2012智轩第二基础基础导学桥第八章常微分方程与差分方程

1、2012智轩考研数学第二基础导学桥系列-高等数学第八章 常微分方程与差分方程2012考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删)常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程的简单应用2012考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2. 掌握变量可分

2、离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列形式的微分方程：。5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。8. 会解欧拉方程。9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。2012差分方程考试内容（数学3专题） 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 差分方程的简单应用2012差分方程考试

3、要求（数学3专题）1了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。2掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。3会用差分方程求解简单经济应用问题。 第一节 常微分方程一 微分方程的解的结构与性质1.1 微分方程的形式 一般形式： 标准形式： 评 注 注意上述形式中的及其各阶导数只是一次项，这是因为我们研究的是线性（特征是：只含及其各阶导数得的一次项，否则，就是非线性方程范畴了，当然对一阶微分方程可能有例外：如伯努利方程等。）微分方程类型，微分方程的阶次是指导数的最高阶次，另外，考点中，一般指常系数（只有一阶微分方程可以为非常系数）线性微分方程。1.2 微分方程的特解与通解及其解的结构 不含待定常数的解

4、称为特解，如，含有待定常数的解称为通解，如。阶齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，只要任意取个线形无关的特解的线形叠加就是原微分方程的通解。阶非齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，其中，对应的齐次方程有个线形无关的特解，线形叠加是该齐次方程的通解，另一个特解是属于阶非齐次微分方程，所以原非齐次微分方程的通解为。另外解有显式解和隐式解两种表述方式。研考范围内，一般对一阶微分方程的标准形式没有常系数限制，对二元和二元以上的高阶微分方程来说，标准形式或经过变换后的方程（如欧拉方程等）必须是常系数，一般只需要掌握2-3阶就可以了，而且，无论几阶常系数微分方程，它们对应的齐次

5、方程的解法只有一个，即特征值法，它们的非齐次方程的特解一般都使用微分算子法求得。评 注 一旦给定常系数齐次方程，就可以求出特征值；反过来，一旦知道了特征值，就可以确定该齐次方程的具体形式，如为实数，则齐次方程的特解形式必为指数项，如为纯虚数，则齐次方程的特解形式必为振荡项，如为复数，则齐次方程的特解形式必为，如果为重根，则特解必含幂因子。这一规律是求解该类题型的理论根据，切记。另外，无论什么样的线性常系数方程，特解形式不外乎“幂，指，弦，弦” 特征。二常数变易法常数变易法的思想是将通解中的待定常数换成变量后，再代入原方程求解。可以无条件求解一阶非齐次方程，也可以在一定条件下求高阶非齐次方程。2

6、.1 一阶非齐次方程 的常数变易法 求对应齐次方程的通解 令代入原方程解得原方程的解：【例1】求微分方程的特解。解：原方程变形为（倒栽葱型） 2.2 二阶非齐次方程 的常数变易法 2.2.1 已知或必须能容易求出的两个特解，否则不能利用常数变易法 令代入原方程解得原方程的解：【例2】求的通解。 解：容易观察原方程对应的齐次方程有两个特解 令原方程的解为 代入原方程，可得通解2.2.2 已知或必须能观察求出的一个特解， 令代入原方程，可求出通解。【例3】求的通解解：容易观察原方程对应的齐次方程有一个特解 令 代入原方程，得评 注 也可以这么做： 如容易观察出一个特解 则令 另一特解为 代入原方程

7、三各类研考中所考微分方程的5大题型 1及其伯努利方程；有定势求解方法； 2；属于缺型，有定势求解方法； 3；属于缺型，有定势求解方法； 4，涉及的题型比较灵活；后面有系统研究。 5；有定势求解方法。四微分算子法求非齐次方程的特解 形如 令 ，则 的求法规则 例如： 再根据 或 求得 展开项的个数由多项式的最高次幂决定，参见【例4】。 可化成，计算结果取虚数即可，参见【例9】。陈氏第19技 算子解 真方便； 遇指遇弦直代换； 几重零母几次幂。 遇多项 级数帮； 最高次 去截断； 积分总在最后边。 遇混合 指出鞘； 平移算符作后面； 双弦能化指实虚。评 注 与算子解法有关的考点有三：第一，求常系数

