基本积分方法

1、基本积分方法一、换元积分法晞一壬口 、土第一类换元积分法换元积分法第二类换元积分法 1 1.第一类换元积分法：设 f(u)f(u),(X)为连续函数，(X)可导，且 f(u)du F(u) C，则锺渊閨橥铰鳅橹。(X) f (u)du F(u) C例 2 2、2 2 计算下列积分:(1) eln(1 ex)；解: ( 1 1)X I /Xe ln(1e )ln(11 cosx-dx阌渙郧課东诰堊。1 cosxex)d(ex1)ex) (ex1)(ex1)丄 dx(eX1)ln(11 exex)exCf (X) (x)dxF(X) C常见得凑微分形式:f (ax1b)dx f (axab)d (

2、ax b)f(axnb)dxnaf (axnb)d(axnb)1 f(lnx) dx x1 f (ln X)- dxxf (sin x) cosxdxf (In x)d(ln x)f (In x)d(ln x)f (sin x)d(sin x)f (cosx)sin xdxf (cosx)d (cosx)2f (tanx)sec xdxf (tan x)d (tan x)f (arcs in x)例 2 2、1 1 计算arctanxdx X2(1 X2)t，dx sec2tdt，tsec21丄2- dttan t sec tf (arcsin x)d(arcsin x)解：令arctanxa

3、rctan x ,xX (1 X )t (csc21 1)dttd cotttcottcottdtarcta n x2,| x|ln I I&X2t cott In I si nt I1 (arcta n x)2，c、 1 cosx ,(2)-dx1 cosx2(1 cosx) ,-dxcosx)2 2d sin Xsin x(1 cosx)(122csc xdxdx 2 2.第二类换元积分法:(t)单调、可导且 (t)0 ,又 ff(x)dxf (t) (t)dt22 sin x 2cosxdx(t)有原函数sin2x2cotxCsin xG(t)。贝 U U觐獵赝办減鸾缜。G(t) C G

4、1(x) C类换元法中常用得变量代换:- 二角代换变:辅助三加可为变量还原提供方便。角形换倒数根式积分二角有理式积分代换 T T 角:可消去分母中得变量 X X。指数代例：3 妒t t 换：适用被积函数:、3 3 计算积分丘一JVJV解:xe36 e6令 e6蟹就x x* *石 ntf dx紳seesee / /dt(f白 axax 或 eXeX 构成得代数式。 尸畋tuntunf)dt6l nt 3l n|1 t|xx 3ln |1 e6|3-ln(123ln(1 2t2)xe3)3arcta nt Cx3arcta ne6C例 2 2、4 4 计算积分 -x解：斗x v1 xdx。例 2

5、2、5 5 计算积分解：令 xx 1dxx2- 1=x2 =sin tcostdt =sint cost1 .-t ln |sint cost | 2211 arcs inx ln|x22x 12 / 2VX=dx11,(dt)丄丄 t2tMt211Sint cost cost sint2Sint costdt17dtd(1 t2)2P1 t2* *- / /x x2 21 1arcsint J1 t2C -x二、分部积分法可用分部积分法求积分得类型:代数算法，可以把它分解为四种基本形式得有理分式得与，而这四种基本形式得有理分 式存在相应得积分公式。列出如下：嚌齷锸閌顸劝脸。分部积分公式:ud

6、vuv vdu分部积分法条件：u u ,v v 具有连续导数。 选取 U U,得原则:v要易于求出vdu比udv容易求出.1 arcsinxsin axIn xPn(x)例 2 2、6 6 计算积分xInxIn xdxxdx。Pn(x)1arctanx dx,arccosxu(x)u(x)解：原式= =In xd2x2例 2 2、7 7 计算积分2x .ln2x2x-dx earcta nedx例 2 2、7 7 设 f (ln x)xdx2x .ln2axesin ax dxcosax2arctanexd(e2x)2x丄Xarcta nedeXe2x(1 e2x)-(e2xarctanexe

