高考数学曲线方程讲义

1、高三第一轮复习数学 - 曲线方程一、教学目标： 了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用定义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。二、教学重点： 注意动点应满足的某些隐含条件；2、注意方程化简时的等价性，主要是在去分母和两边平方时的变形。3、注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论。三、教学过程：（一）主要知识：1、 曲线方程的意义：正如一个关于x, y 的一元二次方程AxByc0 一定表示一条直线，一条直线必定可以用个关于x, y 的一元二次方程AxByc0 表示一样，直角坐标系内的曲线可以用一个关于x, y 的二元方程f x, y0来表示，一个关于x, y 的二元

2、方 程fx, y0表示着坐标平面内的一条曲线。而函 数yf x 亦 为 方 程f xy0 是 f x, y0 的特殊形式。2、 方程fx, y0恰为曲线C 的方程即曲线C 恰为方程f x, y0 的曲线的充要条件为：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程f x, y0 的解；否则曲线C 比比方程f x, y0 所表示的曲线多点（纯粹性）且（ 2）以方程f x, y0 的解为坐标的点都在曲线C 上；否则曲线C 比方程f x, y0所表示的曲线少点（完备性）即曲线 C=x, y | f x, y03、 已知曲线求方程：求动点的轨迹方程，文字语言的几何条件数学符号语言的等式数学符号语言中含动点坐标，的代

3、数方程简化了的，的代数方程最后除掉多余的点（加上遗漏的点）。4、 已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好。5、 曲线C1 : f x, y0 与曲线 C2: g x, y0 的交点坐标为：方程组f x, y0g x, y的0解（特别注意大括号的意义为交点坐标）（二）例题分析：（一） 曲线方程的意义：例1：（ 1）如果命题 “坐标满足方程的点都在曲线上 ”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线上的点的坐标都满足方程（ B）坐标满足方程的点有些在上，有些不在上（ C）坐标满足方程的点都不在曲线上（ D）一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程分析：举例，若方程为，曲线为第一、三象限角平分线，易知答

4、案为D（ 2）求曲线分别关于 直线 x2 y3 点2, 3 直线 x y 3 0对称的曲线方程解：2210 28 022xyy；xy 2x 12 y 48 0 ；x x2y 210x12y56 0 ； x2y 24x 2 y 6 0（二）已知曲线方程求曲线：例 2（ 1） x 1x1 2y0表示什么曲线？（ 2）方程xy1x10表示什么曲线？解：（ 1 ）原方程等价于：x1x1y0当 x1 时为 y2 x ；当 x1 时为y2x ；当 1x1 时为 y2 （画图）（2）原方程等价于：x10或x10即： xy 10 x1 或 x1xy1x 100所以表示直线 x1和射线 xy10 x1（画图 0

5、点评：这多条图形为曲线C；思考： xy 1x 2y240 表示什么曲线？（曲线C 为圆： x2y24 和直线xy1在此圆外面部份）（三）已知曲线求方程：求动点的轨迹方程：例 3 过定点 A a, b任作互相垂直的两直线l1 与 l 2，且 l 1 与 x 轴交于点M ， l 2 与 y 轴交于点 N ，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程。解：法一（直译法）由l1l 2 ， a22yb 22x a 2b 24x24y 2化简得：22202axabbyx1xx12x法二（代入法）设M x1,0 , N 0, y1， P x, y ，则2y1y12 yy2因为 l1l 2 ，所以 a 2y1b 2

6、x a 2b2x2y2111由代入 可得： a 22 y b 22x a 2b 24x24 y 2XNAOMX例 4（2000 年春季高考） 已知抛物线 y 24px p0 , O 为顶点， A ，B 为抛物线上的两动点，且满足 OAOB ，如果 OMAB 于点 M ，求点 M 的轨迹方程。解：（参数法）设 OA 的方程为 ykx k0 ，点 M 的坐标为x, y x0，则OB的方程为 y1 x.ky 24 px4 p 4 py24 px2k由ykx得 Ak 2 ,k , 由y1 x 得 B 4 pk, 4 pk ,kAB1 k 2 则k1k 2kOMk所以， l AB : y1k 2 x4k

7、p2 , l OM : y1 k 2x ，消去参数得轨迹方程为k1 kk24 p2 x0x 2 py 2即所求轨迹是以点2 p,0为圆心， 2 p 长为半径的圆除去原点 O 0,0 。点评：直译法、代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法。（四）曲线的交点：例 5、已知曲线 C1 F x, y0 ，点 P a,bC1 ，曲线 C2 F x, yF a,b00 ，求 C1 ,C2 的交点个数。解 ： 0个 。 设 点 P x0 y0是 C1上 的 点 ， 则 F x0 , y00，而若F x0 , y0F a, b00F a,b0 这与 P a,bC1 矛盾。例 6、求过点 M 1,2的直线与曲

8、线ya有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和x为 a ，求 a 的取值范围。y2 k x 1解 ： 设 直 线 方 程 为 y 2 k x 1 k0 ， 由 方 程 组 ya消 去 x 得xy22k y ka 0，设其两个根为y1 , y2则y1y22 k, y1y2a, 2 k ak 2 a，2k 24ka0a24a 2a0得 0a802a0, a 2k3a 的取值范围是0,282,3（三）巩固练习：x2+y2=4 (0 x2) 相内切的动圆圆心的轨迹方程为（1 和 y 轴相切并且和曲线）。A、y2=-4(x-1) (x>0)B 、y2=2(x+1) (0<x 1)C、y2=

9、-4(x-1) (0<x1)D、 y2=-2(x- 1) (0<x 1)分析： 设动圆圆心为M(x,y) ，由图可知 x>0，设其半径为r ，则由相切条件， |MO|=2-|x|，即，又 -4(x-1)=y20, 所求方程为 y2=-4(x- 1) (0<x1) 。小结：如果题目中的条件是关于M的明显的等量关系，或者可以通过几何知识推出明显的等量关系，求方程可以用直接法（直接到方程化简）。2 已知直角坐标系中，点 Q(2,0) ，圆 C 的方程为 x2+y2=1，动点 M到圆 C 的切线长与 |MQ| 的比等于常数 ( >0) ，求动点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解： 设 MN切圆 C于 N，则 |MN| 2=|MO| 2-|ON| 2，设点M(x,y)，则，化简，得( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=01）当 =1 时，方程为，表示一条直线。2）当 1时，方程化为表示一个圆。小结： 本题是典