根与系数关系知识讲解及练习

1、韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx + c =0(a H0)，如果方程有两个实数根Xi,X2，则bcX,+ X2=,X1X2=aa说明：(1)定理成立的条件i 0(2)注意公式重X,+X2 =的负号与b的符号的区别a根系关系的几大用处验根： 不解方程， 利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次 方程的两根；例如：已知方程X2-5X+6=0，下列是它两根的是()求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于X1和X2的代数式的值口丹4 ；X】E求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次 方程的一般式.求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的

2、关系求出另 一个数及未知数系数.(后三种为主)(1)计算代数式的值2例 若X1,X2是方程x + 2x-2007 =0的两个根，试求下列各式的值:/八2,21,1 X1+X2；一+ X1X2| X,-X2A.3,-2 B. -2, 3 C. -2,-3 D. 3, 2(Xi-5)(X2-5)；解:由题意，根据根与系数的关系得:为+x2= 2,为2= -2007xj +X22=(人+X2)22%必=(2)22(2007) =4018(1)1十1X,+X2-22x-iX2X1X2-20072007(为-5)(X2-5)=%必2-5(为+X2)+25 = 2007 -5(-2) +25 = -197

3、2I为一X2 1=J(X1-X2)2= J(X1+X2)2-4X1X2= J(_2)2-4(2007) = 2/2008说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：22211X1+ X222X1+X2=(X1+X2)-2X1X2，一+ =- ,(X1X2)=(X1+X2)4X1X2,X1X2X1X2|X1 X2|=J(X1+X2)24X1X2,x,X22中X,2X2=X,X2(X1+X2),3+ X2)-3X1X2(X1+X2)等等.韦达定理体现了整体思想.(2)构造新方程例解方程组x+y=5xy=6由方程解得zi=2,z2=3原方程组的解为Xi=2,y1=3X2=3,y2=2显然，

4、此法比代入法要简单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围3丄3X1+X2=(x,理论：以两个数心也为根的一元二次方程是八EFk +可乃-0。解：显然，X,y是方程Z2-5Z+6=0的两根由题意知 =k2-4 X 2X 20,k4或例一个三角形的两边长是方程= Q的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、C,且a、b为2亠如2 =0的两根，贝y c=2= | 0. 0 ab =C = 2a+b= -t = 2.疋42|tj - i| = Jg +疔-4必=JF -16 c = 2,- 4忑 上 0，二是一Xj= x2,所以要分类讨论.解：（1）方程两实根的积为5A

5、 =(k +1)2-4(-k2+1)04=XM =-k2+1=543=42所以，当k =4时，方程两实根的积为5.(2)由|Xi|=X2得知:当xi0时，xi =X2，所以方程有两相等实数根，故当为0=k*02又X,X2是一元二次方程4kx -4kx + k +1 = 0的两个实数根卜1+X2=1- (2x1-X2)(X1-2x2)=2(X12+X22) -5X1X2=2(X1+X2)2-9X1X23不存在实数k,使（2为X2）（X| 2x2）= -一成立.要使其值是整数，只需k+1能被4整除，故k+1 = 1,2,4，注意到kcO,要使程+空2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.X

6、2X1说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在.4k工0k +1X1X2=394k Fk=5，但k.k +9生+生2 =X2X1土-2=仑上址_4=出-4_丄k+1k + 1X1X1X2X1X2本题综合性较强，要学会对冷为整数的分析方法.元二次方程根与系数的关系练习题1.一元二次方程（1 -k）x2-2X-1 =0有两个不相等的实数根，则1 12右X1, X2是方程2x2一6x + 3 = 0的两个根，则 一+ 的值为（X1X2X2+(2m-1)x+m2+3=0的根，贝U m等于(值为（）6.如果方程（b-c）x2+（c-a）x +（a-b）=0的两根相等，则a,b,c之间的关系是角三角形的斜边长是k的取值范围是（）A. k 2B. k v2,且k H1C.kMC. A 0,关于X的方程X213.已知关于x的一元二次方程X2+(4m + 1)x +2m -1 = 0.(1)求证：不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;X1X