7、x2 ln(1 X)xarctanex)C。，计算 f(x)dx。庑蠍擷詎鯉栎粵。解：，设 t ln x，则 x et,f(t)ln(1 et)。et節腡鹤檸嚴缟厌。f(x)dx=lmidxln(1 ex)d(ex)xln (1 ex)dxxeeX|n(11 1.有理函数得积分xe)dx1 ex三、几种特殊类型得积分：部分分式之与得积分对于任意有理函数，存在一个固定得(1(1ex)ln(1 ex) C。cosax dx,axeA(1)(1)-dx Al n|x a | Cx aA &；-x(x a) Px Qx2px-dx qd(x a)(x a)kPln(x22(XpxPx Q(x2px q

8、)kdxPt (Q )其中 tpx ； dt=dxdt=dx；2可以很容易地求出( t (t(t2a2)k而对于第二个积分式,Aka)q)2q pP.arcta nJ4q p222 kdt(t a )Jq 丄。懌鍬涟箦笼樺觑。V 4中得第一个积分为1 。八八“22、k 1 (k 1)(t a )我们可以得到递推公式(idt(QIn1爲(t2；2)n，其中:I1dt1t-arctan- C。a a【注意】从理论上讲，任意有理函数得积分都可以被积出来,特点，灵活选择解法，常用得方法中有凑微分法与变量替换法。例 2 2、8 8 计算积分 一 X5-x 5.-dxx26x 13但要分析被积函数得灝愨挢

9、与锯鋮债。解:- dx。6x 13I (2x 6)16x26xdx131丁(x6x13)2x2x6xx 34 arctan-2(XXdx例 2 2、9 9 计算下列积分2x31(1 1)- dx ；(x 1)1001解：(1 1)令 x 11u2x31原式= =100 dx(x 1)100=丄 u9933= _1_33(x -(2 2 )令 x10原式=10 u(u 1)则 dx1002(丄udx厩构潑题据闻桧。x(x 1)1dx，于就是聶鲠诰绣鸚项識。u)31(-2)du uu95(3u36u26u 2)du3u4998Au979731u48697(x 1)979648(x 1)961)99

10、49(x 1)98u，贝 U du 10 x9dx，于就是剧颏錕錫駙鷴斬。du 1 u 1 u 112 - du -2210 u(u 1)210 u(u 1)(1 u)2du111 1 1 1=- -du (ln|u| ln|u 11 -) C10 u u 1(1 u)210u 12 2 .三角函数有理式得积分有理函数得积分 由 sinx , cosx 及常数，经过有限次四则运算所得到得函数称为三角函数有理式，记作：R(sinx, cosx),积分R(sin X, cosx)dx 称为三角函数有理式积分。賬闰鲟鞑压扩項【解题方法】sinxcos x-si n(2)xsin()xsinxsin

11、x1-cos(2)xcos()xcosxcos x1cos()x cos()xX)X)1倍角公式:1尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成coscoskx x 得单项式，或将分母整个瞧作一项。2尽量使 R(cosR(cos x x，sinsin常用积化与差公式：1 c- 2 sin 2x， sin2在积分得过程中注意“1例 2 2、sin xcosxx (12.2Sin xcos2x),2 ”cos x(1)1010 计算下列积分dx.35Sin xcos-；(2 2)x解:135sin xcos xsin2xxxdx ；( 3 3)1 cosx2cos xX sin.3

12、5sin xcos x.2 2Sin x cos x5sin xcos xcos2x - (1 cos2x)鲧覬进醬諶斩邻。2得妙用。15sin xcos x.2 sin xsinsin2xcos4xdx。锻澆鵲覺肤闡镬。13sin2xcos3x故原积分=(警cos xcos x33xcos x1sin x11.3Sin xcosx5cos xsin xcos3xsin3xcosx2sin x2Sin xcos2x3Sin xcosx5cos x.3Sinxcosx22(sin xcos x)sin xcosx1sin xcos3x5cos x .3 Sin xsin xcosx2sin x2

13、sin xcosx13cosx ；sin xcosx5cos x .3 Sin xsin xcosx2sin x3sin xcosx3cos xcos5xsin3x3sin xcosxsin xcosxsin X5cos xcosx、.-)dxsin xsinsinkx x 或变囱裥绽号紈諄。得幕降低，常用倍角公式或积化与差公式。12(2)4 cos4xx sin x x 1cosx1 12 2cos x 2sin Xx-dx1 cosxX dxx23ln |csc2xln(1sin2xcos4cot 2x|22cosx= =xta n-2x = =xta n-2x si n22x416(1c

