投资学讲义第3章(2)

1、3.2 资产组合理论 第3章 投资组合理论 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发 表的投资组合选择为标志 1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提 出了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM） 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模 型（Arbitrage pricing theory，APT）。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够 真正地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年， Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说 （Eff

2、icient market hypothesis，EMH） 天津大学管理与经济学部 投资学 2 3.2 资产组合理论 基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标 准差）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即 投资者是理性的。 （3）投资者的投资为单一投资期，多期 投资是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。 天津大学管理与经济学部 投资学 3 3.2.1 组合的可行集和有效集 可行集与有效集 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组 合的期望收益和方差。 有效组合（Ef

3、ficient portfolio ）：给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平 下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个 点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界 （ Efficient frontier）,它是有效组合的集合 （点的连线）。 天津大学管理与经济学部 投资学 4 两种风险资产构成的组合的风险与收益 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系 数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望 收益和方差为 rp = w1r1 w2 r2 2 2 p w12 12 + w2 22 + 2 w1 w2 12 2 2 w12 12 + w2 2

4、 + 2 w1 w2 1 2 12 注意到两种资产的相关系数为1121 因此，分别在121和121时，可以得 到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。 其他所有的可能情况，在这两个边界之中。 由于 w1 w2 = 1，则 rp ( w1 = w1r1(1 w1 r2 p ( w1 w12 12 + (1 w1 2 22 + 2 w1 (1 w1 1 2 12 由此就构成了资产在给定条件下的可行集！ 天津大学管理与经济学部 投资学 5 天津大学管理与经济学部 投资学 6 1 3.2.2 两种完全正相关资产的可行集 两种资产完全正相关，即12 1，则有 组合的风险收益二维表示 收益rp p ( w

5、1 w1 1 + (1 w1 2 rp ( w1 = w1r1(1 w1 r2 当w11时， p 1，rp = r1 . 当w10时， p 2，rp = r2 所以，其可行集连接两点 （r1， 1）和（r2， 2）的直线。 天津大学管理与经济学部 投资学 风险p 7 天津大学管理与经济学部 投资学 8 命题3.1：完全正相关的两种资产构成的可行 集是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得 p ( w1 = w11 + (1 w1 2 w1 = ( p 2 /( 1 2 rp ( p = w1r1 + (1 w1 r2 = ( p 2 /(1 2 r1 + (1 ( p 2 /( 1 2 r

6、2 = r2 r1 r2 则 从而 两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许 买空卖空）。 收益 Erp (r1 , 1 1 2 2 + 1 2 r1 r2 p 投资学 9 天津大学管理与经济学部 (r2 , 2 投资学 风险p 10 故命题成立，证毕。 天津大学管理与经济学部 3.2.3 两种完全负相关资产的可行集 两种资产完全负相关，即12 =-1，则有 p ( w1 = w12 12 + (1 w1 2 22 2 w1 (1 w1 1 2 = | w1 1 (1 w1 2 | r p ( w1 = w1

7、 r1 (1 w1 r2 命题3.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两 条直线，其截距相同，斜率异号。 证明： 当 w1 1 + 2 p ( w1 = w1 1 (1 w1 2，则可以 得到 w1 = f ( p ，从而 p 2 p 2 r1(1 r 1 + 2 1 + 2 2 1 + 2 r1 r2 2 时 2 时 , p = 0 1 + 2 2 当 w1 时 ， p ( w1 = w1 1 (1 w1 2 1 + 2 2 当 w1 时 ， p ( w1 = (1 w1 2 w1 1 1 + 2 当 w1 = 天津大学管理与经济学部 投资学 11 rp ( p = = p + 1 + 2

8、 投资学 r1 r2 2 + r2 12 天津大学管理与经济学部 2 两种证券完全负相关的图示 同理可证 当w1 2 时, 1 + 2 p (w1 = (1 w1 2 w11，则 rp ( p = r1 r2 r r p + 1 2 2 + r2 1 + 2 1 + 2 收益rp (r1 , 1 1 +2 r r2 1 2 +r2 (r2 , 2 风险p 命题成立，证毕。 天津大学管理与经济学部 投资学 13 天津大学管理与经济学部 投资学 14 3.2.4 两种不完全相关的风险资产的 组合的可行集 总结：在各种相关系数下、两种风险资产 构成的可行集 收益Erp 当1 > > 1时

9、 rp ( w1 = w1r1(1 w1 r2 2 p ( w1 w12 12 + (1 w1 2 2 + 2w1 (1 w1 1 2 12 (r1 , 1 =1 尤其当0时 p ( w1 w + (1 w1 2 1 2 1 2 2 2 1 +2 r r2 1 2 +r2 (r2 , 2 =0 风险p 这是一条二次曲线， 事实上，当1 > > 1时，可行集都是二次曲线。 =-1 天津大学管理与经济学部 投资学 15 天津大学管理与经济学部 投资学 DynamicWeights.xls 16 Figure：Portfolio Expected Return as a function

