圆中动点问题

1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一 (2012江西南昌12分)已知，纸片O0的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.(2)如图4,当折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时,过点0作EF丄AB交AB于点H、交AEB于点E,交CD于点G交CFD于(1)折叠后的AB所在圆的圆心为0时，求O A的长度;如图2,当折叠后的AB经过圆心为0时，求A0B的长度;如图3,当弦AB=2时，求圆心0到弦AB的距离;(2)在图1中, 再将纸片O0沿弦CD折叠操作.如图4,当AB/ CD

2、折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点0到弦AB CD的距离之和为d求d的值;如图5,当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形0MP的形状，并证明你的结论.【答案】解：(1) 折叠后的AB所在圆0A.+60=120当AB经过圆0时,0A 0 B,0B 00。折叠后的AB 00 A,A 00 B为等边三角形,A=OA=2o*八、在O0上，如图2所示，f f / /B=/AO0H/BO 0=60* * A0B的长度=180120汎24兀O如图3所示，连接0A0B 0Af0&AB=2, A0B为等边三角形。过点0作0吐A

3、B于点E, 0E=0/?sin60 =(3 O点F,即点E、HP、0 G F在直径EF上。O0D与O0是等圆，0所在圆05/ AB/ CD EF垂直平分AB和CD11根据垂径定理及折叠，可知PH=-PE PG-PF。22又EF=4,点O到AB CD的距离之和d为:111d=PH+PG=丄P&丄P1(P&PF)=2。222如图5,当AB与CD不平行时，四边形是OMP平行四边形。证明如下:设O，O为APB和CPD所在圆的圆心,点O与点O关于AB对称，点O于点O关于CD对称,点M为的OO中点，点N为OO的中点。浙叠后的APB与CPD所在圆外切,连心线OO必过切点P。折叠后的APB与C

4、PD所在圆与OO是等圆,1 O P=O P=2,.PM：丄OO=ON2PN=-OO=OM2四边形OMP是平行四边形。【考点】翻折变换(折叠问题)相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定,垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。【分析】(1)折叠后的AB所在圆O与OO是等圆，可得O A的长度。如图2,过点O作OEIAB交OO于点E,连接OA OB AE BE可得OAEAOBE为等边三角形，从而得到AOB的圆心角,再根据弧长公式计算即可。如图3,连接O A. O B,过点O作OEl AB于点E,可得AO B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AOB所在圆的圆心

5、O到弦AB的距离。(2)如图4,AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点O作EFlAB交AEB于于点E,交CFD于点F,根据垂径定理及折叠，可求点O到AB CD的距离之和。由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。变式一 如图是一圆形纸片,AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D,得到BDC(1)若BD- CD求证：BDC必经过圆心O(2)若AB= 8,BD- 2CD求BC的长.1ABC内 接于O O, ADl BC OEl BC OE=2 BC.变式二如图，(1)求/BAC的度数；(2)将ACD沿AC折叠为ACF将ABD沿AB折叠为ABG延

6、长FC和GBCAB7D f点H;求证：四边形AFHG是正方形；(3)若BD=6 CD=4求AD的长.题型二：圆中的旋转问题例题二(2011湖南常德,25.10分)已知ABC分别以AC和BC为直径作半圆 是AB的中点。(1) 如图8,若ABC是等腰三角形，且AC=BC在AC、BC上分别取点NAO1E =NBO2F,则有结论 也PO1E-也 FO2P.四边形PO1CO2是菱形。的证明；Oi、F，使请给出结论相 交于0GO2,PF1(1)BC是OO2直径，则O2是BC的中点又P是AB的中点.，二P O2是ABC的中位线二P O2=2AC1又AC是O O1直径P O2=O1C=2AC1同理p O1=O

7、2C=2BCAC=BC(2)结论 P O2=O1C=P O1=O2C四边形P。Q。2是菱形PO1EPO2F成立，结论不成立1 1证明：在(1) PO2= O1E PO2是ABC的中位线同理/P O1A=/ACB即/PO1E=/F O2 P、(3)延长AC交O O2于点D, BC是OO2的直径，则/ 又PC是O O1的切线，则/ ACP=/ D又/PAC=/BAD APS BAD又P是AB的中点AC AP 1 AD AB 2 AC=CD中已证PO2=2AC,又O1E=2AC同理可得PO1=O2F PO2/ AC / PO2B=/ ACB/ PO2B=/ P O1A / AO1E = / BO2F

