 0.77 cm思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示(1 )作直角边为1 (单位长)的等腰直角 ACB，使AB为斜边；(2 )以AB为一 条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；(3 )顺次这样做下去，最后做到直角三 角形，这样斜边、的长度就是、。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在

10、 数轴上找到A点，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心 做弧，弧与数轴的交点B即为。思路点拨：要判断厶ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, 二(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0。v (a-3)2 >0, (b-4) 2 > 0, (c-5) 2 > 0。ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研

11、究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。【答案】：连结 AC vZ B=90 ° , AB=3 , BC=4 AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理)二 AC=5vAC2+CD2 = 169 , AD2 = 169 AC2+CD2=AD2 Z ACD=90 ° (勾股定理逆定理)分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明： " j： 1 八：一 ：'1 :' ： :所以 ABC是直角三角形.【答案】答：DE 丄 EF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a, EF2=BF 2+BE 2=

12、a2+4a 2=5a2; DE2=CE2+CD2=4a2+16a 2=20a 2。连接 DF (如图) DF2=AF2+AD2=9a2+16a 2=25a 2。二 DF2=EF2+DE2, FE 丄DE。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值 设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积解析：设此直角三角形两直角边分别是3x , 4x，根据题意得：(3x) 2+ (4x ) 2 = 202化简得x2 = 16 ;直角三角形的面积=x 3x x 4x =6x2=96思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：

13、此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：(n+1 ) 2+ (n+2 ) 2 =( n+3 ) 2化简得：n2 = 4 n = ± 2 ,但当 n = 2 时，n+1 = 1<0 , n = 2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有 给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2 = a2+b2的变形：b2 = c2- a2 =( c a) (c+a)来判断。例 如：对于选择 D ，v 82工(40+39 ) X( 40 39 ), 以8 , 39

14、, 40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】： A解：连结 AC v/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 AC2二AB2+BC2=25 (勾股定理 二 AC=5 v AC2+CD2=169 , AD2=169AC2+CD2二AD2ACD=90 ° (勾股定理逆定理) S 四边形 abcd =Sabc +Sacd =AB BC+AC CD=36思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看A到公路的距离是否 小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其 长度。(2)要求出学校

15、受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 AB 丄 MN，垂足为 B。 在 Rt AABP 中，v/ ABP = 90 ° ,/ APB = 30 °AP = 160 , AB = AP = 80。(在直角三角形中，30 °所对的直角边等于斜边的一半)v点A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么AC = 100(m),由勾股定理得： BC2 = 100 2-80

16、2 = 3600, BC = 60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100(m) , BD = 60(m), CD = 120(m)。 拖拉机行驶的速度为 ：18km/h = 5m/s t = 120m 5m/s=24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时 间为 24 秒。总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ,若图形缺少直角条件 ,则可以通过 作辅助垂线的方法 ,构造直角三角形以便利用勾股定理。【答案】（1 ）单位正三角形的高为，面积是。 （2 ）如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有24个单位正三角形，因此其面积。（3）过A作AK丄BC于点K （如图所示），则在 Rt ACK 中， ，故思路点拨： 由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 Rt A