(完整版)数学分析(4)复习提纲(全部版)

1、数学分析（ 4）复习提纲第一部分实数理论§ 1实数的完备性公理一、实数的定义在集合 R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。（ 1）域公理：（ 2）全序公理：（ 3）连续性公理 （ Dedekind 分割原理）：设 R 的两个子集 A ， A 满足：1°A ,A 2°AAR3°xA,xAxx则或 A 中有最大元而A 中无最小元，或A 中无最大元而A 中有最小元。评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助

2、其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理 ：单调有界定理：区间套定理 ：有限覆盖定理：（ Heine-Borel ）1聚点定理 ： (Weierstrass)致密性定理 ： (Bolzano-Weierstrass)柯西收敛准则：(Cauchy)习题 1证明 Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。习题 2用区间套定理证明有限覆盖定理。习题 3用有限覆盖定理证明聚点定理。评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间Rn ？

3、如何叙述？§ 2闭区间上连续函数的性质有界性定理 ：上册 P168；下册 P102,Th16.8 ；下册 P312,Th23.4最值定理 ：上册 P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册 P169；下册 P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册 P171；下册 P103,Th16.9 ；下册 P312,Th23.7习题 4用有限覆盖定理证明有界性定理习题 5用致密性定理证明一致连续性定理§ 3数列的上 (下 )极限三种等价定义：（ 1）确界定义；（ 2）聚点定义；（ 3）N 定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N

4、 定义易于理论证明习题 6用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（ P173）习题 7证明上面三种定义的等价性。第二部分级数理论§ 1数项级数前言 级数理论是极限理论的直接延伸， 但又有自身独特的问题、 特点和研究方法。 上（下）极限是研究级数的一个有力工具。 对于数项级数， 可看作有限个数求和的推广， 自然要考虑如何定义其和， 两个级数的和与积， 结合律、 交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无2穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。一、 Cauchy收敛准则unu1u2n 1几个概念部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？收敛的必要条件un收敛un0n1评注

5、此结论由 unSnSn1 两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy 收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分af ( x)dx 即使 f (x)0也不能推出 f ( x) 0( x) （参见反常积分）Cauchy 收敛准则un 收敛0,N , nN , p, 有n 1Sn pSnun 1un 2un p思考正面叙述级数发散的 Cauchy 准则。加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。 也就是说收敛的级数满足结合律。评注只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发

6、散，从而推出原级数 （去括号的）也发散。二、正项级数正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得：基本结论正项级数收敛其部分和有上界。比较判别法 ：比较判别法的极限形式：评注对于比较判别法，主要考虑n 充分大以后（nn0 ） u n 与 vn 的大小关系，因此极限3形式更方便。如果 lim unl (0 l) ，要认识到，当n 充分大时， un 与 vn 是“等价”vn的，即大小“差不多” ，确切地说当 n n0时，存在正常数c1 和 c2 使 c1 vnun c2vn ，由此 c1 unvnc2 un 。如果 l0 或，它们的“大小”关系如何？n根式判别法设 limunl ，当 l1时，u

7、 n 收敛；当 l1 时，un 发散。比式判别法lim un1q1，则un收敛；u nlim un1q1，则un发散。un习题 1证明上面根式判别法习题 2证明 lim un1lim nunlim n unlim un 1 （ un0 ）unun推论： limun1llim n unlun评注由习题 2 知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之， 凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。但是，它们在判别发散时， 却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。

8、习题 3考虑级数 111111，说明根式法比比式法更有效。2322322333评注无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数cqn 比较的，对于 p级数1 必然失效。（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。如果与pn p级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。积分判别法：拉贝判别法的极限形式：习题 4( 2n 1)!1P17，11（1） 用拉贝法判别级数的收敛性，并说明比式法与(2n)!2n 1根式法都无效。4三、一般项级数评注对一般项级数un （有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对收敛性（即un 是否收敛），如果是绝对收敛，当然原

9、级也收敛，如果是用根式或比式判别法得到un 发散，则un 必发散（这在前面的评注中已经说过了）。Leibniz 判别法 ：Able 引理 ： uk ,vk ， k1,2, n 是两数组， uk 单调，kv1vk ，则nAuk vkA( u12 un ) ，其中kk1对于形如an bn 的级数，设an 单调，把 Able 引理用于npak bk2M ( an 12an p )kn 1其中 M 满足： Sn(b )nnpSn(b)pSn(b )bkMbk2Mk 1kn 1再结合 Cauchy 准则，附加适当的条件使2M ( an 12an p ) 能充分小，便可得到Able 和Dirichlet判