8、P O1A+/ AO1E = / PO2B+Z BO2F EO1P PO2F;连接BD.D= 90,ACP= 90,2 2 2 2在RtBCD中，BC =CD +BD =AC2 +BD在RtABD中，AB2=AD2+BD2.AB2=4AC2+BD2=(AC2+BD2)+3AC22 2 2 AB2=BC2+3AC2评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的 平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS SAS ASA或AAS来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换.变式一阅读下列材料，然后解答问题。经过正

9、四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫 作这个圆的内接正四边形。如图（十三），作/MON使/于点（1）（2）(3)已知正四边形ABCD勺外接圆OOOO的面积为S1,正四边形ABCD勺面积为S2，以圆心O为顶点E、F,分别与正四边形ABC啲边相交 的面积为（用含MO=90 ，将/MOr绕点O旋转，OM ON分别与OO相交于点EF及正四边形ABC啲边围成的图形（图中阴影部分）s=H。设当OM经过点A时（如图），贝yS S1S2之间的关系为：OM_AB时（如图），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。OE OFS吕、S2的代数式表

10、示）；当/MO旋转到任意位置时（如图,）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由.1(2) 成立。理由：(3) 成立。过点OQH可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积.变式二 (2012?杭州)如图，AE切O O于点E, AT交O O于点M, N,线段OE交AT于点C, OBI AT于点B,已知/EAT=30,AE=,MN=j2.(1) 求/COB勺度数；(2) 求0 O的半径R;(3) 点F在O O上(而E是劣弧)，且EF=5,把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在OO上的三角形吗？请在图中

11、画出这个三角形，并求出这个三角形 与OBC的周长之比.【答案】解：(1)4连OB可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面积O分别作AB BC的垂线交AB BC于点P Q,交圆于点X、Y,可证直角三角形OPG等于直角三角形考点:专题:分析:切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与 性质。计算题。(1)由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对 对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对 应角相等可得出所求的角与/A相

12、等，由/A的度数即可求出所求角的度数；(2)在直角三角形AEC中， 由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R及MB的长，利 用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及COS30的值，利用锐角三角函数定义表示 出OC用OE- OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；(3) 把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长E,F重合.在EF的同一侧，这样的三EO与圆交于

13、点D,连接DF,由第二问求出EFD为直角三角形，由OBC解答:半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形 /FDE为30,利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比.解：(1)AE切O O于点E, AEICE,又OBL AT,/ AEC=/ CBO=90,又/BCOM ACE AE3A OBC又/A=30,/ COBM A=30;(2)v AE=V3, / A=30 ,在RtAEC中，tanA=tan30 县,AE即EC=AEtan30 =3,OBI MN二B为

14、MN的中点，又MN=Mii，二MB丄MN,2连接OM在MO沖,OM=R MBj2,-。珂OH2-胪吋“-22, 在COB中 , /BOC=30, cos/BOC=COS30赵必， BO近OCOC爭B竽是,2 -毙+3,整理得：R2+18R- 115=0,即(R+23) (R- 5)=0,解得：R=- 23(舍去)或R=5,则R=5;(3)在EF同一侧，COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：6个,又OC+EC=OM=R .R=延长E0交圆0于点D,连接DE如图所示，/ EF=5,直径ED=10可得出/FDE=30, -FD=M, 贝U

15、CEFD=5+10+=15+3, 由（2）可得68=3+7,aEFDCAC0=（15+5眉）:（3+V）=5：1.点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.题型三：圆中的动点例题三（2012江苏南京10分）如图，AB为O0上的两个定点，P是O0上的动点（P不与AB重合），我们称/APB为O0上关于AB的滑动角。（1）已知/APB是0上关于点A B的滑动角。若AB为OO的直径，则/AP& 若O0半径为1,AB=J2，求/APB的度数02为圆心作一个圆与L0i相交于A B两点，/APB为L0