14、os2x1x16sin x-dxcosxcosx)xxd tan 2ln(1 cosx)xtan dx2x2 ln |cos- I21 cos2xln(1 cosx)ln(1 cosx) C1(1 cos2x)18cos4x2(1cos2xcos4x16(1cos2xcos4x161cos2x -cos6x)dxcos2xcos4x)cos4x1 .sin 2x6411-cos2x - cos6x)故 原积分221 sin4x 643 3.无理函数得积分有理函数得积分 无理函数得积分，一般就是通过选择变量替换，化为有理函数得积分来进行。【解题方法】利用第二类换元法中得三角代换；若被积函数含有

15、ua 厂 b,，可令axrbVex d si n6x C192攣镖。t Jax bt ；幀饺擁绊濾Vex d若被积函数含有坂，皈，可令px t，其中 m m， 小公倍数。堕洼哔慑鰒塹續。【注意】无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。n n 为正整数，p p 为 m m, n n 得最例 2 2、1111 计算积分解：令J J x 21丿 X 2dx2卫1,XV x2(t2xpdx原积分= =4t2(1 t2)(1 t2)dtdt1 t28t(t21)2dt1 t2dtln2 arcta ntC121 on0四、分段函数得积分连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有如果函数在分界点连续，则在

16、包含该点得区间内原函数存在。如果分界点就是函数得间断点，那么在包含该点得区间内，不存在原函数。【解题方法】方法一先分别求出函数得各分段在相应区间内得原函数；由原函数得连续性确定出各积分常数之间得关系。方法二xf (x)dx = = f(t)dt+C+Ca鎂贫奧闻綆鸦寻。解法一：由于 f f(X)(X)在在 x=0 x=0 连续，0)0) , (0(0 , + + m) )内得原函数。垫連辗嘸貼瞼恆。F(x) 3x3 C1,x 0cos x C2, x 0F(x)(x)得连续性，考虑 F(x)(x)在 x x= 0 0 处得左、右极限，得xF(x) f(t)dt，而0 xF(x) f(t)dt

17、= =0 x2x dx, x 00 x-In1 严 2%； 2)ux22arctan-Y X 2CiC2C21Cif (x)dx3C,cosx 1CiC, x 0利用变上限积分函数，先求出 f (x)得一个原函数xf (t)dt，则有a(注意：方法二省去了确定常数得麻烦)X2例 2 2、 1212 设 f(x),0，求 f(x)dx。0故 f f (x)(x)得原函数存在，因此先分别求出f f (x)(x)在 ( (-由原函数解法二:设 f(X)f(X)得一个原函数为1 on0sin xdx, x 0133x，cosx1, x 0f(x)dx= =F(x) C = =13-x3cosxC, x

18、 01 C, x躍宝鹨賠聶繚绫。0例2、1313 求 min1, x2 dx。1, x解：min1, X2x2,1, x由于 min1,min1, x2x2在 x=x= 1 1, x=1x=1min1,x2min1,x2在( (-o, 1)1), ( ( 1 1, 1)1),由原函数 F(x)F(x)得连续性，考虑limx 1F(x)因此连续，故min1,min1,xzxz得原函数存在，因此先分别求出1x C1, x13(1(1, + + o) )内得原函数。F(x) -x C2,X C3, 得lim F(x) lim F(x)x 1x 1C2F(x)所谓抽象函数得不定积分,同样可用换元法与分部积分法。解：原式f(x)f(x)F(x)F(x)在 x=x= 1 1 , x=1x=1 处得左、右极限,C：C23 ,C3lim F(x)x 1131-x3C,C1C3故C1C2C2C23,抽象函数得积分就是指被积函数由抽象函数所构成得一类积分。其解法f2(x)f(x)五、例 2 2、1313 求不定积分f(x)f2(x)f2(x)f(x)dxdxf3(x)f2(x)