(完整版)指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

1、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（ 1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 ,负数的 n 次n a零的 n 次方根是零方根是一个负数当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 ,它们互为相反数na ( a0)负数没有偶次方根（ 2）两个重要公式an 为奇数 n a na( a0)；| a |0)n 为偶数a(a (n a ) na （注意 a 必须使 na 有意义）。2有理数指数幂（ 1）幂的有关概念m正数的正分数指数幂: a n n am (a0,

2、 m、 nN ,且 n1) ;m11正数的负分数指数幂:a n0, m、 nN , 且 n 1)m(aa nn am0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（ 2）有理数指数幂的性质 aras=ar+s(a0,r 、 s Q); (ar)s=ars(a0,r 、s Q); (ab)r=arbs(a0,b0,r Q);. 3指数函数的图象与性质1y=axa10a0 时， y1;(2) 当 x0 时， 0y1;x0 时 ,0y1x1(3) 在（ - ，+）上是增函数（ 3）在（ -， +）上是减函数注： 如图所示，是

3、指数函数（1） y=ax,（2） y=b x, （ 3）,y=c x（ 4） ,y=d x 的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1, cd1ab 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果 axN (a0且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作x log aN ，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a0,且a 1log a N常用对数底数为

4、10lg N自然对数底数为 eln N2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（ a0,且a 1）： log a10， log aa1， alog aNN ， log aa NN 。2（2）对数的重要公式：换底公式： logb NlogaN(a,b均为大于零且不等于 1,N0) ；loga b log ab1a。logb（3）对数的运算法则：如果 a0,且a1 ， M0, N0 那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog aN ；log a MN log aM nn log aM ( nR) ； logm bnn log a b 。am3、对数函数的图象与性

5、质a 10 a 1图象性（ 1）定义域：（0,+）质（ 2）值域： R（ 3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1，0）（4）当 0x1时， y (,0) ；（ 4）当 x1 时， y(,0) ；当x1时，y(0,)当0 x时，y(0,)1（ 5）在（ 0,+）上为增函数（ 5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 0cd1a1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ， yx2 ， y=x -1 ；1当 0x 01，函数 f(x)=log

6、ax 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1 , 则 a=( )2(A) 2（B）2（C） 22（D）464.（ A ）已知 f (x)是周期为2 的奇函数，当0x1 时， f ( x) lg x. 设a635）f ( ), bf ( ), cf ( ), 则（522（ A ） a bc（ B） b a c（ C） cb a（ D） c a b2ex 1 , x2,则不等式 f(x)2 的解集为（）5.（ B ）设 f(x)=log 3 (x21), x 2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B) （10 ， +）(C)（ 1，2）（10， +）(D) （ 1， 2）6（ A）设 Pl

7、og 2 3 ， Qlog3 2 ， Rlog 2 (log 3 2)，则（）RQPPRQQRPRPQ7 (A) 已知 log 1 blog 1 a log 1 c ，则 ()222A 2b2a2cB 2a2b2cC 2c2b2aD 2c2 a2b8（ B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1 上单调递减的是（）（ A ） f ( x)sin x(B)f ( x)x 1(C)f (x)1(a xa x )(D)f ( x)ln2x22x9. （ A）函数 ylog 1 (3 x2)的定义域是： （）2A1,)B(32 ,)C 32 ,1D( 32 ,110.(A) 已知函数 ylog 1x与y

8、kx 的图象有公共点A，且点 A 的横坐标为 2，则 k （）4A 1B1C11442D211（ B ）若函数 f (x)axb1( a0且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A 0 a 1且 b 0B a 1且b 0C 0 a 1且b 0D a 1且b 0a,2a(B)若函数f (x)log ax(0a1)在区间上的最大值是最小值的3 倍，则 a=12（）A.2B.21142C.D.4213.(A) 已知 0x y a1，则有（）（ A ） log a ( xy)0（B） 0log a ( xy)1（C）1log a (xy )2（ D） log a (xy ) 214. （ A

9、 ）已知 f ( x6 )log2 x ，那么 f (8)等于（）4（B）8（C）181（ A ）（ D）3215（ B ）函数 y lg|x|（）A 是偶函数，在区间 (，0) 上单调递增B 是偶函数，在区间( ，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0， )上单调递增D 是奇函数，在区间(0， )上单调递减16.（ A ）函数 ylg( 4x )_.x3的定义域是717（ B ）函数 y a1x (a0， a1) 的图象恒过定点A ，若点 A 在直线mx ny 1 0(mn110) 上，则的最小值为mn18（ A ）设 g( x)ex , x0.1lnx, x则 g( g ( ) _0.219

10、（ B ）若函数 f(x) =2x22 ax a1的定义域为 R，则 a 的取值范围为 _.20 (B) 若函数 f (x)loga ( xx 22a2 ) 是奇函数，则 a=21.(B) 已知函数f ( x)11x ，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调xlog 2 1x性.1136b 3(a3b 2)71248422参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1.解：（ 1） 2 ，（ 2） a 29135 ab .5 a 2b 251(3)110变式：解：（ 1） 1,（32）244ab4ab例2. 解：B变式：解： (0, 1 ) ；2例 3.解：（） b 1（）减函数。1（

11、） k3变式：解：（ 1） a=1. （2）略例 4. 解：（1）-1. （2）1. （3） 1 .2133（ 2）2.（ 3）52.log 2变式：解：(1)2log 22242例5. 解：选D。变式：解： C例 6. 解： (1 ，3 1 ， 1）3变式：解： a|2-23 a 2例 7. 解：（ 1）当 x1 或 x1 时， f ( x)g (x) ；（ 2）当 x1 时， f (x)g( x) ；（3）当 1x 1且 x 0 时， f ( x) g( x) 变式：解：（ 1） f(x)=x -4 .（ 2） F（ x） = a2bx3 ， F（ -x ） = a2+bx3.xx当 a 0，且 b 0 时， F（ x）为非奇非偶函数；8当 a=0,b 0 时， F（ x）为奇函数；当 a 0,b=0 时， F（ x）为偶函数；当 a=0,b=0 时， F（ x）既是奇函数，又是偶函数 .四：方向预测、胜利在望15 ADDDC；610 AADDA；1115 CADDB.16. (-, 3)(3,4)17. 418. 119.-1,020.222x0由 1x21 解 x 须满足 1x得1x1,x01x01所以函数 f ( x) 的定义域为（1， 0）（ 0，1） .因为函数 f ( x)