16、i上关于点A B的滑动角,N（点M与点A点N与点B均不重合），连接AN试探索/APB与/MAN/ANB之间的数量关系。/ APB/MAN/ANB-180。第三种情况：点P在O0外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之【答案】解：（1）90。如图，连接AB 0A 0B在A0B中0A：0B=1.AB=J2,0A+0B=AB。/ AOB90。S之间，如图3,间，如图4,1当点P在优弧AB上时（如图1）, /AP&丄/A0B45;2当点P在劣弧AB上时（如图2）,/APB：-(360/A0B=135。2根据点P在O0上的位置分为以下四种情况.第一种情况：点P在O0外，且点A在点P与点M之

17、间，点B在点P与点N/ MAN/ APB/ ANB/ APB/ MAN/ ANB第二种情况：点P在OQ外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之/MAN/ AP&/ANf=/APB(180。一/ANB,BAP04If30直角三角形的性质，平移及（2）已知02为L0i外一点，以直线PA PB分别交L 02于点M间，如图5,F05/AP&/ANB/MAN180/APB=180/MAN/ANB第四种情况：点P在OO2内，如图6,/APB：/MAN/ANB【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。0APB=90。【分析】(1)根据直径所对的圆周角等于90即可得

18、/根据勾股定理的逆定理可得/AOB90。，再分点P在优弧AB上；点P在劣弧AB上两种情况讨论即可。(2)根据点P在O0上的位置分为四种情况得到/APB与/MAN/ANB间的数量关系。变式一 如图12-1所示，在 ABC中，AB=AC=2,F在AC边上自由移动.点E, F的移动过程中，OEF是否能成为/EOFE, F的位置.若不能，请说明理由./A=90r,0为BC的中点，动点E在BA边上自由移动,动点(1)动点(2)(3)=45的等腰三角形？若能，请指出OEF为等腰三角形时当/EOF =45时，设BE=x,CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围. 在满足(2)中的条件时，若以O为

19、圆心的圆与AB相切(如图12-2)，试探究直线EF与L O的位置关系，并证明你的结论.解：如图，(1)点E, F移动的过程中,1E是BA的中点，2BE =CF =72(2)在OEBA与A重合F是2x2).OBs久此时点E,F的位置分别是:中, NOOB+NFOX135；F图12-1_=NC,OE FOC图12-EB=135,BO=C.CF BE=X,CF =O,OB =OCC丄J22+222x11(图121)BE图O22)(3)EF与UO相切. OEBsAFOC,竺二竺. CO OF又TNB =NEOF =45,BEOOEF. NBEO =NOEF.点O到AB和EF的距离相等. AB与L O相

20、切，BOOF变式二如图， 在O合),(1)(2)(3)过点如图当点如图点O到EF的距离等于L O的半径. EF与L O相切.1O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P, AC=2AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重PB的垂线CD交PB于D点.PABCC作直线1，求证：P运动到什么位置时，PCDA ABC?请在图2中画出PCD并说明理由;3,当点P运动到CPIAB时，求/BCD的度数.【课后习】1、如 直径C和 点P运动 重线PB于D点.D(2012?图，在O OAB的异侧动点P, 在半圆弧(不与A、合),过点的垂线CD湘潭)R上位于疔有定点AC=ABAB上B两点C作直交PBc(1)(2

21、)(3)考点:专题:分析:解答:图1如图1,求证：当点P运动到什么位置时，PCDA ABC?请在图2中画出PCD并说明理由； 如图3,当点P运动到CPIAB时，求/BCD的度数.圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。 几何综合题。(1)由AB是OO的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得/ 又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得/ 即可判定：PC3A ABCACB=90，又由PD丄CD可得/D=/ACBA=/P,根据有两角对应相等的三角形相似，(2)由PABC可知当PC=AB寸，PCDA ABC利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得;(3) 由/ACB=90,AC=AB可求得/ABC的度数，然后利用相似，即可得/ 得疋行，然后利用圆周角定理求得/ACP的度数，继而求得答案.(1) 证明：AB是O O的直径，/ACB=90,/ PD丄CD / D=90, /D=/ACB /A与/P是奁对的圆周角，/(2) 解：当PC是O O的直径时，理由：AB PC是OO的半径， AB=PC/ PC3A ABC PCDA ABC(3) 解：/ACB=90,AC=AB/ ABC=30,/ PCDA ABC/ PCD=/ ABC=30,/ CP丄A