利用范希尔理论进行的教学设计

1、选修 2-12-12.2.12.2.1 椭圆及其标准方程-基于范希尔理论我认为范希尔理论，通俗的概括即为，学生直观感受一一学生观察分析（教 师引导）一一学生叙述一一教师帮助学生运用数学语言描述 一一运用。教学设计过程1 1、视觉层次设计：教师以学生的水杯为例进行展示。师：我们在必修二中已经学习了圆柱体，那么哪些同学的杯子是圆柱体的, 我们只考虑容水的杯体的形状，忽略瓶口与瓶底的形状的影响。生师生师生师生对。相对于之前的椭圆，感觉被拉长了。（为之后讲参数a,b,c对椭圆形状的影响做铺垫）。那同学们还能举出生活中具有椭圆这种形状的其他例子吗？ 生：积极思考，踊跃回答。（若学生想不起来，教师给出一两

2、个例子，引发 学生思考）设计意图：以身边的物品为道具来演示椭圆， 可以有效的消除学生对于椭圆的陌生感，拉近距离，同时使学生在视觉上对椭圆有了一个直观的认识。通过引导学生举出 生活中具有椭圆形状的其他例子，使学生感受到数学其实就在生活之中，并非神 秘不可接触的。2 2、分析层次设计：教师给每位同学准备了一张圆形纸片（一起玩一个折纸游戏）请大家拿起笔， 并在发下来的那张圆形纸片除圆心外的任何地方作一个记号，如点一点 A A，或刺个小孔然后开始折纸，要求如图 1 1,每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧通 过点，将纸抹平，得到一条折痕继续这样折下去，得到若干条折痕最后将纸片展看杯子。当杯子竖直放置在

3、桌子上的时候，同学们观察此时的水面是什么形状。 圆形。如果将瓶子倾斜，这个时候的水面又是什么形状？ 椭圆。如果将瓶子的倾斜程度加大，这个时候的水面是什么形状？ 椭圆。平请大家观察众多折痕包围着怎样的一个图形 ？折好后交流展示学生的作品，大 家发现众多折痕围着一块椭圆形的光滑区域。（如图 2 2）师：折纸的原理是什么呢图 1 1生：定点 A A 和圆周上的点的轨迹。师：这种点 M M 有什么共同特征？生：从图中可知 MAMA MOMO 圆的半径。设计意图：1 1、以游戏的方式探究椭圆形成的过程，弓 I I 起学生的学习兴趣；2 2、运用几何画板，将整个过程更为生动形象的展示出来， 更便于学生理解

4、, 同时也可照顾到接受能力较弱的学生的学习；3 3、在学生做游戏的过程中，体验椭圆定义的过程，进行数学知识的重建， 重走数学家曾走过的路。3 3、非形式化的演绎设计：师： 类比图 3 3,我们将这一过程重新演绎。 取一条一定长的细绳 （令其长度 为圆的半径） ，把它的两端固定在板上的Fi，F2两点（使 F F1F F2ONON），用铅笔尖 在板上慢慢地移动，观察画出的图形。此时绳长大于Fi，F2两点间的距离。那么增加绳长，这时可以画出一条怎 样的曲线？若绳长等于Fi，F2两点间的距离，按照同样的方法会作出怎样的曲线 呢? ?若绳长小于Fi，F2两点间的距离呢?生：思考。作图。师：我们能不能根据

5、绳长与两定点间距离的关系，来对椭圆下定义。生：与两个定点Fi和 F F 的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆（定值大于? ?（如图 3 3,用几何画板演示折纸过程图 2 2N N 关于折痕对称，椭圆是图 3 3ONON 和折痕 STST 的交点 M M圆心00) )TA0Fi，F2两点间的距离）。设计意图：1 1、将椭圆的形成过程以橡皮筋的过程来代替，这种从繁杂过程中摘取重要 步骤并将其简化的能力对学生之后分析问题有很大的帮助；2 2、这种动手的操作贴近学生，便于理解，同时也可以培普遍养学生的动手 实验能力，因为学生普遍的动手操作能力比较弱；3 3、在学生初步感受了椭圆的形成过程之后，趁热打铁的

6、对椭圆形成过程中 具有的性质进行详细的研究，使得学生的整个学习更为自然，流畅。4 4、形式化的演绎设计：教师在黑板或 PPTPPT 中展示椭圆的定义，并对相应地方进行强调。师：那么根据椭圆的定义我们来探究椭圆的标准方程。 圆的标准方程是圆心 在原点处，x轴和 y y 轴均为圆的对称轴。那么类比圆，我们把定点在x轴，同时x轴和 y y 轴均为椭圆的对称轴，这样的椭圆称为椭圆的标准方程。（如图 4 4）FO F2O c。那么定义中的定值到底是多少呢?在椭圆上任取一点OB2b，生：思考。（教师提醒，在几何画板中，度量 a,b,ca,b,cMFMFlIMFIMF的长度，寻找规律）标准方程。/ /X X

7、C C）2y y2/ /XCXC）2y y22a2a教师巡视学生的计算情况， 对于难度较大的地方进行提示。 最后将标准方程 展示出来。设计意图：在了解了椭圆定义的基础上，根据椭圆上的点满足的性质来建立椭圆的标准 方程，可以加深学生对于椭圆定义的理解；同时可以训练学生的计算能力。5 5、严密性设计：（1 1）、试题练习例 1 1、已知两个焦点的坐标分别是（-3,0-3,0） （3 3，0 0），椭圆上一点 M M 与两焦点 的距离的和等于 8 8,求椭圆的标准方程。变式、当焦点为（0 0, -3-3），（ 0,30,3 ）时，椭圆的标准方程是怎样的。（2 2）其他证明如图 6 6 中，圆柱与平面 相交，证明其截线为椭圆。提示：平面的切线长定理推广到空间中仍然适用， 称为切线长定理的空间推 广。做两个相同球分别于界面相切于FI,F2，在截线上任取一点 P P，证明PFiPF2定值。设计意图:1 1、例 1 1 直接利用椭圆定义来求椭圆的标准方程，考察学生本节知识的掌握情况。学生在理解了焦点在x轴上时椭圆方程的推导后，变式中将焦点变换到 y y 轴上，培养学生举一反三的能力。师：通过观察发现| |MFMF1|MF|MF22a2a。那么我们根据这个条件来建立椭圆的2 2、（2 2）其他证明