10、别法D 判别法 ：（ 1） an单调；（ 2） an0；（ 3）bn 有界，则an bn 收敛。A 判别法 ：（ 1） an单调；（ 2） an 有界；（ 3）bn收敛，则anbn 收敛。评注 记住 A 和 D 判别法的关键是记住Able 引理。这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。习题 5用 D 判别法直接证明Leibniz 判别法和Able 判别法。习题 6讨论级数11111（R ）的收敛性。13456021提示：分，01，1情况讨论。，答案：1时，收敛，其它发散。习题 7xn111利用级数收敛性，证明数列2ln n的极限存在。（注：此极限称n为 Euler 常数0.577

11、216）5提示：把 xn 看成某数列的部分和。即a1x1 ， anxnxn 1 (n2,3,) ，等价地要证明an收敛， an11111111nln(1)2n2o(2 )2n2o(2 )nnnnn四、绝对收敛与条件收敛级数的性质重排定理 ：设un 绝对收敛， 其和为 S ，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不变。Riemann 定理 ：设un 条件收敛，又，则一定存在un 的重排级数u n ，使其部分和Sn 满足： lim Sn， lim Sn。也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。柯西定理 ：设un 和vn 都绝对收敛，unA ，vnB

12、，则对所有乘积项ui v j 按任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于AB 。评注两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即cnu0vnu1 vn 1unv0cn 也称u n 和vn 的柯西乘积。§ 2函数项级数前言函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。数列的极限 （或数项级数的和） 定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。一、函数列（函数项级数）的一致收敛几个概念对于函数列：逐点收

13、敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？对于函数项级数如何叙述以上概念？评注逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。6思考正面叙述不一致收敛。用范数定义一致收敛记fsup f ( x) （称为f 的一致范数或无穷大范数），x D如果f nfsup f n ( x)f ( x)0(n0) ，则称 f n ( x) 在 D 上一致收敛于f ( x) 。xD评注fg就是两个函数的距离。定义的等价性是显然的（见P29， Th13.2 ）。这个定义往往使用起来更方便（参见P30，例 3）。二、函数项级数一致收敛的判别法Cauchy 准则 ：必要条件 ：

14、u n (x) 一致收敛un ( x)0 （一致）M 判别法（控制收敛判别法） ：Able 与 Dirichlet判别法 ：习题 8设 un ( x)C a, b, (n1,2,) ，un (x) 在 (a,b) 上一致收敛，证明：（1）un (a),un (b) 收敛（2）un (x) 在 a, b 上一致收敛。提示：用 Cauchy 准则。评注 第一结论的逆否命题是判别不一致收敛的一个常用结论。即设un (x) C a,b ，而u n (a) 发散，则un (x) 在 (a, a) 必不一致收敛。习题 9判别下面级数的一致收敛性（1）ln(1xa) ， xn2n ln 2 n（2）sin

15、x sin nx ， 0xn1nx（3）x(xn)n， x0,1n1n2n提示：（ 1）考虑用 M 判别法（ 2）考虑用 D 判别法（ 3）考虑用 A 判别法习题 10（参见P34，例7）若数列an单调趋于零，证明级数an cosnx 在 (0,2) 内7闭一致收敛，举列说明在(0,2 ) 不一致收敛。提示：前半部分即书上例题，后半部分例如取an118 的结论。，对cosnx 应用习题nn三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质连续性（逐项求极限） ：可积性（逐项求积） ：可微性（逐项求导） ：评注容易举例说明没有一致收敛的保证，上述三个性质都不能保证。同时，又可举例说明，上述所附加的条件只是充

16、分条件而非必要条件。 要记清楚每个定理的条件尤其是可微性的条件。习题 11证明 f (x)( x1) n 在 (1,1) 连续。n 1n提示：该级数在( 1,1) 并不是一致收敛（为什么？），不能直接用连续性定理。但可以证明在 ( 1,1) 上是内闭一致收敛的，这对连续性就够了。评注 连续性与可微性都是对点而言的， 在应用这两个定理时， 不必要求在整个区间上一致收敛，只要内闭一致收敛就够了。习题 12设函数项级数ne nx , x(0,)n 1（ 1）证明此级数在 (0, ) 收敛但不一致收敛。（ 2）求此级数的和函数提示：（ 1）对于不一致可用习题 8 的结论，也可证明通项不一致趋于零。建议

17、两种方法都试一试。（ 2）证明内闭一致收敛，再用逐项微分法。习题 13 求证（1）xnsin t d tx sin td t (0 x1)t1 tn 000（2）x t n sin t dt 在 x 0,1上一致收敛n 0081tnsin t d t1 sin （3）0tdt0tn 0提示：上述3 条结论后者要借用前者，每上步的依据一定要说清楚。评注该题启示我们： 如果在闭区间能直接用逐项积分当然更好，否则先缩小区间在小区间上用，然后再利用连续性把结论扩大到整个区间上。§3幂级数前言幂级数是最简单同时又有很大应用性的级数，不仅在数学分析而且在复变函数论中有重要应用。学习的重点是求收敛

