教学课题§3奥-高、斯托克斯公式

1、教学课题：3奥高、斯托克斯公式教学目的：掌握奥高与斯托克斯公式教学重点：奥高公式与斯托克斯公式教学过程： 奥高公式格林公式揭示了平面区域上的二重积分与围成该区域的闭曲线上的第二型曲线积分之间的联系，奥(Ostogradsky,1801-1862,俄国数学家)高(Gauss,1777-1855，德国数学家)公式则揭示了空间域上的三重积分与的边界曲面上的第二型曲面积分之间的联系。可以认为奥高公式是格林公式在三维空间的推广。若三维空间中的有界闭域是由光滑的闭曲面所围成，函数、及其偏导数在有界闭域上连续，则 （）其中曲面取外侧。公式（）称为奥高公式。证 首先证明如图7.1所示，设在平面上的投影域为,以

2、的边界为准线，以平行于轴的直线为母线所做的柱面。把闭曲面分成三部分：其一为的侧面，另外两部分分别为的上、下底和。其中：与：。因为上的法向量垂直于轴，故。从而 根据三重积分的计算公式，有=根据曲面积分的性质，得（）同理可证 （） （）将等式（）、（）和（）的等号左右端分别相加，得奥高公式（）。 若曲面与平行坐标轴的直线的交点多于两个，可用光滑曲面将有界闭域分割成若干个小区域，使围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，奥高公式仍是正确的。奥高公式在图中的复连通域也成立。这里，的边界曲面为，的边界曲面为，则奥高公式为 ()如果设闭曲面上点的外单位法向量，由两类曲面面积分之间的关系可知，奥高公式又可改为

3、= 在奥高公式（7.1）中,令,则有 于是中的有界闭域的体积可用第二型曲面积分表示为 ()例计算,其中是平面及三个坐标面所围成的立方体的外侧表面.解 设 ,则 由奥高公式,有 例计算 ,其中为旋转抛物部分的外侧。 解 作辅助平面,则平面与旋转抛物面围成空间有界闭域,设的下底是及 于是由奥高公式,有 = = 例计算 ,其中为球面的外侧.解 因为当点时,于是由奥高公式,有 例试证 , 其中在闭曲面所围的有界闭域有二阶连续偏导数,取外侧,且为的单位法向量. 证 记 , , ,则 、在上连续，从而由奥高公式，有 例求流速场流过曲面的流量，其中具有连续的导函数，为、所围立体的表面内侧。 解 设所包围的空

4、间闭域为。 则、在上连续，所以由奥高公式,有 =例设为的一个光滑闭曲面，为上的点处的外单位法向量，试就：（1）不包含原点（2）包含原点分别计算曲面面积积分 ，其中 。解 设 ，则 于是 （1） 当不包含原点时，令为所围成的有界闭区域。设 则 ，由对称性可知 ，且及、在上连续，所以由奥高公式,有 （2） 当包含原点时，在内挖去一小球面 。取内侧。记与所围成的有界闭域为，见图7.4，则由复连通域情形的奥-高公式,有 例证明:由圆锥曲面和平面所围成的锥体(见图7.4)体积等于,其中为位于平面上的锥底的面积,为锥的高. 证 设锥体的表面为,锥底为,则,于是锥体的体积其中为上点为锥面的顶点,则 (利用奥

5、-高公式)注意到当点时, 当点时, ,于是 。 斯托克斯公式中的奥-高公式揭示了沿着闭曲面第二型曲面积分与该曲面所围成的闭区域上的三重积分之间的内在联系,认为是格林公式在三维空间 的推广.而格林公式还可以从另一方面进行推广,就是将曲面积分与沿该曲面的边界闭曲线的积分联系起来.设为一光滑的有界开曲面,其边缘是空间闭曲线.这里曲面的正向与闭曲线的正向要符合右手系.即右手的四指按的正向弯曲, 则大拇指指向为曲面的正向,反之亦然.定理设光滑的开曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线,函数、及其偏导数在曲面上连续,则= （）这里曲面的正侧与曲线的正向成右手系.公式（）称为斯托克斯 (Stokes,181919