10、 of Standard Deviation 最小方差组合（最低风险组合） 在可行集中，方差最低的投资机会，成为最低 风险组合或最小方差组合。 2 min P = w12 12 + w22 22 + 2 w1 w2 12 1 2 s.t w1 + w2 = 1 w1，w2 0 天津大学管理与经济学部 投资学 17 天津大学管理与经济学部 投资学 18 3 2 min p = w1212 + w22 22 + 2w1 w2 1,21 2 2. 最小方差组合 最小方差组合: = .2 (.22 - (.2(.15(.2 w1 = (.152 + (.22 - 2(.2(.15(.2 w1 + w2

11、 = 1 证券 1 E(r1 = .10 证券 2 E(r2 = .14 1 = .15 = .2 2 = .20 12 2 - Cov(r1r2 2 w1 = 1 + 2 - 2Cov(r1r2 2 2 投资学 19 w1 = .6733 w2 = (1 - .6733 = .3267 天津大学管理与经济学部 投资学 20 w2 = (1 - w1 天津大学管理与经济学部 最小方差组合 = -.3 rp = .6733(.10 + .3267(.14 = .1131 (.22 - (.2(.15(.2 w1 = (.152 + (.22 - 2(.2(.15(-.3 2(.2(.15(- p

12、 = (.67332(.152 + (.32672(.22 + 2(.6733(.3267(.2(.15(.2 1/2 w1 = .6087 w2 = (1 - .6087 = .3913 p= .0171 1/2 = .1308 投资学 21 天津大学管理与经济学部 投资学 22 天津大学管理与经济学部 最小方差组合 = -.3 rp = .6087(.10 + .3913(.14 = .1157 3种风险资产的组合二维表示 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两 两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假 设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。 收益rp 4 2 3 p = (.60

13、872(.152 + (.39132(.22 + 2(.6087(.3913(.2(.15(-.3 1/2 2(.6087(.3913(.2(.15(1/2 p= .0102 1/2 = .1009 投资学 23 1 风险p 天津大学管理与经济学部 投资学 24 天津大学管理与经济学部 4 n种风险资产的组合二维表示 类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。 收益rp 总结：可行集的两个性质 1. 在n种资产中，如果至少存在三项资 产彼此不完全相关，则可行集合将是 一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的 因为任意两项资产构成的投资组合

14、都位 于两项资产连线的左侧。 天津大学管理与经济学部 投资学 25 风险p 天津大学管理与经济学部 投资学 26 不可能的可行集 收益rp B A 3.2.5 风险资产组合的有效集 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收 益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一 些投资组合。 其特点是： 在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率； 在同种收益水平的情况下，提供最小风险。 我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称 之为有效资产组合； 风险p 天津大学管理与经济学部 投资学 27 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集 或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集 中产生，而对所有

15、不在有效集内的其它投资组合 则无须考虑。 天津大学管理与经济学部 投资学 28 马克维茨的数学模型 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·马 克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效 边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者 是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据均值方差准则可以转化为一个优 化问题，即 （1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化 天津大学管理与经济学部 投资学 29 3.3 多种风险资产的有效边界 E(r 有效边界 最小 方差 组合 单个资产 可行集 St. Dev. 天津大学管理与经济学部 投资学 30

16、5 天津大学管理与经济学部投资学31Figure :The Minimum-VarianceFrontier of Risky Assets天津大学管理与经济学部投资学321111min s.t.,1n nijiji j ni ii nii w w w r c w=11111212.c -=(,.,w=(,.,n n nn Tn n r r r w w w =#%#"r 若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量,求解组合中资产权重向量则有天津大学管理与经济学部投资学33对于上述带有约束条件的优化问题,可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1

17、111L (1n n n ni j ij i i i i j i i ww wr c w = 上式左右两边对w i 求导数,令其一阶条件为0,得到方程组天津大学管理与经济学部投资学34111122121000nj j j n j j j nj nj n j nLw r w Lw r w Lw r w =#和方程111ni i i n i i w r c w =天津大学管理与经济学部投资学35这样共有n +2方程,未知数为w i (i =1,2,n 、和,共有n +2个未知量,其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组,可以通过线性代数加以解决。例:假设三项不相关的资产,其均值分别为1,2,3,

18、方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为2,求解最优的权重。天津大学管理与经济学部投资学3631111123131231020302321j j j j j j j j j i i i i i Lw r w w L w r w w L w r w w w r w w w w w w w =+=+=10001001=由于1=(1,2,3,2T c =r天津大学管理与经济学部投资学3712301/31/31/31/3w w w =课外练习:假设三项不相关的资产。其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为1,求解最优的权重。由此得到组合的方差为213=天津大学管理与

19、经济学部投资学383.2.6 最优风险资产组合1.由于假设投资者是风险厌恶的,因此,最优投资组合必定位于有效集边界上,其他非有效的组合可以首先被排除。2.虽然投资者都是风险厌恶的,但程度有所不同,因此,最终从有效边界上挑选那一个资产组合,则取决于投资者的风险规避程度。边界共同决定了最优的投资组合。天津大学管理与经济学部投资学39不同理性投资者具有不同风险厌恶程度由无差异曲线族的陡峭程度来反映。无差异曲线越陡峭,投资者越厌恶风险。图a 代表的投资者与图b 代表的投资者相比,风险水平增加相同幅度, 图a 代表的投资者要求收益率的补偿要远远高于图b 所代表的投资者。 因此,图a 对应的投资者更加厌恶

