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1、概率论习题五详解1 1、设X为离散型的随机变量，且期望P(X -EX| 2)0, ,都有(xpjP(X -EX &)=送P(X =X)兰艺|X上|Xi-EX至DXPi= =FX和Y的数学期望都是 2 2，方差分别为 1 1 和 4 4，而相关系数为 0.5，请利用切(Xj- EX22 2、设随机变量比雪夫不等式证明：pqxY I曲花。名2证E(X-Y)=0cov(X,Y )=PJDXDY=1D(X -Y)=DX +DY-2cov(X,Y)=5-2 = 3NX -Y| 6 )= Pq(X -Y )E(X -Y60.04、n兰冲兰0.01 n天0.0420 25从而有n 2= 156250

2、.01咒0.04即至少连抛 1562515625 次硬币，才能保证正面出现频率与0.010.01。4 4、每名学生的数学考试成绩X是随机变量，已知0.50.5 的偏差不小于 0.040.04 的概率不超过EX =80，DX =25，( 1 1)试用切比雪(2(2)多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在 7575 分到 8585 分之间的概率不低于 90%90%，至少要有多少学生参加考试？J DX E te 1 2又P(70 X 90)= P(70-EX X-EX 90-EX )= P(-10 X - EX 10 )解(1)(1)由切比雪夫不等式P(X-EX(0)25= =P(X -80 1

3、 -=0.75F100即该生的数学考试成绩在 7070 分到 9090 分之间的概率不低于 75%75%(2)(2)设有n个学生参加考试( (独立进行) )，记第i个学生的成绩为Xi(i = i,2.n)，则平均成绩_1n_ 1n_125为X= 2 Xj，又EX=送EXi=80, ,DX = DX = n ynynn_1X25则由切比雪夫不等式可得：P(75 X 85)= PfX -80 0.9，解得n 10,即有 1010 个以上的学生参加考试，就n可以达到要求。设 800800 台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数X B(800,0.01)，现由 2 2 名维修求发生故障不能及时维修

4、的概率。2P(X2)=1 - P(X 2)=1-P(X 2)疋1-2.132I辰丿= 6(2.132)=0.98346 6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、 有 1 1 名家长来、有 2 2 名家长来参加会议的概率分别为0.050.05、0.80.8、0.150.15。若学校共有 400400 名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)(1)参加会议的家长数X超过 450450的概率；(2)(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于解(1)(1)以Xi(i =1,2.400)表示第i个学生来参加会议的家长数，则Xi的分

5、布律为：Xi0 01 12 2pi0.050.050.80.80.150.15所以EXi=1.1，400而X =ZXii zi由中心极限定理知：P(X A450)-(1.147)=0.1257(2)(2)以丫表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则丫 B(400,0.8)近似n-1n5 5、工看管,340340 的概率。DXj=0.19,i =1,2.400近似X - N (440,76 )25由中心极限定理知：Y - N (320,64)则P(Y 950i =1-lii丿EXj=9.15，EX?=84.95,DX =1.2275950-915 7100 x1.22758 8 某产品的不合格

6、率为 0.0050.005，任取 1000010000 件中不合格品不多于 7070 件的概率为多少？解 依题意，1000010000 件产品中不合格品数X B(10000,0.005),由np = 50，n(1- p):5， 故可用二项分布的正态近似，所求概率为7050= 1-6(3.159)=0.0008,-1 = 0(2.8355 )=0.9977lJ50(1 -0.005)丿9 9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.010.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100100只合格品的概率不小于 0.950.95 ？解设n为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X，则有X B(n,0.

7、99)，该题要求n， 使得下述概率不等式成立。P(X 100)3 0.95或P(X 100) 0.05利用二项分布的正态近似，可得：fl0上0.9空0.05 = 6(-1.645)I j0.0099n丿P(X 103.19这意味着，每盒应装 104104 只螺钉，才能使每盒含有 100100 只合格品的概率不小于 0.950.95。(B)1 1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查， 次品率相差小于 0.10.1 的概率不小于 0.950.95。解：依题意，可建立如下概率不等式PQP JP| C0.1 )0.95使其次品出现的频率与实际其中P是这实际的次品率，如抽取n个产品则次品

8、的频率定理，P近似服从正态分布：N(P,P(1 -Pj/n或P-P N(0, p1-P)/n)r 0.1石、从而有工上型=0.9752Jp(1-p)丿查表可得:/ /0 0；M M 1 1-1.96或石319.6JP(1-P) JP(1-P)由于P未知，只得放大抽检量，用 1/21/2 代替 J JP P( (1 1- -P P) )，可得：n 96，可见，需抽查 9696 个产品才能使其次品率与实际次品率相差Jn9.80.10.1 小于的概率不小2、假设批量生产的某产品的优质品率为60%60%,求在随机抽取的 200200 件产品中有 120120 到 150150件优质品的概率 a a 记叭一一随机抽取的 200200 件产品中优质品的的件数， 则叭服从二项分布，参数为 n n=200=200,np = 120,np(1 - p) =48.由于 n n=200=200 充分大，故根据棣莫佛- -拉普拉斯中心极限定理，解p=0.60p=0.60;近似地5=為壽=4呵1);3、5 Jc vn-120150