18、半径和收敛域；求和函数；幂级数展开。一、收敛半径考虑an xn1（R可以是 0和）Cauchy-Hadamard 定理 Rlim nan则上面幂级数在xR 绝对收敛，在xR 发散。几个概念收敛半径？收敛区间？收敛域？习题 14证明 Cauchy-Hadamard 定理。二、幂级数的性质内闭一致敛性 幂级数在其收敛域上内闭一致收敛。也就是说在收敛区间上内闭一致收敛，如果级数在端点的收敛，则内闭区间可扩大到端点。与分析运算可交换性 和函数在收域内连续； 在收敛区间可逐项积分与逐项求导， 而且逐项积分与逐项求导后的级数其收敛半径不变。习题 15 （P51， 3）证明：设f (x)an xn 在 xR

19、 内收敛，若anR n 1 也收敛，n 1Rf (x) d xan R n 1则0n 1评注这是一个很有用的结论，幂级数通过逐项积分后其收敛域可能扩大到端点。注意这里9不要求an xn 在 xR 收敛。例如 f ( x)11x x2x3， x 1 。在 x 11x是发散的，但逐项积分后x 2x3在 x1是收敛的，由该结论x32ln(1 x)x 2x3， x( 1,1 ，从而 ln 211x31322习题 16求幂级数的收敛域。x n2（1）2n （ P51， 1（ 8）（2）3 ( 1) n n ( x1) n （ P51， 7（ 1）有所改动）n 1n答案：（ 1） 1,1 ；（ 2） (3

20、 , 5)4 4三、幂级数展开常用的幂数展开1？ ln(1x)？ arctan x？ ex？ sin x？ cos x？ (1 x)？1 x欧拉公式eixcos xi sin x习题 17求 f ( x)arctan2x 2在 x0的幂级数展开21x提示：f ( x)1x2习题 18（ 1）求 ln 2 (1x) 在 x0 的幂级数展开（2）求( 1)n 1(111)的和n 1n12n提示：（ 1）考虑级数的柯西乘积。（ 2）利用（ 1）的结论。答案：（ 1） 2x 2( 1)n 1(111 ) x n 1 , x1；（ 2） ln 2 2n 1n 12n210第三部分反常积分§ 1

21、(不含参量的 )反常积分前言 ：Riemann 积分的定义要求积分区间有限，被积函数有界，如果这两有一条不满足，则称为反常积分。 不含参量的反常积分大部分内容已经学过， 这里再复习一下， 它也是含参量反常积分的基础。一、无穷积分定义f (x) 在 a,) 有定义，对ua ， f 在 a, u 可积defaf ( x) d xbdeff ( x) d xdef类似地，f ( x) d xf (x) d xlimux评注f (x) d x 。例如2d x按两种定义结果如何？uu1 x绝对收敛与条件收敛如果对 ua， f 在 a, u 可积，且f (x) d x 收敛，称为绝对a收敛；如果f (x)

22、 d x 收敛，而f ( x) d x 不收敛，称为条件收敛。aa评注积分绝对收敛的定义与级数绝对收敛的定义有点不同。对于级数，un 收敛就称绝对收敛，而对于积分一定要有“对ua ， f 在 a,u 可积”这个条件。否则绝对收敛2uf ( x)1/ x, xQ ，f d x 收敛，但自身不一定收敛，例如：f d x 不存在。1/ x2, xQ11以后“对u a ， f在 a,u 可积”这个条件作为默认，不再明确指出。审敛法1柯西准则2绝对收敛与条件的关系3比较判别法及其极限形式4柯西判别法及其极限形式5 Able 与 Dirichlet判别法11评注比较判别法只适于判别正值函数或绝对收敛，而柯

23、西判别法是与p积分比较而得到的比较判别法。A, D 判别法是借助于积分第二中值定理证明的，而积分第二中值定理我们作为已知结论。对于A, D 判别法要理解其证明的思想以例把它平移到含参量的一致收性判别，再与级数的这两个方法比较，它们的本质是差不多的。常用结论 （它们收敛情况如何？）1 p( a 0)d xd x积分ap ， (a 1)ax(ln x)px2cosax d x ，sin ax d x1xp1xp3sin x 2 d x ，cos x 2 d x ，xsin x 4 d x111二、瑕积分请对照无穷积分写出有关定义的结论评注瑕积分都可转化为无穷积分习题 1举例说明：在 a,) 上的连