6、03，英国数学家)公式。证 首先假设平行于三个坐标轴的直线与曲面的交点至多只有一个。下面证明=设曲面在平面上的投影区域为 ，区域的边界曲线为 ，的方向与一致。曲面的方程为 如图所示。 平行于轴的直线与曲面至多有一个交点，由曲线积分计算公式，有=另一方面=于是 = = = （利用格林公式） 可见 = 如果曲面的法向量与轴的正向夹角 ，同样的方法可证上式成立。同理可得 = = 将上面三式的等号左、右两端分别相加，得斯托克斯公式(8.1) .若曲面与平行于三个坐标轴的直线交点多于一点,可利用一些辅助曲线把它分成若干块,使每块与平行与三个坐标轴的直线至多交于一点,那么在每一块上应用 (),相加并注意到

7、在辅助曲线上线积分恰好来回各积分一次而相互抵消,从而式() 仍成立. 斯托克斯公式也用第一型曲面积分表示,即= （）其中 是的单位法向量.为了便于记忆,可将(8.2)中的曲面积分记做= 于是斯托克斯公式也可写做= （）特别,当是平面上的简单闭曲线，曲面 是在 平面上所围成的平面区域, 斯托克斯公式就退化为格林公式.例计算，其中点是由点、 组成的三角形的边界ABCA,正向取做 ,如图 8.2 所示。解 当然此题可以直接去计算曲线积分.这里用斯托克斯公式来计算. 把闭曲线视由点A、B、C所确定的三角形平面的边界.记该三角形平面为 , 则 的方向确定了上的侧 ,符合右手系.于是,记 则 可见、及其偏

8、导数在 上连续, 根据斯托克斯公式,有= =由于 或 ， 且取上侧 , 于是由第二型曲面积分计算公式 ,有 = =例计算, 其中曲线是螺旋线：如图所示 . 解 曲线 加上线段构成逐段光滑闭曲线 ,其中， 记以为边界的图 8.3 所示的阴影部分的曲面为 ,且 正方向与 的方向与符合右手系.于是由斯托克斯公式,有 =于是 = =例计算 ,其中 曲线 是立方体 、的表面与平面 的交线,其方向与平面指定的法方向构成右手系,如图所示 .解 ， 由斯托克斯公式,有 = = =由于的单位法向量 ,于是 = = = 是曲面 在 平面上的投影,它的面积是，从而 例计算 ,其中为：(1) 任意不围绕也不通过 轴的

9、闭曲线,从 轴正方向看其方向为逆时针方向,如图8.5(a) .(2) 任意围绕 轴一圈的闭曲线,从 轴正方向看其方向为逆时针方向, 如图8.5(b) .解 (1) 任取一个以 为边界且不通过 轴的曲面 ,由假设 ， ，且 故由斯托克斯公式,此时有 = =(2) 此时以 为边界的任意曲面与 轴相交,因而不满足斯托克斯公式的条件.为了用斯托克斯公式计算原线积分,我们以 为准线,以平行于 轴的直线为母线作一柱面,该柱面在 平面上的交线为,其方向从 轴正方向看为 顺时针方向。取该柱面在与 之间的部分为曲面,并在上任取一条母线， 以闭曲线 为该柱面 的边界线, 的正向取内侧,于是由斯托克斯公式,有 =又因为 = = =根据复连域上的格林公式,有 =于是令 , 则于是,有 平面曲线积分与路径无关的等价命题,也可推广到三维空间上来,有如下两个定理。证明留给读者，这里从略。定理设向量函数 的三个分量函数及其偏导数在的单连通域 上连续, 则下列命题是等价的.(1) 曲线积分 只与曲线的起、终点、有关,而与 的路径无关。(2) 在 内存在三元函数,使 (3) , 有 (4) 对 内的任意光滑或逐段光滑闭曲线 ,有 定理若函数