20、风险。天津大学管理与经济学部投资学40最优组合的确定最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点O处。由G 点可见,对于更害怕风险的投资者,他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。天津大学管理与经济学部投资学41以上我们讨论了由风险资产构成的组合,但未讨论资产中加入无风险资产的情形。 假设无风险资产的具有正的期望收益,且其方差为0。将无风险资产加入已经构成的风险资产组合(风险基金中,形成了一个无风险资产+风险基金的新组合,则可以证明:新组合的有效前沿将是一条直线。3.3 资产配置与最优风险资产组合天津大学管理与经济学部投资学423.2 资本在风险资产与无风险资产之间配置资产配置是构建投资组

21、合的重要组成部分。 它可以看成一个无风险资产与一个风险证券组合的组合。天津大学管理与经济学部投资学43命题3.3:一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。11111111(1(1f p p fr r w w r r w r w r =+证明:假定风险组合(基金已经构成,其期望收益为,方差为,无风险资产的收益为,方差为0。为风险组合的投资比例,为无风险证券的投资比例,则组合的期望收益为天津大学管理与经济学部投资学44p 111111111(212(1,p p f p f f p ff w r r r r r r r r r =+组合的标准差为由(和(可得=可以发现这是一条以为截

22、距以为斜率的直线。命题成立,证毕。天津大学管理与经济学部投资学45r f = 7%f = 0%E(r p = 15%p = 22%y = 75% in r p(1-y = 25% in r f案例无杠杆组合与杠杆组合天津大学管理与经济学部投资学46c= .75(.22 = .165 or 16.5%If y = .75, thenc = 1(.22 = .22 or 22%If y = 1c = (.22 = .00 or 0%If y = 0无杠杆组合天津大学管理与经济学部投资学47以无风险利率借入,投资于股票(风险资产50%杠杆r c = (-.5 (.07 + (1.5 (.15 = .

23、19c = (1.5 (.22 = .33杠杆组合天津大学管理与经济学部投资学48资产配置线PFS = 8/22E(r p -r f = 8%天津大学管理与经济学部投资学49PFcE(r c = 13%C3.2 不同的资产配置组合可行集:CAL投资者所有可行的风险投资组合的期望收益与风险构成的直线,称为资本配置线(Capital Allocation Line, CAL天津大学管理与经济学部投资学50最优资本配置投资者的效用函数:A 是风险厌恶系数,整个资产组合期望收益:全部资产组合的方差投资者试图通过选择风险资产的最优配置y 来使效用最大化由微分的知识,令导数为0,得到风险资产的比例由A 值

24、决定最优配置与风险厌恶水平成反比,与风险溢价成正比。2(0.005U E r A =(C f p f E r r y E r r =+222CPy =222(0.005(0.005C C f p f PMaxU E r A r y E r r Ay =+*2(0.01P fPE r r y A =2(0.01p f PU E r r Ay =天津大学管理与经济学部投资学51在整个投资组合中,较高的风险厌恶水平配置较高比例的无风险资产较低的风险厌恶水平配置较高比例的风险资产对于高风险高收益的接受程度决定杠杆组合的比例风险厌恶与资本配置天津大学管理与经济学部投资学52风险厌恶与资产配置E(r7%P

25、贷借p = 22%天津大学管理与经济学部投资学53借贷利率不一时的CALE(r9%7%S = .36S = .27Pp = 22%天津大学管理与经济学部投资学543.4 含有无风险资产的资产配置线CALME(rCAL (最小方差CAL (ACAL (PP AFP P&F A&FM A GPM天津大学管理与经济学部投资学55E(rFr fAPQB CALSt. Dev3.5 包含无风险资产的有效边界天津大学管理与经济学部投资学56Determination of the OptimalOverall Portfolio天津大学管理与经济学部投资学57The Proportions

26、 of the OptimalOverall Portfolio天津大学管理与经济学部投资学583.6 最优全部资产组合的决定最优的资产配置线¾最大化过r f 切线的斜率,则得到最优的资产配置线。最优风险资产组合¾最优资产配置线与风险资产组合的有效边界相切的点,即为最优风险资产组合。max (/.1p p f piiS E r r s t w=天津大学管理与经济学部投资学593.6 最优全部资产组合的决定完成一个完整的资产组合的步骤:¾1 确定所有各类证券的收益特征(例如期望收益、方差、斜方差等。¾2 确定风险资产组合:a. 计算最优风险资产组合P ;b. 运用步骤(a 中确定的权重计算资产组合P 的资产。¾3 把资金配置在风险资产组合和无风险资产上:a. 计算资产组合P (风险资产组合和无风险资产的权重;b. 计算出完