8、非齐次方程的特解；第二，求常系数微分方程组的通解；第三，求欧拉方程的特解。【例4】求解 为实数解： 【例5】解： 【例6】解： 【例7】 解： 评 注 此题解法顺数第一步，即，如写成，则计算相当繁琐，建议不要采用。此题解法倒数第二个等式，必须先使和相乘后，再对其后的多项式进行算子运算（ “先算子运算顺序” ），否则，会少一项系数。对指数与顺序无关。如求方程的特解，按照后算子运算，则是正解，若按照先算子运算，则也是正解，希望读者记住多项式这一特点，不要做过多的理论研究。另外，注意非齐次方程的特解与右端必为同名函数这一特征。【例8】 解： 【例9】 解：先求再取结果，即得【例10】解微分方程。解：

9、 求不能再使用行列式，否则，还需要求系数待定系数的关系，因为只能有四个独立的待定系数。故 得 五各类一阶方程的解法 一阶方程共有6大类型：全（全微分）、离（可分离变量）、线（）、同（同次的齐次方程）、伯（伯努利）、倒（化为倒栽葱求解）。先定型，后定法。 5.1 分离变量型 适应形如： 5.2 同次型-一元平移化方法直接同次型：形如 等，使用一元化换元。 令 。换元同次型：形如 微分方程的换元解法， 使用一元化+平移法换元。 当时 直接使用一元化换元当 则 ，使用一元化换元， 令 求解。不全为0 解方程组交点 ，先用平移法，再用一元化，即 令 5.3 伯努利方程变系数的倍形如 ， 称伯努利方程。

10、令 因为 5.4 全微分法 如构成全微分，令 求解方法有两种： 一般法 凑微分法（是求解这类方程的主要方法）。5.5 反函数型（倒栽葱）。利用关系 变换原方程。陈氏第20技 全离线 同伯倒；定型定法多思考。 格林模 凑微分；分离两边各自积。 线性型 套公式；同次平移一元替。 伯努利 倍；倒栽葱型两定理。【例11】已知可导，且，求。解：这类题型的解法定势是：先令自变量为零，尽可能求出，然后令。 令 令 评 注 补充题型1： 已知；，求。解：补充题型1：已知是，求解：【例12】 解：先定型，后顶法。显然本题为：同次型。 令 【例13】 解：可转化的换元同次型。令解方程组 令再令【例14】 解：换元

11、同次型。令再令 评 注 1。配全微分补充题 2。常见二元函数全微分 【例15】 求 解： 需要求导变形。 【例16】设在上可导，且满足 求；证明：。 解：先变形在求导。 利用牛顿-莱布尼茨公式和积分比较定理 【例17】 解：先变形，再定型。 【例18】 解：属于倒栽葱型。利用常数变易法令 代入原方程评 注 又如 。【例19】 解：先换元，再定型，显然属于伯努利型 令 令代入原方程 （隐式解形式）【例20】 解：先变形，再定型。【例21】 解： 令（隐式解形式）评 注 注意下列三角和多项式换元题型。余略。六各类二阶及高阶常微分方程的解题技巧6.1 二阶常系数齐次方程： （为常数）通的特点 特征值

12、方程：，如解为实数，则特解具有指数形式，如为纯虚数，特解具有三角振荡形式或，如为复数，特解具有三角振荡形式或，如有重根，则出现幂因子。即： 6.2 线性二阶微分方程解的重要定理，可以是的函数若 是 的两个相异的特解，则为 的解。若 是 的三个特解，则为对应齐次方程的两个线性无关的特解（也可以是，余类推），并且 是的通解。（通解也可以是，余类推）。陈氏第21技 微分方程解多少；幂指弦弦到了头。 非齐特解差齐特；本征方程回故乡。 叠加原理：如 是的特解 是的特解 则 是的特解6.3 二阶或部分高阶方程类型常系数线性型：，为常数， 采用微分算子求解 多次积分型： 缺型： 令 缺型： 令 欧拉型： 特

13、征是导数阶数×相同方次的自变量构成每一项 令，化成常系数线性型其中一般项公式： 陈氏第22技 二阶方程不可慌； 非齐特欧算子帮。 两缺定势挂心上； 特殊解法闪金光。【例22】 解：常数变易求特解 代入 （*）【例23】 解：令【例24】解：【例25】若 是 的三个特解，则下列哪个正确（） 解：=，故选。【例26】下列微分方程中，从为通解的是（）。 解：所求方程的等价形式为特征方程：，故选。【例27】已知都是某非线性微分方程的解，试求此方程。解：【例28】可微，求。解： 【例29】在上连续，满足方程，求。解：【例30】已知，求解。解： 【例31】在有二阶导数，解方程：。解： 【例32】