24、续函数 f ( x)0 或 f ( x)0 ，f (x) d x 收敛，a但 limf (x)0x习题 2（上册 P276， 9） f在 a,) 上一致连续，af ( x) d x 收敛，则 lim f (x) 0x习题 3（上册P274，例 3）讨论cosaxd x ，sin ax0 ）的收敛性1xpxpd x （ p1sin xarctan x d x( p习题 4讨论0) 的收敛性1xp提示利用上题结论。答案p1时绝对收敛； 0p1时条件收敛习题 5x s 1 e x ln xt讨论d x 的收敛性0答案s 0, t1时收敛，其它发散( p, q)11 (1x) q 1 d x 的收敛性

25、习题 6讨论x p012§ 2含参量反常积分说明主要以无穷积分为主进行讨论一、一致收敛定义Cauchy 准则M- 判别法Able 与 Dirichlet判别法习题 7（P189， 1（3）习题 8（P180，例 1）习题 9（P183，例 3）习题 10（P183，例 4）二、含参量反常积分的性质连续性可积性可微性习题 11（P189， 2）习题 12（P189， 3）习题 13（P189， 4（ 1）（ 2）（3）三、欧拉积分习题 14证明欧拉积分（两个）在其定义域上内闭一致收敛习题 15计算下面各题（1）dx；（ 2）tan xdx ；（ 3）x2 n exdx1/ 2201 x

26、1/ 40013第四部分向量函数§ 1欧氏空间 Rn一、欧氏空间Rn线性空间 ：Rn 首先作为线性空间 （向量空间） 有如下概念： 线性表示 （组合），线性相关（线性无关），子空间，基，维数等概念。欧氏空间 ： Rn 作为欧氏空间有如下概念：内积，正交，范数，距离等概念。注意我们都是使用约定的内积，范数，距离。当然还要了解公理化定义的这三个概念。比如，TT( x, x) Ax Ax （ A 是对称正定矩阵）也是一种内积，而x Ax Ax 就这个内积导出的范数。二、点集拓扑有了距离的概念可导出Rn 上的拓扑。搞清下列概念：邻域：内点、外点、边界点： （内部，边界）聚点、孤立点、外点：开

27、集、闭集：S 开SC 闭（ P93，9）区域：有界集、无界集： （直径）习题 1（P92， 3）习题 2（P313， 2）三、完备性点列的极限 ： x (k )(x1(k ) , x2(k) , xn(k)TR n ，如果 xi( k)xi (k) ， i1,2, , n ，则称 x( k) 的极限是 x(x1, x2 , xn ) T，14lim x( k)xlimx( k)x 0kkCauchy 准则 ： x (k ) 收敛0,K ,kK ,p ，有( x (k p) , x(k ) )x(k p )x( k)聚点定理 ：有限覆盖定理：§ 2向量函数一、线性映射（函数）映射 ：单

28、射，满射，一一对应，逆映射，复合映射等。它们是如何定义的？线性映射 ：（定义是什么？）RnR m 的线性映射全体记为 L( R n , R m ) ，而 R nR n 的线性映射又称线性变换，其全体记为 L(R n ) 。在 L(R n , R m ) 中，可定义线性映射的加法、数乘（如何定义的？），使得L( R n , R m ) 又成为一个线性空间，还可定义乘法即复合线性映射（如何定义的？）。线性映射的表示矩阵 ：在选定 Rn 与 Rm的基之后， L( R n , Rm ) 就与 Rm n 建立了一一对应关系。设 A L( Rn , R m ) 与之对应的矩阵A 就称为线性映射 A 的表示

29、矩阵。当都选定自然基时， A(x )Ax 。在这种约定下，线性映射也说成一个矩阵，以后不再写粗体，要注意区分。算子范数 ：线性映射也称为算子，在L (Rn , Rm ) 中定义算子范数如下：A maxAxmax Axxx 0x 1可以证明这样定义的算子范数满足：（1）A0且A0A0（ 2）（ 3）kAkA , kRABAB ， A, BL(R n , R m )15（4） BAB A ， AL (Rn , R m ), BL(R m , Rr )上面算子范数也可看成矩阵范数。有了范数，L( R n , R m ) 就成为线性赋范空间。二、连续函数（映射）连续和一致连续的定义：有界闭集上连续函数的性质： P312，Th23.4.5.6习题 3设 f ( x) 是 Rn 上的实值连续函数，并满足：（1） x 0, f (x)0；（ 2） x,c0, f (cx) cf (x) ，证明 c1 ,c20使 c1 xf ( x) c2 x提示：单位球面 Dx Rn | x1 是有界闭集（为什么？） ， f 在 D 取到最大值与最小值，记为 c2 和 c1 。评注由该题知， Rn 中所有范数（满足三条范数公理）都是等价的。即设x与 x 是两种范数，则c1 , c20使 c1xxc2 x 。例如对 x AxT Ax 与 xxT x（这一结论在讨论极值时要用到）。这一结论可