14、求解微分方程。解： 【例33】求解微分方程 解： 令 七常微分方程应用题【例34】 设函数在0,+上连续，且,已知在上的平场值等于与的几何平均值，求。解： 令 【例35】 设具有一阶连续导数，且,又 是全微分方程，求，并求此全微分方程的通解。解：将)代入原方程【例36】 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与轴交点），且曲线在点处的切线与轴平行。 解： 曲线为凹，则 在点的法线方程 Q点的坐标 不显含令 【例37】 已知曲线过（1,1）点，如果把曲线上任意一点P处的切线与y轴的交点记为Q，则以PQ为直径的圆都经过点F（1，0），求此曲线

15、方程。解：PQ方程圆心O的坐标圆过 八微分方程的特殊解法专题二阶变系数微分方程的常数变易法平移法级数法 题型和题法1、二阶变系数微分方程常数变易法题型一 已知的通解，求的通解解答方法：令的特解为后，得【例38】已知的通解为，求的通解。解： 令 代入，求得题型二 已知的一个特解，求的通解解答方法：令代入可求得通解。【例39】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。【例40】已知是的一个特解，求的通解。解： 题型三 已知的一个特解，求的另一个特解及通解。解答方法1：令代入可求得通解，再代入 。解答方法2（普适降阶法）：令代入可求得【例41】已知是方程的一个特解，求此方程的另一个特解

16、和通解。解：令代入 2、二阶变系数微分方程的平移法 【例42】 Riccati 方程 （1） 只有在已知其中一个特解时，才有解 令代入方程（1）得 这是一个伯努利方程，再令 【例43】 解：观察是原方程的一个特解， 令 类似的题有（1） （2） 希望同学们自己联系完成结论。【例44】的解法。 解：无法观察其特解，上述方法不能用 首先令代入原方程 再令 3、二阶变系数微分方程级数法（重点） 【例45】， 解： 令 评 注 上述几种特殊解法中例题大多选自各院校的校题或国题，读者要高度重视其解法思想。 第八章 常微分方程习题一、填空题1、微分方程的通解为 2、方程满足的特解为 3、微分方程满足初始条

17、件的特解是 4、初值问题的解为 5、方程的通解为 6、方程的通解为 7、方程的通解为 二、解答题1、求方程的通解2、求方程的通解3、设在上连续，且满足求的表达式4、设在内二阶可导，且，已知曲线在点处的切线方程在y轴上的截距等于曲线在区间上的弧长，求曲线方程5、设函数在内二阶可导且满足等式（1）验证（2）若，求函数的表达式。6、考虑远离地球的物体m（质量亦记为m）由于万有引力的作用向地面垂直下降（不计空气阻力等其他力）。设物体远离地心的初始距离为R，初始速度为，万有引力常数为，地球的质量为M，他们满足。试求物体m离地心的距离S与时间的函数关系式。7、设有二阶连续导数，并满足方程，求第八章 常微分

18、方程习题答案一、填空题1、 2、 3、或 4、 5、（利用叠加原理求特解）6、 7、二、解答题1、 2、 3、4、由，则。由题意不难得到（弧长）=（截距）。微分后可用降阶法，解得5、（1）直接验证； （2）6、7、第二节 差分方程一、三基层面 1差分与差分方程的概念将函数记为，当遍取非负整数时的函数值构成一个数列，称为的一阶差分。 并称为的二阶差分。 含有未知函数的差分或表示函数几个时期的关系的方程称为差分方程。差分方程中未知数的附标最大值与最小值的差称为差分方程的阶，我们只需掌握一阶差分方程的解法及其简单经济学应用即可。2一阶差分方程的一般解法-代定系数试解法 一阶差分方程得标准形式：，对应齐次方程的通解为 特解分下列4种典型形式： 试探解取： 试探解取： 试探解取： 试探解取： 陈氏第22技 如果为上述四种的任意组合形式，则首先写出与形式完全相同但系数待定的试探特解，代入原差分方程，若求解困难或出现矛盾结论，则将前试探解再乘上后再代入，即可求出特解。3二阶差分